É 7 VI L'ANALYSE ET LA GÉOMÉTRIE

En étudiant les relations réciproques de l’Analyse avec la Mécanique et la Physique mathématique, nous avons, chemin faisant, plus d’une fois rencontré la Géométrie infinitésimale, qui a proposé tant

Ce ET TIR EEE OT AE Re, PME OP D a dE 4 Aie PE RTE A

de problèmes célèbres ; dans maintes questions difficiles, l’heureuse combinaison du calcul et des raisonnements synthétiques a réalisé des progrès considérables, comme le montrent les théories des surfaces applicables et des systèmes triplement orthogonaux. Il est une autre partie de la Géométrie qui joue un grand rôle dans quelques recherches analytiques : je veux parler de la Géométrie de situation ou anälysis situs. Riemann a fait à ce point de vue une étude complète des continuum à deux dimensions, sur laquelle repose sa théorie des fonctions algébriques d’une variable et de leurs intégrales. Quand le nombre des dimensions augmente, les questions d’analysis situs se compliquent nécessairerhent; l’intuition géométrique cesse, et l'étude devient purement analytique, l'esprit étant seulement guidé par des analogies qui peuvent être trom- peuses et qui ont besoin d’être discutées de près. La théorie des fonctions de deux variables complexes indépendantes qui nous transporte dans un espace à quatre dimensions, sans tirer de l’analysis situs un parti aussi fructueux que la théorie des fonctions d’une variable, Iui doit cependant d’utiles orientations. Voici encore un autre ordre de questions où intervient la géométrie de situation; dans l'étude des courbes tracées sur une surface, la connexion de cette surface joue un rôle important : c’est ce qui arrive notamment pour les lignes géodé- Siques. La question de connexité s’est d'ailleurs

DÉVELOPPEMENT DE L'ANALYSE MATHÉMATIQUE Al

présentée il y a longtemps, quand l’étude des courants électriques et du magnétisme a conduit à des potentiels non uniformes ; d’une manière plus générale, certaines intégrales multiformes de quelques équations aux dérivées partielles se rencontrent dans des théoriés difficiles, comme celle de la diffraction de la lumière.

À un point de vue différent, rappelons encore les relations de l’Analyse algébrique avec la Géométrie, qui se manifestent si élégamment dans la théorie des groupes d'ordre fini. Un polyèdre régulier, comme un icosaèdre, est d’une part le solide que tout le monde connaît; c’est aussi, pour l'analyste, un groupe d'ordre fini, correspondant aux diverses manière de faire coïncider le polyèdre avec luimême. La recherche de tous les types de groupes de mouvements d’ordre fini intéresse non seulement les géomètres, mais aussi les cristallographes ; elle conduit aux trente-deux systèmes de symétrie des cristallographes pour la particule complexe. Le groupement en systèmes de polyèdres correspondants, de manière à remplir l’espace, épuise toutes les possibilités dans la recherche de la structure des cristaux, ce qui conduit à deux cent trente types pour la symétrie interne de la matière cristallisée.

Depuis l’époque où la notion de groupe a été intro-

duite en Algèbre par Galois, elle a pris, dans des voies diverses, des développements considérables au

point qu’on la rencontre aujourd’hui dans toutes les

parties des Mathématiques. Dans les applications, elle nous apparaît surtout comme un admirable instrument de classification. Qu'il s'agisse des groupes de substitutions ou des groupes de transformations de Sophus Lie, qu’ils’agisse d'équations algébriques ou d'équations différentielles, cette doctrine, si compréhensive, permet de se rendre compte du degré de difficulté des problèmes traités et enseigne à utiliser les circonstances spéciales qui s’y présentent; à ce titre, elle doit intéresser autant la Mécanique et la Physique mathématique que l'Analyse pure.