L'ANALYSE ET LA PHYSIQUE

L'histoire des mathématiques, en ses points les plus essentiels, se confond, au xvu* siècle, avec celle de la mécanique et de la physique, et de savantes recherches sur la théorie des fonctions ont montré récemment que des problèmes fondamentaux dans cette théorie se sont présentés de bonne heure.

Ainsi Glairaut. dans sa théorie de la figure de la terre, considère pour la première fois des intégrales curvilignes et donne la condition pour qu'elles ne dépendent pas du chemin suivi entre deux limites déterminées. Pareillement, les deux équations fondamentales de la théorie des fonctions d'une variable complexe apparaissent tout d'abord dans un mémoire sur la résistance des fluides sous la plume de d'Alembert, qui voit le rôle joué dans leur étude par le symbole ^ — 1, déjà introduit par Leibnitz et Jean Bernoulli; un peu plus tard, d'Alembert écrivait pour la première fois l'équation A9' = 0. On sait qu'une analyse, présentant avec les recherches précédentes une grande analogie, lui donnait aussi l'intégration de l'équation des cordes vibrantes. On retrouve encore les fonctions d'une variable complexe dans un mémoire plus récent d'Euler sur le mouvement des fluides, et dans les travaux de Lagrange sur les cartes géographiques. Ainsi une des théories de l'analyse moderne, qui a eu le plus d'éclat au xix** siècle, a trouvé son origine dans des problèmes de mécanique et de physique.

L'étude de l'attraction n'a pas eu moins d'importance pour le développement de l'analyse. On aurait peut-être pu souhaiter pour la simplicité des calculs laborieux de la mécanique céleste une autre loi que celle du carré de la distance, mais, si la nature nous devait une compensation, il faut avouer qu'elle nous l'a largement donnée, en permettant de créer la théorie du potentiel newtonien, aucune autre loi d'attraction n'étant susceptible de poser à

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ce point de vue tant de problèmes féconds et d'un intérêt général. Dans cet ordre d'idées, l'équation dite de Laplace, à laquelle satisfait le potentiel en dehors des masses attirantes, est à signaler tout particulièrement; se rencontrant aussi en hydrodyn'amique et dans la théorie de la chaleur, elle a conduit à différents types de problèmes aux limites qui, étendus à des équations plus générales, sont encore aujourd'hui l'objet des préoccupations des analystes. Lagrange déplorait qu'il n'y eût qu'un système du monde à découvrir. Nous serions presque tentés de croire à notre tour qu'on ne retrouvera plus une mine aussi féconde que cet ensemble de théories physiques liées à la considération du potentiel newtonien, si nous ne savions que, dans les sciences de la nature, nos représentations et nos concepts évoluent avec les progrès de l'observation et de l'expérience; ce qui fait que des regrets, comme celui de Lagrange, ne sont pas justifiés. Il y aura toujours quelques coins du système du monde ii explorer, et sans doute, les mathématiciens l'espèrent du moins, quelques problèmes d'analyse à nous poser à leur sujet.

La théorie analytique de la chaleur dans l'immortel ouvrage de Fourier a ouvert aussi la voie à bien des problèmes, et nous y trouvons des méthodes d'intégration an moyen de solutions simples, inspirées par les questions physiques elles-mêmes. Quelquefois, en effet, celles-ci ne donnent pas seulement le matériel analytique, sur lequel travaillera le mathématicien, mais elles lui fournissent des indications

sur la marche à suivre dans la solution. Ainsi, dans les théories moléculaires, les équations aux dérivées partielles se présentent comme des transformées limites, mais plus maniables, d'équations aux différences finies ou d'équations différentielles ordinaires; or, il peut arriver précisément que, pour deviner la forme des solutions, il soit utile de revenir à ces dernières équations. C'est ce qui arrive à Fourier, quand il étudie la communication de la chaleur entre des masses disjointes et en fait l'application au cas où le nombre des masses est infmi* On a eu recours souvent, depuis Fourier, à des considérations de ce genre pour établir des théorèmes d'existence, en passant ensuite à la limite, et l'on pourrait indiquer des travaux tout récents sur les équations fonctionnelles, qui utilisent au fond là même idée, dont la mise en œuvre peut présenter de grandes difficultés. Ce sont là des cas où la phy* sique rend à l'analyse un double service, lui propo* sant des problèmes et lui suggérant des vues pour leurs solutions.

On a souvent cité la belle page du discours préliminaire de Fourier, où il développe cette pensée que l'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques^ mais il faut reconnaître qu'il y parle plus en physicien qu'en géomètre, quand il insiste sur la néces-^ site d'aller jusqu'aux dernières applications numériques, condition nécessaire, dit-il, de toute recherche, et sans" laquelle on n'arrive qu'à des transfor* mations inutiles. Fourier réduit trop ici le rôle de

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l'analyse mathématique, et, si la physique a été l'origine première de grandes théories analytiques, le mathématicien rend au physicien d'autres services que de lui donner des possibilités de prévisions numériques. Nous avons tous rencontré des savants adonnés aux sciences expérimentales, pour qui c'est là la seule utilité des mathématiques. C'est méconnaître l'admirable puissance de transformation du raisonnement et du calcul mathématiques. Peut-on, par exemple, ne pas être saisi d'admiration quand on lit le célèbre mémoire de Green, resté longtemps inaperçu, sur l'application de l'analyse aux théories de l'électricité et du magnétisme, et dont Gauss, Chasles et Thomson, devaient dix ans plus tard retrouver les résultats ? Le calcul devançait ici l'expérimentation, en découvrant des théorèmes fondamentaux sur l'induction électrostatique à laquelle des expériences mémorables devaient ultérieurement conduire Faraday.

En entrant un peu plus dans le détail de la théorie des équations aux dérivées partielles, nous trouve* rions d'autres exemples, qyi caractérisent bien les services que les mathématiques peuvent rendre à la physique. Ainsi une vue très nette des différentes espèces d'ondes, au point de vue de la propagation, est résultée de la considération des différents types d'équations. Dans les équations du type de la théorie de la chaleur, l'étude des intégrales montre que toute variation se fait sentir instantanément à toute distance, mais très peu à grande distance, et l'on ne peut parler alors de vitesse de propagation ; en un

point, la température passe par un maximum pour décroître ensuite, et le temps au bout duquel ce maximum est atteint est proportionnel au carré de la distance. On sait que Lord Kelvin, a appliqué l'équation de Fourîer à la propagation des courants électriques dans les câbles, en négligeant l'effet de la self-induction; il a ainsi montré que les signaux ■atteindraient pour chaque pertubation leurs maxima dans un temps proportionnel au carré de la distance, et ce résultat de la théorie a joué un rôle essentiel dans l'établissement de la télégraphie transatlantique. Les choses se passent autrement dans le cas des équations du type de la propagatioii du son, qui est aussi celui de la propagation de la lumière et des ondes électriques. L'effet ici n'est pas immédiatement senti, il dure pendant un certain temps et disparaît ensuite, tout au moins dans les milieux à une et trois dimensions.

Les deux types précédents se trouvent en quelque sorte condensés dans l'équation relative à la propagation du son dans un liquide visqueux, des ondes électriques dans un diélectrique légèrement conducteur ou dans une ligne télégraphique pour laquelle la self-induction n'est pas négligeable. Il y a, dans ce cas, encore propagation par ondes avec une vitesse déterminée, mais cette onde s'étale en arrière et laisse une trace qui demeure indéfiniment ; elle peut, dans les communications télégraphiques, être une source de confusion dans les signaux, et l'on s'est ainsi rendu compte des résultats contradictoires obtenus autrefois dans la recherche de la vitesse de Télectricité.

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Ces questions de propagation d'ondes, si intéressantes pour la Physique, n'ont peut-être pas un moindre intérêt psychologique. C'est grâce à l'absence des résistances passives que peut en général se conserver au loin, pour la vue et pour l'ouïe, la netteté des sensations ; ce qui fait, comme on l'a dit, de ces deux sens les sens intellectuels par excellence. A cet égard, le sens de la vue est inférieur à celui de l'ouïe, en raison de la dispersion de la lumière, dispersion que ne présentent pas les sons modérés. 11 faut d'ailleurs y ajouter le rôle considérable joué en acoustique par les harmoniques, rôle bien moindre en optique où l'œil ne perçoit pas une octave ; et ceci ne nous éloigne pas des mathématiques, s'il est vrai, comme le prétendent quelques physiologistes, que l'organe de Corti dans le labyrinthe de l'oreille doive être regardé comme l'organe du sens arithmétique et nous fournisse notre concept du nombre.

Il faut avouer cependant que les mathématiques ont leurs ennemis, et les services considérables rendus par l'analyse à la physique sont quelquefois niés. On objecte que beaucoup de résultats analytiques ne font que traduire de simples intuitions^ et peuvent s'exprimer sous forme d'analogies physiques, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux symboles mathématiques et aux équations différentielles ; on cite, entre autres, l'exemple de l'illustre Faraday. On peut répondre d'abord que l'on fait du calcul intégral de bien des manières, et l'on en fait en comptant des lignes de forces. Il n'est toutefois

pas possible d'aller bien loin dans cette Yoie sans le secours de la langue analytique apportant sa précis sion à des notions menaçant de rester vagues et peu aptes à fournir des résultats quantitatifs. Faraday, s'il eût été géomètre, eût pu devancer Maxwell dans Ja recherche des lois de la propogation des ondes électriques. L'exemple antérieur de Fresnel est du même ordre ; il eut l'intuition géniale des vibrations transversales de l'éther, mais pouvait-on se faire une idée vraiment précise de la distinction générale entre les' vibrations transversales et les vibrations longitudinales, avant d'avoir écrit les équations aux dérivées partielles du mouvement d'un milieu élastique? j'en doute pour ma part. Je ne veux pas dire qu'on ne puisse adresser certaines critiques à notre vision mathématique de la nature, mais elles sont d'un ordre plus général; j'aurai l'occasion d'en dire un mot tout à l'heure.