LES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES DE LA MÉCANIQUE

L'ensemble des travaux de Galilée, de Huyghens et de Newton avait conduit à regarder que les circonstances déterminantes du mouvement produisent des accélérations. On fut ainsi conduit à poseX* en principe que la rapidité avec laquelle change l'état dynamique d'un système isolé dépend d'une manière déterminée de son état statique seul. Il fut donc postulé, plus ou moins explicitement, que les chan-

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gemenis infîniment petits qui surviennent dans un système isolé dépendent uniquement de Tétat actuel de celui-ci, c'est-à-dire que les accélérations de ses divers points sont des fonctions (que des lois physiques font connaître pour chaque catégorie de phénomènes) des coordonnées de ces points. Ces relations constituent les équations différentielles du mouvement du système, et le produit de la masse par l'accélération qu'elles font connaître représente la force agissant sur le point, provenant des autres parties du système; on a, dans chaque cas particulier, à discuter la possibilité de la mesure statique de ces forces.

On supposa en outre que tous les systèmes isolés sont conservatifs, en entendant par là qu'il y a pour l'ensemble des forces un potentiel dépendant uniquement de la position relative de ses diverses parties et que, par suite, la force vive du système (produit de la somme des masses par les carrés des vitesses) est une fonction de même nature. D'ailleurs cette hypothèse permet à elle seule de retrouver les expressions des accélérations en fonction des coordonnées si on admet, et cest là un point capital^ que, à un moment donné, on peut se donner arbitrairement la position et la vitesse des points du système, de sorte que dans le mouvement de notre système de n points, il y ait 6n constantes arbitraires.

Ainsi se trouvèrent peu à peu élaborés les principes généraux de notre mécanique classique, et il est essentiel de remarquer que, dans ces conditions, les équations du mouvement ne changent pas si, dési-

gnant le temps par t^ on change ^ en — t, car seules les dérivées secondes figurent dans les relations.

Nous avons supposé le système isolé. Un système non isolé S fait partie d'un système isolé plus vaste S, et Ton peut concevoir les équations précédentes relatives au système total S. Dans la partie de ces équations relatives aux points de 5 figureront des forces provenant de S sur ces points ; c'est là un embarras considérable pour former les équations du mouvement 5 seul. Souvent les forces provenant des parties de S extérieures à S pourront être regardées pratiquement comme ne dépendant que des coordonnées des points de S, et nous aurons alors le système S se déplaçant dans un champ de forces extérieures, fonction des coordonnées de ces points ; les équations du mouvement S seront de même forme que plus haut. Le système isolé formé par un point pesant et la Terre en offre l'exemple le plus simple, quand on traite du mouvement de ce point en regardant comme constant le champ de la pesanteur.

Les équations du mouvement sont susceptibles d'une forme différente, quand la position du système, par suite de certaines liaisons, dépend seulement d'un nombre p de paramètres moindres que 3 n, et que les forces provenant de ces liaisons sont regardées comme ayant un potentiel constant. On aura alors un système de p équations ; la solution générale dépendra de 2p constantes arbitraires, qui pourront être les valeurs des paramètres et de leurs dérivées premières à un moment donné. Ici, comme

plus haut, les équations ne changeront pas, quand on changera ^ en — f , c'est-à-dire que Von renversera le mouvement en changeant le sens des vitesses. On pourra alors remonter le cours du temps, conclusion bien grave sur laquelle nous reviendrons tout à l'heure.

Nous venons de dire les lois générales de ce que nous avons appelé la mécanique classique. Le principe fondamental d'où elles découlent, est, comme nous l'avons vu, que les changements infiniment petits à partir d'une position dépendent seulement de l'état statique actuel. Or, on aperçoit de suite des exceptions, au moins apparentes, à ce principe. Nous voyons constamment autour de nous des mouvements s'éteindre par suite de résistances passives, telles que la viscosité et le frottement; ce sont là les cas les plus simples où le principe ne paraît pas pouvoir être conservé. Souvent, on se tire pratiquement de la difficulté, en ajoutant des forces ne dépendant pas seulement de la position. Ainsi, pour un corps en mouvement dans un fluide, on ajoutera des forces dépendant de la vitesse, dont des expériences auront déterminé la loi dans certains cas particuliers; telle est pour un corps dans l'air la résistance proportionnelle au carré de la vitesse dans des limites assez étendues. Pour deux corps solides frottant l'un contre l'autre, on ajoutera une force tangentielle dite de frottement, qui rend dans la pratique de grands services, mais sur laquelle nous ne sommes guère plus renseignés aujourd'hui qu'au temps de Coulomb qui en a fait connaître les

lois encore admises. Il est même singulier, notonsle incidemment, que des études nouvelles n'aient pas été tentées sur un sujet aussi important, avec toutes les ressources qu'offre l'expérimentation moderne, de façon à nous faire sortir d'un empirisme par trop grossier.

Quoi qu'il en soit, si, au point de vue des applications, nous pouvons nous en tirer plus ou moins heureusement par l'introduction de forces d'une autre nature, s'ensuit-il que nous devons rejeter définitivement le principe fondamental? C'est là une grave question que nous devons examiner.

On peut soutenir que les exemples cités ne sont pas en opposition avec le principe fondamental de. la dynamique classique. Dans le cas d'un corps en mouvement dans un fluide, en portant notre attention seulement sur le corps, nous sommes bien obligés d'introduire des forces dépendant des vitesses, mais il n'en serait plus nécessairement de même si nous considérions l'ensemble du corps et du fluide. Les molécules du fluide situées en avant du coi'ps sont, peut-on dire, beaucoup plus rapprochées les unes des autres que les molécules placées en arrière, et c'est cette configuration qui règle le mouvement. Il est de même dans le cas du frottement ; les forces de frottement ne seraient que des forces apparentes. Ici encore, nous portons notre attention sur un trop petit nombre d'éléments; l'introduction d'un plus grand nombre de variables, par exemple d'éléments relatifs aux déformations des corps en contact qui sont dissymétriques par rapport

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au mouvement, pourrait montrer encore que celui-ci est réglé à chaque instant par l'état statique.

Je généraliserai et préciserai ces vues particulières en reprenant les équations différentielles de la dynamique classique avec les p paramètres dont dépend la position du système. Je suppose que ces paramètres puissent se partager en deux groupes, les uns correspondant à des variables visibles que nous pouvons mesurer et sur lesquelles nous pouvons avoir action, les autres étant des variables cachées^ échappant à nos mesures, et sur lesquelles nous ne pouvons agir; soit q le nombre des premières {q<p). Nous devons regarder que l'intégrale des équations différentielles du mouvement ne dépend pas ici de 2p arbitraires, mais seulement de S 9 ; car, à un instant déterminé, nous disposons seulement des variables visibles et de leurs dérivées premières.

On comprend alors que tous les mouvements, possibles pour nous, puissent dans certains cas s'éteindre. Une grosse difficulté se trouve ainsi écartée relativement au changement de t en — t dans les équations. Il reste toujours que les équations ne sont pas modifiées par ce changement, mais il n'est pas possible néanmoins de remonter le cours du temps, car nous ne pouvons, à un moment donné, changer le signe de toutes les dérivées premières, puisqu'il y en a jt? — q dont nous ne disposons pas. Il n'est donc pas impossible qu'un système irréversible puisse être conservatif et obéisse aux lois générales de la mécanique classique.

De telles considérations ne plaisent pas, je le sais,

à beaucoup de physiciens qui les trouvent arbitraire? et infécondes. Je ne crois pas cependant qu'on puisse systématiquement refuser d'introduire des variables cachées ou des masses cachées, comme disaient Helmholtz et Hertz. L'éther qui est formé de masses cachées joue un rôle essentiel en optique et en électricité, et que deviendraient les chimistes sans les atomes et les molécules qui sont, eux aussi, des masses cachées. L'introduction de variables cachées peut sans doute être délicate, mais de toutes parts, surtout en électricité, nous voyons aujourd'hui s'introduire de tels éléments, et il ne semble pas que ce labeur ait été infécond.

Il se pourrait même que certaines variables cachées dévissent des variables visibles, grâce aux perfectionnements des méthodes de mesures, et il est loisible de faire le rêve que notre puissance sur les choses s'agrandira à mesure que q se rapprochera de p; nos approximations en mécanique deviendront ainsi de plus en plus serrées. Le cas chimérique, où p serait égal à ç, nous ramènerait à la réversibilité complète ; nous pourrions alors remonter le cours du temps.

DE L'EXPLICATION MÉCANIQUE DES PHÉKOMInES NATURELS

Que doit-on entendre par explication mécanique des phénomènes? C'est une question sur laquelle on est loin d'être d'accord. Si on adopte les points de

vue qui précèdent, regardant tous les systèmes isolés comme conservatifs, il ne peut y avoir hésitation. On aura l'explication mécanique d'un phénomène quand on sera arrivé, par nntroduction de variables visibles et cachées convenables, à le regarder comme faisan^ partie d'un système conservatif plus ample. Cette réponse est précise, mais elle incite à poursuivre un but peut-être chimérique et reste, en tout cas, très théorique. Si on veut une réponse plus pratique, il faut se contenter d'à peu près, comme on le fait le plus souvent.

Aux forces de la mécanique classique, on ajoute des forces du type des actions dues aux viscosités et aux frottements dont la loi est déterminée par un empirisme plus ou moins grossier, les équations formées avec cette addition permettent alors d'étudier le mouvement, et on dit, c'est là le sens le plus ordinaire de l'expression, que l'on a une explication mécanique. Pour voir sous son vrai jour ce que peut recouvrir ce mot d'explication et ne pas se faire d'illusions, il suffit de se reporter à certains problèmes de frottement, surtout quand il y a des roulements dont les lois sont si mal connues.

Revenant au point de vue théorique, on peut se demander si un ne pourrait pas généraliser la dynamique classique, en la rendant plus compréhensible. C'est ce qu'avait déjà cherché Laplace au commencement do \b, Mécanique céleste. Au lieu d'admettre que l'impulsion de la force est proportionnelle à la vitesse, il suppose qu'elle soit (une certaine fonction de la vitesse. Les principes généraux du

mouvement se présentent alors sous un nouveau point de vue ; ce que nous avons appelé la masse dépend en général de la vitesse, et cette conséquence n'est pas pour déplaire aujourd'hui où on croit entrevoir des cas où la masse varie avec la vitesse, quand celle-ci se rapproche de la vitesse de la lumière. Dans cette dynamique généralisée, le principe de l'énergie subsiste en modifiant convenablement la définition de la force vive ^

Dans toute cette étude, les lois exprimant nos idées sur le mouvement se sont trouvées condensées dans des équations différentielles, c'est-à-dire des relations entre les variables et leurs dérivées. Il ne faut pas oublier que nous avons en définitive formulé un principe de non-hérédité, en supposant que l'avenir d'un système ne dépend à un moment donné que de son état actuel ou d'une manière plus générale (si on regarde les forces comme pouvant aussi dépendre des vitesses) que cet avenir dépend de l'état actuel et de Tétat infiniment voisin qui précède. C'est une hypothèse restrictive et que, en apparence au moins, bien des faits contredisent. Les exemples sont nombreux, où l'avenir d'un système semble dépendre des états antérieurs; il y a hérédité. Dans des cas aussi complexes, on se dit qu'il faudra peut-être abandonner les équations différentielles et envisager des équations fonctionnelles^ où figureront des intégrales prises depuis un

1. Dans un ouvrage remarquable, MM. E. et F. Gosserat ont repris les idées de Laplace, en leur donnant une trèg grande extension.

temps très lointain jusqu'au temps actuel, intégrales qui seront la part de cette hérédité; j'en ai dit un mot dans le chapitre précédent. Les tenants de la mécanique classique pourront cependant prétendre que rhérédité n'est qu'apparente, et qu'elle tient à ce que nous portons notre attention sur un trop petit nombre de variables. Il en sera ici comme il en était plus haut, mais dans des conditions plus complexes encore.

On voit assez, par ce qui précède, les difficultés que présente la notion d'explication mécanique des phénomènes naturels. Il est nécessaire de les constater, car avant tout le savant ne doit pas se laisser abuser par les mots. Mais il n'y a pas là matière à découragement. Bien au contraire, il est vraiment extraordinaire que, au milieu de la complexité des apparences, l'homme ait pu, servi par d'heureux hasards dont nous avons signalé quelques-uns chemin faisant, arriver à débrouiller, superficiellement au moins, un tel chaos. Le passé répond de l'avenir. Après les premières approximations en viendront d'autres d'ordre plus élevé nous rapprochant du but idéal, dont l'homme de science a le sentiment, et auquel il croit sans pouvoir d'ailleurs le définir avec précision.