L'ANTIQUITÉ ET LE MOYEN AGE

Nous commencerons par jeter un coup d’œil rapide sur le développement de l'Analyse et ses rapports avec quelques autres sciences. Quelquesunes des idées émises dans ce chapitre seront reprises et précisées dans la suite de cet ouvrage, mais il semble qu'il peut y avoir quelque intérêt à une vue historique d'ensemble sur les sciences

1. Ce chapitre résume unc conférence faite au Congrès des Arts et Sciences de l'Exposition universelle de Saint-Louis (États- * Unis), le 2? septembre 1904.

mathématiques dans leurs rapports avec les autres sciences. On verra ainsi par avance comment celles-ci tendent de plus en plus à prendre une forme mathématique, et quelle est la signification exacte de cette réduction. :

On pourrait commencer par parler du concept même de nombre entier; mais ce sujet n’est pas seulement d'ordre logique, il est aussi d'ordre historique et psychologique et nous entrainerait à trop de discussions. Depuis que le concept de nombre a -élé approfondi, on y a trouvé de très grandes diffi- “cultés; ainsi, c'est un problème encore pendant que de savoir, entre les deux formes, le nombre cardinal et le nombre ordinal, sous lesquelles se présente l’idée de nombre, laquelle des deux est antérieure à l’autre, c’est-à-dire si l’idée de nombre proprement dit est antérieure à celle du rang, ou si c’est l'inverse. 11 semble que les géomètres logiciens négligent trop dans ces questions la Psychologie et les enseignements que nous donnent les peuples non eivilisés. Peut-être n'y a-t-il pas de réponse générale à la question posée, cette réponse variant suivant les races et suivant les mentalités. J'ai quelquefois pensé, à ce sujet, à la distinction entre les audilifs et les visuels, les auditifs se raltachant à la théorie ordinale et les visuels à la théorie cardinale. Mais je ne m'attarde pas sur ce terrain plein d'embüches. Je crains que notre école moderne de logiciens s’entende difficilement avec les ethnographes et les biologistes ;

ceux-ci, dans les questions d’origine, sont toujours dominés par la thèse évolutionniste, et considèrent généralement la logique comme le résumé de l’expérience ancestrale. On a même reproché aux mathématiciens de poser en principe qu’il y a un esprit humain en quelque sorte extérieur aux choses, et qu'il a sa logique. Quoi qu'on en puisse penser, * cette idée a été très utile, sinon indispensable, aux progrès des Sciences mathématiques, et, certaine- ment, à supposer qu’elle ait évolué dans la suite des temps préhistoriques, cette logique de l'esprit humain était bien fixée du temps des plus vieilles écoles géométriques de la Grèce; leurs travaux paraissent en avoir été le premier code, comme l'exprime l’histoire de Platon écrivant sur la porte de son école : « Que personne n'entre ici, s’il n’est géomètre ».

Longtemps avant que l’on eût tiré de l’arabe le mot bizarre d’Aloèbre, qui, paraît-il, exprime lopération par laquelle on ramenait les égalités à une cértaine forme canonique, les Grecs avaient fait de l'algèbre sans le savoir; on ne peut même imaginer de relations plus étroites que celles qui liaient leur algèbre et leur géométrie, ou plutôt, on serait eml arrassé de classer, s’il y avait lieu, leur algèbre gé métrique, dans laquelle ils raisonnent, non sur les nombres, mais sur les grandeurs. Chez les Grecs :ussi, nous trouvons une arithmélique géométrique, et une des phases les plus intéressantes de son

développement est Le conflit qui, chez les Pythagoriciens, s’éleva à ce sujet, entre le nombre et la grandeur, à propos des irrationnelles. Si les Grecs cultivèrent l'étude abstraite des nombres, dénommée par eux Arithmétique, leur esprit spéculatif montra peu de goût pour le calcul pratique qu'ils appelaient la Zogistique. Dans la haute antiquité, les Égyptiens et les Chaldéens, et plus tard les Indiens et les Arabes, poussèrent fort loin la science du calcul. Ils y avaient été conduits par les nécessités pratiques ; la Logistique a précédé l’Arithmétique, comme l’Arpentage et la Géodésie ont ouvert la voie à la Géométrie; de même encore la Trigonométrie s’est développée sous l'influence des besoins croissants de l’Astronomie. L'histoire de la Science à ses débuts montre une relation étroite entre les Mathématiques pures et les Mathématiques appliquées : nous la retrouverons constamment dans les pages qui suivent.

Nous sommes restés jusqu'ici dans le domaine que le langage courant appelle l’algèbre et l'arithmétique élémentaires. En fait, dès qu'avait été reconnue l’incommensurabilité de certaines grandeurs, l’infini avait fait son apparition et, dès le temps des sophismes de Zénon sur l'impossibilité du mouvement, on dut se préoccuper de la sommation des progressions géométriques. Les procédés d’exhaustion que l’on trouve dans Eudoxe et dans Euclide appartiennent déjà au calcul intégral, et Archimède

calcule des intégrales définies. La Mécanique apparaît aussi dans son traité sur la quadrature de la parabole, car il trouve d’abord la surface du segment limité par un arc de parabole et sa corde en s'appuyant sur le théorème des moments; c’est le premier exemple des rapports entre la Mécanique et l'Analyse qui n'ont cessé de se développer par la suite. La méthode infinitésimale des géomètres grecs sur la mesure des volumes a soulevé des questions dont l'intérêt aujourd’hui même n’est pas épuisé. En géométrie plane, deux polygones équivalents sont égaux par addition ou par soustraction, c’està-dire peuvent être décomposés en triangles égaux ou regardés comme des différences de polygones susceptibles d'une telle décomposition. Il n’en est pas de même pour la géométrie de l’espace, et l’on sait depuis peu que la Stéréométrie ne peut pas, comme la Planimétrie, être faite sans recourir à des procédés d’exhaustion ou de limite. Ce coup d’œil jeté sur l’antiquité montre combien furent alors amalgamés l’Algèbre, l’Arithmétique, la Géométrie et les premiers essais de Calcul intégral et de Mécanique, au point qu'il est impossible d’en rappeler séparément l’histoire. |

Au Moyen Age et à la Renaissance, l'Algèbre géométrique des anciens se sépare de la Géométrie. Peu à peu, l’Algèbre proprement dite arrive à autonomie, avec son symbolisme et ses notations

de plus en plus perfectionnées; ainsi se crée cette | 2.

angue d’une admirable clarté, qui procura à la pensée une véritable économie et rendit possibles les progrès ultérieurs. C’est le moment aussi où des divisions distinctes s'organisent. La Trigonométrie qui, dans l'antiquité, n’avait été qu’une auxiliaire de lAstronomie, se développe indépendamment; vers le même temps apparait le logarithme et des éléments essentiels sont ainsi mis en évidence.