LES PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE

Après les principes de l'analyse, l'étude des bases de la géométrie n’a pas moins attiré l’attention : tout n’est pas si clair que le croient beaucoup de personnes dans les commencements de la géométrie, et d’Alembert a pu écrire jadis que la définition et les propriétés de la ligne droite sont l’écueil et le scandale de la géométrie. Nous sommes aujourd’hui bien convaincus qu’il y a dans toute science un point au delà duquei ou ne peutremonter : il faut poser certaines données,

certains concepts, et formuler au sujet de ces concepts des axiomes ou postulats qui reviennent, au fond, à les définir. On posera, par exemple, au début de la géométrie élémentaire, les concepts de point, de ligne droite, et on formulera cet axiome que deux points déterminent toujours une droite. C’est pour le géomètre un difficile problème que d’établir la géométrie surunsystèmecompletet non contradictoire d’axiomes indépendants ; dans ces derniers temps, des travaux remarquables, tels que ceux de M. Veronese et surtout de M. Hilbert, ont été publiés dans cette voie. Suivant qu’on adopte tel ou tel système d’axiomes, on aura telle ou telle géométrie. On peut maintenant se demander quelle est l’origine de ces postulats.Pour Kant, la source de nos connaissances géométriques est dans l'intuition, et les axiomes, plus ou moinsexplicitement formulés au début de la géométrie ont un caractère de nécessité absolue ; l’espace est pour Kant une forme a priori de notre sensibilité. Les géomètres ne souscrivent pas en général à cette opinion, depuis qu’on a montré que diverses géométries exemptes de toute contradiction logique, peuvent être obtenues en partant de divers systèmes de postulats, mais je sais que certains philosophes y voient une confirmation de la doctrine kantienne, selon laquelle, entre toutes les formes logiquement possibles d’espace,uneseulenous est donnée et imposée, comme forme d’intuition, par notre nature d’être sensibles, et non par notreraison. L'observation et l'expérience jouent un rôle indis-

pensable dans la forme de nos connaïssances géométriques ; mais, tout en admettant ce point indiscutable pour la plupart; les avis sont encore très partagés. Quelques physiciens voient uniquement dans les axiomes des inductions basées sur les observations et les mesures faites sur les corps : c’est l'empirisme géométrique. D’autres attribuent un rôle plus ou moins grand à l’esprit travaillant sur les données de l’expérience. Pour certains même, comme .M. Poincaré, le concept de groupe, sur lequel nous reviendrons dans un moment, et dont il a été déjà question au chapitre précédent, préexiste dans notre esprit et s'impose comme forme de notre entendement; en outre, plusieurs interprétations de l’expérience sont possibles, et parmi celles-ci l'esprit a choisi la plus commode et la plus simple. Si l'on veut presser le sens de ces termes, on se trouve en présence de graves difficultés, et même, à un point de vue purement mathématique, on pourrait prétendre que dans certaines questions les géométries non euclidiennes sont plus simples que la géométrie cuclidienne. Les biologistes, toujours dominés par la thèse évolutionniste, ne manquent pas de demander aux. mathématiciens ce que c'est que l'esprit humain et sa logique ; pour eux la commodité et la simplicité résultent de l’hérédité et de l’habitude, et la logique n’est que le résumé de l'expérience ancestrale. Dans un article sur la logique et l’expérience, M. Le Dantec plaisante avec. beaucoup d’es-

prit, ceux qui parlent d’un monde non euclidien, et il ajoute : « Si les choses étaient autrement, nous aussi nous serions autrement, mais nous ne pourrions exister qu’adéquats aux choses ». Sans discuter sur le sens du mot adéquat, je dirai simplement qu’on peut regarder la géométrie comme une théorie relative aux faits géométriques, en entendant le mot de - théorie comme nous le ferons plus loin en mécanique et en physique. La théorie euclidienne, rendant bien compte des faits géométriques observés, est fixée dans l’espèce humaine par une très longue hérédité; elle est devenue commode et simple. On peut faire un rapprochement entre l’espace et l’éther. La théorie de l'éther, adoptée séulement depuis un siècle, n’a pas pour nous, tant s’en faut, le même degré de commodité et de simplicité; aussi avonsnous encore tant de mal à penser cn éther, pour employer une expression pittoresque de M. Langevin, mais cela pourra être aisé dans quelques dizaines de siècles. e

Ceci dit, nous allons rester maintenant sur le terrain mathématique, et sur celui de la logique au moins actuelle. J’ai fait tout à l’heure allusion à - divers systèmes possibles de postulats. Si on ouvre un traité de géométrie élémentaire, on ne trouve formulé bien explicitement qu'un seul axiome: il porte le nom de postulatum d'Euclide. En réalité, un nombre considérable d’axiomes sont sous-entendus, et, en étudiant les plus récents travaux sur les prin-

cipes de la géométrie, on est effrayé à la vue de la longue liste des postulats nécessaires à poser pour que la géométrie ait toute la rigueur logique qu’on lui attribue généralement. Les plus importants se

rapportent aux concepts de droites, de plans,

d’angles, de congruences; il en est un autre, d’une nature différente, qu'il pourrait paraître inutile de formuler, c’est l’axiome de continuité ou axiome d’Archimède. Au point de vue logique, ce serait une

erreur. Ainsi on a pu construire des géométries

étranges dans lesquelles, en portant à partir dun point d’une droite une succession de segments égaux, il n’est pas possible d’atteindre un point déterminé de la droite, quelque grand que soit le nombre de

ces segments, or, l’axiome d’Archimède affirme

précisément cette possibilité.

Tout le monde aujourd’hui a ertendu parler de la

géométrie euclidienne et des géométries non eucli-

diennes. Un postulatum, célèbre dans la science, porte le nom d’Euclide. Le célèbre géomètre grec demande que l’on accorde que par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite (l'énoncé d’'Euclide avait une forme un peu différente, mais il revient entièrement au précédent). Il avait vainement essayé de rattacher logiquement cette affirmation aux données plus ou moins intuitives sur lesquelles il fondait la géométrie. Pendant longtemps, on chercha une démonstration du fameux postulatum. Ces démonstrations sont intéressantes à

parcourir, on y retrouve tous les genres d’erreurs souvent rééditées dans le courant du siècle dernier, et que reverra sans doute de temps en temps le siècle présent ; ce sont toujours des substitutions à l’hypothèse euclidienne d’une autre hypothèse que l’auteur juge plus évidente. Quoiqu'il se termine par des erreurs, il faut signaler cependant à part un travail d’un jésuite italien le père Saccheri, paru en 1733 sous le titre pittoresque « Euclides ab omni nœvo vindicatus ». Au lieu de substituer à l'hypothèse euclidienne quelque autre postulat paraissant plus plausible, le père Saccheri veut atteindre le but cherché en montrant qu’on rencontre des contradictions, si on n’admet pas le célèbre postulat. Considérons avec lui un quadrilatère plan AZCD, dans lequel deux côtés opposés AD, BC sont égaux et perpendiculaires à un troisième AB. Si on admet l'hypothèse euclidienne, les angles C et D sont droits; si on ne l’admet pas, les angles sont encore égaux, et on peut supposér qu'ils sont droits, aigus ou obtus.

Saccheri eroit pouvoir montrer qu’on arrive à des

contradiclions, si on n’est pas dans le cas de l’angle droit; cette partie du mémoire est mauvaise, mais l'auteur fait auparavant quelques remarques fondamentales qui le placent, malgré lui, parmi les précurseurs des géométries non euclidiennes. Il montre que, suivant que l’on sera dans le cas de l'angle droit, de l'angle aigu ou de l'angle obtus, la somme des angles d’un triangle sera égale, inférieure ou

supérieure à deux droits, et il voit très bien que celle de ces circonstances se présentant pour un seul triangle se présentera pour tout autre triangle, proposition que Legendre devait retrouver plus tard pour le cas où la somme est égale ou inférieure à deux droits. |

Dans cet historique des géométries non euclidiennes, si rapide qu'il soit, on doit citer encore Lambert dont les résultats les plus remarquables sont relatifs à l’aire d’un triangle, quand on abandonne l’axiome d’Euclide, aire dans l’expression de laquelle figure l’excès positif ou négatif de la somme des angles du triangle sur deux angles droits; la géométrie sphérique occupa beaucoup Lambert et il eut l'intuition très nette que le cas où la somme des angles d’un triangle est moindre que deux droits correspond à’ la’géométrie sur une sphère de rayon imaginaire. Enfin Legendre s’occupa longuement du postulatum d'Euclide ; en particulier, il montra très simplement que dans un triangle, la somme des angles d’un triangle ne peut surpasser deux droits, mais sa démonstration, il ne faut pas l’oublier, suppose que la droite est infinie, hypothèse qui n’est pas vériliée dans la géométrie sphérique où le rôle de la droite est tenu par les arcs de grand cercle. Il résulte aussi clairement des recherches de Legendre que le postulat d’Euclide revient à dire que la somme des anglés d’un triangle est égale à deux droits. On peut, d’ailleurs, donner bien d’autres

formes au postulatum d’Euclide, en posant qu'il existe des droites équidistantes, ou encore qu'il existe des figures. semblables. L'illustre Gauss, qui, dès les dernières années du xvur° siècle, avait approfondi toutes ces questions, sans en rien dire que dans quelques lettres particulières publiées il y a seulement peu d’années, regardait l’axiome d’Euclide comme équivalent à l’assertion que l’aire d’untriangle peut grandir indéfiniment.

Comme je viens de le dire, Gauss, craignant sans doute « les clameurs des béotiens », dont il parle dans une de ses lettres, ne publia rien des recherches où il établissait que la négation du postulatum d'Euclide n’entraîne aucune contradiction. A la géométrie non euclidienne, où la droite a une longueur infinie, se rattachent les noms de Lobatschefski et de Bolyai, qui, indépendamment l’un de l’autre, édifièrent une géométrie où la somme des angles d’un triangle est inférieure à deux angles droits. Le point de départ dé Lobatschefski et de Bolyai est le suivant : étant donnés dans le plan une droite et un point, les droites : menées par le point se partagent en deux classes; suivant qu’elles rencontrent ou non la droite donnée. Ces deux catégories de droites sont séparées par les deux parallèles (coïncidentes dans le cas euclidien) que l’on peut mener du point à la droite, L'hypothèse des deux parallèles menées par un point à une droite, caractérise le système de géométrie

qu'on appelle souvent gévmétrie hyperbolique, et ; 6.

qui correspond au cäs dé l’angle aigu dans le quadrilatère de Saccheri, dont je parlais plus haut. Le

cas où les deux parallèles coïncident correspond à la géométrie euclidienne ou parabolique; c’est le cas de l’angle droit de Saccheri. Un chapitre fondamental de la géométrie hyperbolique concerne la trigonométrie non euclidienne, c’est-à.dire les relations entre les angles ét les côlés d’on triangle. Comme l’avait prévu Lambert, la géométrie hyperbolique trouve une interprétation dans la géométrie analytique sur une sphère de rayon imaginaire. À un tout autre point de vue, Beltrami donna plus tard de la géométrie de Lobatschefski une représentation remarquable en montrant que la géométrie plane du géomètre russe est identique à la géométrie sur -les surfaces à courbure constante négative, du moins quand on se borne à une portion limitée du plan et de la surface correspondante.

Dans la géométrie hyperbolique, on peut mener par un point deux parallèles à une droite. On peut admettre, au contraire, avec Riemann, que par un point on ne puisse pas mener de droite ne rencon-

trant pas une droite; on aura alors une seconde géométrie non euclidienne dite elliptique, dans laquelle la somme des angles d’un triangle dépasse deux droits. Ici le plan n’est plus infini, c’est-à-dire que les distances sur une géodésique restent finies. La géométrie elliptique peut être interprétée par la éonsidération des sphères de l’espace euclidien ;

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toutefois, cette interprétalion n’est valable que pour une portion limitée du plan non euclidien et non pour le plan tout entier. Une autre interprétation dans l’espace ordinaire de la géométrie plane elliptique, valable pour le plan entier, a été donnée par M. Klein ; considérons dans l’espace ordinaire l’ensemble des droites et des plans passant par un point, puis les angles dièdres formés par deux tels plans, toute relation entre ces éléments sera la traduetion d’une relation dans le plan non euclidien, en substituant aux mots droite, plan, angle ae les mots point, droite et angle.

On s'est naturellement demandé comment on pouvait être assuré que, dans les déductions des géométries non euclidiennes, on ne rencontrerail jamais dé contradictions. Les interprétations, auxquelles il a été fait plus haut allusion, sauf celles de M. Klein

pour la géométrie elliptique, ne donnent pas une

réponse satisfaisante, mais celle-ci peut être fournie par là considéralion des formules auxquelles on arrive en géométrie hyperbolique et qui ne sont autres, comme je le disais tout à l’heure, que celles de la trigonométrie sphérique ordinaire, en supposant le rayon de la sphère purement imaginaire. Toutefois, si l’on est ainsi assuré que le postulatum d'Euclidé ne peut être démontré en restant dans le plan, il reste un doute sur l'impossibilité de lä démonstration en employant des constructions hors du plan. L'étude des géométries né doit

donc pas se borner au plan; ce fut là l'œuvre de Riemann, d’'Helmholtz et, il y a quinze ans, de Sophus Lie. Tous trois se placent à un point de vue analytique et considèrent l’espace comme une multiplicité, c’est-à-dire qu’un point est défini par un système de trois nombres qu’on appelle les coordonnées du point, on ne pose plus alors ici la notion de plan et de droite, on part du point comme élément. Riemann a été dans celte voie, alors toute nouvelle, un initiateur. Considérant même des espaces à un nombre quelconque de dimensions, il introduit l’importante notion de courbure d’un espace, généralisant les notions classiques dues à Gauss sur la courbure des surfaces. Particulièrement importants sont les espaces à courbure constante. Un caractère fondamental des espaces à courbure constante est qu’on peutdans ces espaces déplacer une figure sans altérer ses longueurs et procéder dans les démonstrations par superposition des figures. Pour le cas de deux dimensions, suivant que la courbure constante est négative ou positive, on a la géométrie hyperbolique ou elliptique dont nous parlions plus haut. Dans un espace à trois dimensions à courbure constante, on a des déplacements possibles qui dépendent de six paramètres, et, en étudiant ces déplacements, on peut envisager à un nouveau point de vue les hypothèses fondamentales de la géométrie. C’est Helmholtz qui posa le premier la question sur ce terrain. La théorie des groupes n’était pas encore

créée à l’époque où le célèbre physicien écrivait son mémoire ; il était presque inévitable qu'il commit quelques erreurs. Cette étude fut complètement reprise par Sophus Lie.

J'ai déjà parlé plusieurs fois de groupes; c'est une notion qui joue un rôle fondamental dans la science. de notre époque, sur laquelle il convient de dire

quelques mots. Imaginons, avec Sophus Lie, que n .

relations permettent de transformer n variables en n autres variables, ces relations dépendant d’un certain nombre de paramètres arbitraires. Faisons de plus l’hypothèse que deux transformations de cette forme effectuées successivement donnent une transformation rentrant dans le même type, les valeurs des paramètres étant seulement changées. S’il en est ainsi, on a un groupe de transformations. Lie a fait la découverte capitale que la recherche de tous . ces groupes, pour un nombre donné de variables et de paramètres, se ramène à l'intégration d’équations différentielles ordinaires. Je ne citerai qu’un résultat, le plus simple de tous ceux qu’a obtenus Sophus Lie; quand il n’y a qu’une seule variable, le groupe peut, par un choix convenable de cette variable, être ramené au groupe linéaire et contient au plus trois paramètres.

Revenons aux principes de la géométrie et aux résultats oblenus par Lie. On a dans l’espace, dont on considère une portion limitée, un groupe de mouvements à six paramètres sur lequel on fait diverses

hypothèses. D'abord ces mouvements laissent invariable une certaine fonction des coordonnées de deux points quelconques. L'origine de cette hypothèse s’aperçoit d'elle-même : en langage’ordinaire et sans signe algébrique, on peut dire grossièrement que, en Ja faisant, on veut qu’il y ait relativement à deux points de l’espace quelque chose qui reste invariable après le mouvement; on pourra appeler ce quelque chose la distance de deux points. En second lieu, on veut, comme le disait Helmholtz, que le mouvement libre soït possible dans une certaine région de l’espace. Voici ce qu’on doit entendre par cette hypothése complexe. Tout d’abord, quand un point de la région est fixé, tout autre point de cette région, sans aucune exceplion, décrit une surface (multiplicité à deux dimensions). Ensuite, quand deux points sont fixés, un point arbitraire (des exceptions étant possibles) décrit une courbe (multiplicité à une dimensivn); enfin, si trois points arbitraires sont fixés dans ja région, tous les points de celle-ci restent en repos (des exceptions étant possibles). Telles sont les conditions que nous imposons à l’espace. Il y a seulement deux types d'espace satisfaisant à ces conditions. C’est tout d’abord l’espace ordinaire, ou euclidien auquel nous sommes - habitués ; puis deux espaces, qu’on peut appeler non euclidiens et qui sont dans le cas de trois dimensions les analogues des plans hyperbolique ou elliptique de tout à l'heure. C’est là une proposition bien remarquable

et qui montre que les espaces euclidien et non euclidien sont les seuls où on puisse faire logiquement les hypothèses qui, dégagées, bien entendu, de leur forme scientifique, sont regardées, par quiconque n’a pas réfléchi à ces questions, comme ayant un caractère nécessaire.

La démonstration du résultat précédent est très délicate. Ainsi les mots « sans aucune exception » que nous avons soulignés plus haut sont d’une extrême importance. Si l’on cherche le groupe des mouvements à six paramètres satisfaisant à la seconde condition, on ne trouve que les groupes euclidiens et non euclidiens, mais si on supprime les mots soulignés, on reconnait qu’il existe d’autres groupes que les précédents.

Ajoutons encore que les problèmes analogues dans le plan, admettent des solutions entièrement différentes : les espaces à deux dimensions euclidiens et non euclidiens ne sont pas caractérisés par les propriétés qui leur appartiennent uniquement dans le cas de trois dimensions. (ette circonstance n’avait pas autrefois échappé à Helmholtz. Si nous revenons à la question posée tout à l’heure relativement à l'impossibilité de toute contradiction, il est clair que du point de vue analytique où se place Sophus Lie, il n’y a aucune difficulté.

Au point de vue du géomètre norvégien, l'étude des principes de la géométrie peut donc être regardée comme épuisée, mais on ne doit pas oublier qu’il

se borne à considérer une petite portion de l’espace et suppose d’ailleurs que les fonctions servant à caractériser les groupes de mouvement satisfont aux conditions ordinaires de l'analyse infinitésimale. Clifford autrefois et Klein plus récemment ont appelé l'attention sur la question de la connexité de l’espace qui est extrêmement intéressante. Il est facile de se rendre compte de ce qu’on entend par là, en se bornant au cas d’une multiplicité à deux dimensions; la surface d’une sphère est différente de la surface d’un tore, au point de vue des courbes fermées tracées sur la surface. Sur la première, toute ligne fermée partage la surface sphérique en deux régions, tandis qu’il en est autrement sur la surface du tore, où on peut tracer deux courbes, soit un parallèle et un méridien qui ne limitent aucune portion de la surface ; l’ordre de connexilé des deux surfaces n’est pas le même. Peu importe quelle est la connexité de l’espace, quand on se borne à envisager une partie assez petite, mais il n’en va plus de même, quand on considère l’espace dans son ensemble. Nous ne savons évidemment rien de la connexité de l’espace où nous vivons; nous ne pouvons que faire la supposition qu'il est simplement connexe.

Nous nous sommes arrêté un peu longuement sur les géométries dites non euclidiennes, qui ont le plus de rapports avec notre géométrie ordinaire. Ces géométries d'espaces à courbure constante pourront

GEL et Pas dB Paire ES

très peu différer-de celle-ci, si la courbure est très

voisine de zéro. On n’a pas manqué de dire que la courbure de notre espace n’était peut-être pas nulle, mais seulement presque nulle; c'était, semble-t-il, l'opinion de Gauss, et il n’est pas douteux que la pensée de vivre dans un espace dont la courbure n'est pas nulle a donné une certaine popularité aux

—géométries non euclidiennes. Dans cet ordre d’idées,

on peut aller plus loin, admettre, par exemple, que la courbure de l’espace varie avec les lieux et avec le temps. Pour quelques-uns, ce sont là de pures rêveries : ils pensent que quelque soit l’espace où nous vivions, nous aurions toujours fait une inter-

prétation de nos sensations dans le langage euclidien

qui est pour nous le plus commode. C’est un point

auquel j'ai déjà fait allusion plus haut, et sur lequel

on peut se donner le plaisir de disserter indéfiniment.

Nous sommes loin d’avoir épuisé l’ensemble des études se rapportant aux principes de la géométrie. Dans ces dernières années, la question de l’indépendance des postulals a surtout préoccupé ‘les géomètres allemands, et c’est en construisant des

géométries affranchies de tel axiome, que l'indé-

pendance de ces axiomes a été établie par M. Hillbert. On remarquera aussi combien il est inexact de

parler, comme on le fait quelquefois. des trois

seules géométries possibles (hyperbolique, parabo-

à lique, elliptique).

Le nombre des géométries logiquement possibles est infini ; tout dépend des systèmes de postulats que l’on adopte. Déjà Riemann avait considéré dans sa célèbre dissertation inauguralé, des géométries dans des espaces à courbure variable d’un point à l’autré. La liste serait longue à dresser des géométries, analogues aux géométries non euclidiennes, qui portent généralement un nom illustre précédé d’une négation. Une des plus curieuses est la géométrie non-archimédienne. où on n’admet pas l’axiome | d’Archimède, dont j'ai dit un mot tout à l’heure; dans cette géométrie, les procédés par exhaustion ne peuvent être employés dans les démonstrations. Ceci est particulièrement intéressant pour la mesure des aires, et on peut faire à ce sujet quelques remarques concernant notre géométrie usuelle. En géométrie plane, deux polygones équivalents sont égaux par addition ou par soustraction, c’est-à-dire peuvent être décomposés en triangles égaux, ou bien peuvent être regardés comme des différences de polygones susceptibles d’êtré ainsi décomposés. Il n’en est pas de même dans la géométrie de l’espace; Gauss avait déjà il y a longtemps appelé l'attention des mathématiciens sur ce point. On a récemment établi que deux tétraèdres qui ont même base et des hauteurs égales ne sont pas toujours égaux par addition ou soustraction, c’est-à-dire ne peuvent pas être décomposés en tétraèdres égaux ou être regardés comme des düifférences de polyèdres décomposables en

tétraèdres égaux. La stéréométrie ne peut donc pas, comme la planimétrie, être faite sans recourir à des procédés d’exhaustion où de limite.

Mais j'en ai dit assez sur les principes de la géométrie. Pour beaucoup de personnes, les recherches de ce genre paraîtront de bien étranges imaginations. Il n’est cependant pas sans intérêt de mettre -à nu les très nombreux postulats indépendants qui sont à la base de notre géométrie, et qui n’ont pas les caractères de nécessité logique que leur attribue l'intuition, celle-ci n’épuisant pas toutes les possibilités logiques. Tout esprit philosophique doit à ce titre s'y intéresser. Au point de vue mathématique, l'étude des principes de la géométrie a offert, comme nous l’avons dit, à Sophus Lie un beau champ d'applications pour la théorie des groupes de transformations qu'il venait de créer. Dé même, quarante ans auparavant, la théorie des formes quadratiques de différentielles s’était développée grâce aux recherches de Riemann sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie. C’est ainsi que des études, -qui paraissent avoir d'abord un caractère purement philosophique, ont contribué aux progrès des sciences mathématiques. |

Il ne serait pas possible d’entrer dans quelques détails sur les progrès des mathématiques pures sans faire intervenir des symboles ou des signes d’opérations qui ne seraient pas ici à leur place. Tâchons seulement d'indiquer les voies dans lesquelles se poursuivent avec le plus de succès les recherches d'analyse et de géométrie.

Nous avons déjà dit un mot de l'importance qu’ont prise, à cause de leur simplicité même, les fonctions analytiques. Depuis Lagrange, et surtout après les travaux de Cauchy, de Weierstrass et de Riemann, la théorie des fonctions analytiques est devenue une branche maitresse de l’analyse mathématique. Elle doit son brillant essor à la découverte de quelques propositions générales parmi lesquelles se trouvent au premier rang les théorèmes de Cauchy, sur Pintégration le long d’un contour. Depuis vingt ans, une partie importante de l’effort mathématique a été consacrée soit aux fonctions analytiques en général, soit à certaines fonctions spéciales. Ne pouvant entrer ici dans le détail de ces recherches abstraites, qu’il me suffise de citer les noms de MM. Poincaré, Mittag-Leffler, Picard, Appell, Goursat, Painlevé, Hadamard et Borel entre bien d'autres.

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Les singularités des fonctions analytiques et leu]: diverses représentations par des séries, des intégrales définies, des fractions continues ont été étudiées d’une manière approfondie. Parmi les travaux les plus récents relatifs aux développements -en série, mentionnons les développements dus à M. Mittag- Leffler, les études de M. Hadamard sur les séries de Taylor. Les séries divergentes avaient été quelquefois employées par les géomètres du dix-huitième siècle et du commencement du dix-neuvième siècle, leur pénétration les avait fait le plus souvent échapper aux dangers des raisonnements fondés sur de telles considérations, mais sous l'influence de Cauchy, de Gauss et aussi d’Abel qui, dans une de ses lettres, traite d'invention du diable les séries divergentes, celles-ei avaient été proscrites de l’analyse mathématique. Dans ces derniers temps, M. Borel les a réhabilitées en introduisant la notion de série divergente sommable et l’utilisant pour l’étude des propriétés des fonctions. Parmi les fonctions particulières, après le merveilleux développement de la théorie des fonctions algébriques d’une variable et des transcendantes qui s’y rattachent, après les brillants travaux de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes, les fonctions algébriques de deux variables devaient solliciter l'effort des chercheurs. Les études de M. Picard sur ces questions concernent le point de vue transcendant, elles se rapportent aux intégrales de différentielles totales et aux inté-

grales doubles que l’on peut attacher à une surface algébrique. Les travaux de M. Noether, de MM. Castelnuovo, Enriques et Humbert se rapportent surtout au point de vue géométrique et algébrique. Le champ si vaste des fonctions analytiques de plusieurs variables est maintenant attaqué de différents côtés, et les résultats déjà obtenus promettent pour un

avenir prochain une ample moisson de découvertes. Si le concept de fonction analytique comprend aujourd’hui dans son domaine les fonctions les plus importantes de l’analyse, on ne doit pas cependant

négliger d'approfondir l’idée de fonction dans toute

sa généralité. J’en ai déjà montré plus haut le grand intérêt philosophique. Depuisles travaux déjà anciens de Riemann, de Weierstrass et de Hankel, ces études ont été poursuivies avec succès par MM. Darboux et Jordan, par M. Dini, M. Volterra et quelques jeunes géomètres, parmi lesquels on peut citer M. Baire et M. Lebesgue. A cet ordre d’idées se rattachent les travaux extrêmement nombreux sur les séries de Fourier qui jouent un si grand rôle en mathématiques pures et dans presque toutes les questions de physique mathématique. On rencontre sans doute dans beaucoup de ces recherches des fonctions bien bizarres, et quelques-uns demanderont à quoi pour- ront servir des fonctions aussi singulières. Il est . facile de répondre que les fonctions n’ont pas besoin de servir à quelque chose, et que l'étude de l’idée de fonction mérite d’être faite pour elle-même. Mais

de plus, avec la complexité croissante des phén6mènes naturels dont nous devons adorder l'étude, les images que nous pourrons nous en faire ne nous conduiront-elles pas à employer, pour lèurs représentations, d’autres fonctions que les fonctions analytiques ? Il serait téméraire de formuler une réponse négative. D’autres considérations montrent encore la nécessité de ne pas se borner systémaliquement aux fonctions analytiques, comme nous le dirons dans un moment.

Toute l’histoire de la science montre les rapports qui unissent l’analyse pure et les phénomènes natu- rels; c’est ce qu’on a vu dans le chapitre précédent. Cette solidarité se traduit mathématiquement quand on a ramené l'étude d'un phénomène à des équations différentielles ; ainsi, pour Fourier, l'étude de la propogation de la chaleur se ramène à une équation aux dérivées partielles que l’on devra intégrer à laide de conditions aux limites propres à chaque cas. De même, tous les résultats de la théorie mathématique de l’élasticité se concentrent dans un système classique d'équations différentielles. Nous reviendrons sur cette réduction au point de vue de la’mécanique et de la physique, quand nous parlerons de l’explication des phénomènes naturels. Nous avons montré dans le premier chapitre l'intérêt considérable s’attachant à l'étude des équations : différentielles. Des méthodes variées ont été proposées pour démontrer l'existence des intégrales rem-

plissant des conditions diverses; il ne faudrait pas croire d’ailleurs que de telles recherches soient simplement des raffinements de rigueur intéressant . seulement les purs analystes; on ne saurait trop répéter que la vraie rigueur est féconde, se distinguant par là d’une autre purement formelle et ennuyeuse, qui répand l'ombre sur les problèmes qu’elle touche. Il est d’une exirême importance dans maintes applicalions, de savoir dans quel champ se trouveront certainement définies les intégrales déterminées par les conditions initiales : À cette question doivent répondre les recherches précédentes. C'est ici qu'il : est parfois très important de ne pas se borner systématiquement aux fonctions analytiques; les hypothèses inutiles ainsi introduites ont conduit souvent à délimiter pour les intégrales des champs d’existence beaucoup moins étendus que ceux qui peuvent être obtenus en se plaçant à un point de vue plus général.

Les problèmes posés par l’étude des équations différentielles sont en nombre immense, Depuis vingt ans des voies nouvelles ont été ouvertes et. dans des directions variées. Il faudra sans doute une longue suite d’efforts pour venir à bout des questions posées, mais nous commençons à nous rendre compte de la nature des difficultés qu'il faudra vaincre. La plupart des géomètres qui se sont occupés de la théorie générale des fonctions analytiques ont apporté aussi leurs contributions à

ns

l'étude des équations différentielles ordinaires, eommencée jadis à ce point de vue par Cauchy et continuée par Briot et Bouquet et par Fuchs. Les :echerches les plus récentes qui doivent être men- tionnées dans cet ordre sont celles de M. Painlevé que la considération de certaines équations du second ordre a conduit à des transcendantes nouvelles irréductibles à des transcendantes déjà connues.

La physique mathématique indiquait, nous l’avons dit, des types de problèmes du plus haut intérêt ; cette voie féconde est suivie par de nombreux chercheurs. C’est actuellement un des sujets qui doivent attirer le plus les mathématiciens. On y risque moins que dans d’autres domaines de s’égarer dans des impasses et dans des recherches stériles, les questions étant le plus souvent posées par la physique. Iei encore on retrouve la distinction entre les fonctions analytiques et les fonctions non analytiques. Il est des phénomènes où on ne rencontrera certainement que desfonctions analytiques, car on a pu établir que les équations différentielles qui les régissent n'avaient que des intégrales analytiques. Pour d’autres, au contraire, il en est tout autrement ; tels sont, par exemple, ceux où on rencontre des propagations d’ondes. Il y a là, pour le mathémalicien, des problèmes de natures très différentes où des résultats extrêmement remarquables ont été récemment obtenus.

Je viens de dire quelle mine fructueuse a été et

sera pour l'analyste la mécanique et la physique mathématique. On a pu voir dans le premier chapitre qu’il ne faudrait pas cependant professer une Opinion trop systématique sur cette marche parallèle de la théorie pure et des applications comme le faisait, avec Laplace, Fouriér, Poisson, la brillante école française de physique mathématique du commencement du siècle dernier.

Pour eux, l’Analyse pure n’était que l'instrument, et Fourier, en annonçant à l’Académie des Sciences les travaux de Jacobi, disait que les questions de la Philosophie naturelle doivent être le principal objet des méditations des géomètres; « on doit désirer, ajoutait-il, que les personnes les plus propres à

perfectionner la science du caleul dirigent leurs tra-

vaux vers ces hautes applications si nécessaires au progrès de l'intelligence humaine ». Ce désir très légitime ne doit pas être exclusif. Ce serait méconnaitre d'abord la valeur philosophique et artistique des mathématiques. De plus, des spéculations théoriques sont restées pendant longtemps éloignées de toute application, quand un moment est venu où elles ont pu être utilisées. On n’en peut pas citer d'exemple plus mémorable que le concept des sections coniques élaboré par les géomètres grecs, qui resta inutilisé pendant deux mille ans, jusqu’au jour où Kepler s’en servit dans l'étude de la planète Mars. Si, en plus d’une occasion les mathématiques appliquées ont donné l'impuision en posant les pro-

blèmes, il y a en revanche des cas où le développement de la théorie pure a permis seul certaines applicalions que l’on n’avait pu jusque-là aborder. Il faut donc apporter dans les vues générales sur la marche de la science une grande largeur d'idées et ceci n’a rien de spécial aux sciences mathématiques ; l'esprit souffle où il veut. Peu d’années après que Fourier écrivait les lignes que je viens de rappeler, apparaissait Evariste Galois qui aurait, s’il avait vécu davantage, rétabli l'équilibre en ramenant les recherches vers les régions les plus élevées de la théorie pure; ce fut un malheur irréparable pour la science française que la mort de Galois, dont le génie allait, vingt ans plus tard, exercer une action si profonde sur les parties les plus abstraites des mathémaliques. | :

Parmi les applications de la théorie des équations différentielles, une des plus intéressantes et des plus importantes concerne la géométrie. En France, cette école d'analystes géomètres, pour qui les problèmes. de géométrie infinitésimale sont l’occasion de belles recherches analytiques, à pour chef M. Darboux. Ses leçons sur la théorie des surfaces sont un livre . classique, qui a rappelé l'attention sur des questions quelque temps négligées. Les recherches de géométrie infinitésimale ont pris un grand essor sous linfluence de ce bel ouvrage ; les travaux de M. Darboux, . ceux de MM. Weingarten, Bianchi, Goursat, Guichard, Kænigs, Raffy et bien d’autres, ont donné une vie

nouvelle à cette partie si importante, depuis Gauss, des sciences mathématiques, et, entre autres, la question de Ha déformation des surfaces, s’est enrichie de résultats remarquables. Je donnerai une idée de ce genre de recherches, en énonçant un théorème élégant sur les surfaces. On sait que l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux en un point d’une surface s'appelle la courbure de la surface en ce point. La sphère est une surface fermée, sans singularités, à courbure constante positive; elle est la seule, comme la montré M. Liebmann

Nous avons parlé tout à l'heure de l’œuvre de Sophus Lie sur la théorie des groupes de transformations, qui restera certainement un des plus beaux monuments de l’analyse mathématique au xix° siècle. L'illusitre géomètre en avait montré l'importance dans l’étude des équations différentielles, et ses élèves ont continué ce genre de recherches. A un tout autre point de vue, M. Picard, MM. Vessiot et Drach ont tiré parti de la théorie des groupes de transformalions pour étendre à l’analyse les notions si fécondes introduites en algèbre par Galois, de telle sorte que de remarquables analogies entre la théorie des équations différentielles et la théorie des équations algébriques ont élé mises en évidence.

Je ne puis terminer cette rapide revue touchant les sciences mathématiques sans dire un mot de leur partie la plus abstraite, celle où règne le nombre

pur. Les célèbres recherches de Kummer, de M. de kind et de Kronecker sur les nombres algébriques ont élé l’origine de travaux extrêmement intéressants publiés surtout en Allemagne. Toute une arithmétique nouvelle a été fondée, où les lois de la divisibilité se présentent d’abord tout autres que dans l’arithmétique usuelle; on y voit des entiers

- décomposables de plusieurs manières en facteurs

premiers, et ce n’est qu’en introduisant la notion des idéaux que M. Dedekind a pu retrouver les lois simples auxquelles nous sommes habitués. Citons encore le nom de M. Minkowski qui utilise en arithmétique les conceptions géométriques et vient de rassembler ses profondes recherches dans un livre sur la géométrie des nombres, et les noms de MM. Hilbert, Hurwitz et Frobenius auxquels la théorie des nombres et l’algèbre pure doivent d'importants progrès. Rappelons enfin que M. Lindemann, s’inspirant des profondes recherches d’IHermite sur la transcendance du nombre e, a pu établir l’impossibilité de la quadrature du cercle, proposition dont, depuis plus de deux mille ans, on cherchait en vain une demonstration rigoureuse ; la démonstration, considérablement simplifiée, peut figurer aujourd’hui dans l'enseignement élémentaire de nos Universités.

SG LA scirntcs mMUDERNE ET SON ÉTAT ACTUEL