QUELQUES REMARQUES HISTORIQUES

Il n'est pas douteux que les mathématiques eurent longtemps un caractère expérimental. La géométrie fut d'abord une branche de la physique, et des propositions assez cachées, comme la propriété de rhypoténuse d'un triangle rectangle, furent découvertes par l'expérience; à ces époques reculées, la science apparaît avec un caractère surtout utilitaire. On fait généralement honneur aux Grecs d'avoir créé la science rationnelle et désintéressée ; maiSj au moins chez les premiers penseurs de la

Grèce, la mathématique reste intimement mêlée AUX doctrines philosophiques et aux rêveries cosmogoniques. La devise des Pythagoriciens était que •« les choses sont nombres », et les propriétés des nombres se trouvaient à la base de leurs explications sur Punivers ; leur géométrie avait parfois un caractère mystique et magique, comme en témoigne par exemple le fameux pentagone étoile, qui servait de signe de reconnaissance aux adeptes de l'Ecole et était considéré comme un symbole de la santé. Si nous arrivons maintenant à la géométrie classique, représentée par les livres d'Euclide et de ses successeurs, nous entrons incontestablement dans le domaine de la pure logique, où la déduction travaille sur les concepts lentement élaborés dans les âges antérieurs. Il faut cependant compléter cette vue. La géométrie fut quelque chose de plus pour, les Grecs : ils y voyaient le type idéal de la science, où tout est d'une intelligibilité parfaite. On a noté d'ailleurs que cette science idéale de la géométrie grecque, étudiant des objets rationnellement construits, ne perd pas contact avec l'intuition spatiale d'où elle tire toutes ses conceptions, et c'est là un point capital. L'instrument mathématique pourra alors être utilisé pour une connaissance de l'univers, le réel étant en quelque sorte le monde sensible vu à travers les concepts de l'arithmétique et de la géométrie, et, quoique dans un domaine encore très restreint, nous comprenons pourquoi les sciences de la nature prennent de bonne heure une forme mathématique. Les travaux géométriques et méca-

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niques d'Archimède en donnent un admirable exemple, et la recherche qu'il fit de l'aire d'un segment de parabole en s'appuyant sur le théorème des moments, symbolise bieuv la connexion étroite entre ce que nous appellerions aujourd'hui les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Dans les derniers siècles de l'hellénisme, alors que languissent les spéculations géométriques de Tépoque antérieure, la trigonométrie et la géométrie sphérique se développent, sous l'influence des besoins de Fastronomie, entre les mains d'Hipparque et plus tard de Ptolémée. Ainsi, à son déclin, la science grecque nous offre un exemple, qui s'est présenté dans d'autres temps, de recherches mathématiques paraissant épuisées et se renouvelant sous l'influence de problèmes fournis par l'observation des phénomènes physiques.

Il n'est pas dans mon sujet de suivre à travers le Moyen Age et la Renaissance les transformations de l'algèbre géométrique des anciens, qui se sépare peu à peu de la géométrie. L'algèbre, proprement dite, arrive ainsi à l'autonomie, avec son symbolisme et ses notations de plus en plus perfectionnées, constituant une langue d'une admirable clarté qui, suivant le mot de Fourier, n'a pas de signe pour exprimer les notions confuses, et procure à la pensée une véritable économie. Les bonnes notations, tout le monde en convient, sont souvent indispensables pour arriver à la solution des problèmes posés. On peut, semble-t-il, aller plus loin, et dire qu'elles conduisent parfois à poser de nouveaux problèmes.

l'esprit étant soutenu et porté en avant par les symboles qu'il a créés; la théorie des équations algébriques en offrirait plus d'un exemple. Il y a même un danger dans cette facilité de créations symboliques : c'est au temps qu'il appartient d'en montrer l'utilité et la fécondité. A cet égard, notre langue algébrique usuelle a fait ses preuves, en rendant possibles les progrès ultérieurs des sciences mathématiques, et dans certaines parties de la physique mathématique, des symbolismes plus récents rendent d'incontestables services.

Au xvii* siècle, le développement de la cinématique et de la dynamique naissante fut la cause des plus grands progrès de l'analyse. C'est de là que date J'analyse moderne; elle est vraiment sortie de la mécanique. L'origine de la notion de dérivée est dans le sentiment confus que nous avons de la mobilité des choses et de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle s'accomplissent les phénomènes ; les mots de fluentes et de fluxions marquent bien cette origine. Peu d'intégrations eurent plus de conséquences que celle de Galilée remontant de la loi des vitesses à celle des espaces dans le problème de la chute des corps, et il est impossible de séparer dans Huyghens et Newton le mécanicien et le physicien du mathématicien; tels les grands artistes de la Renaissance, que nous trouvons à la fois peintres, architectes et sculpteurs.

Ce fut une époque décisive dans l'histoire de la science mathématique que le moment où, allant bien au delà de ce qu'avaient pu rêver les Pythago-

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ricieDS, on se rendit compte avec précision que l'étude des phénomènes naturels était susceptible de prendre une forme mécanique^ et cela surtout quand le développement de la mécanique conduisit à postuler que les changements infiniment petits, de quelque nature qu41s soient, survenant dans un système, dépendent uniquement de l'état actuel de celui-ci. On fut ainsi amené à penser que la forme, à laquelle on se trouverait ramené, serait donnée par des équations différentielles, et nous vivons encore aujourd'hui sur ce principe qui, depuis le commencement du xvii* siècle, a orienté le développement de l'analyse. Il serait injuste d'oublier que les problèmes posés par la géométrie ont eu quelque part aussi dans cette orientation, mais, pour garder un point de vue plus uniforme, et si je ne craignais d'être accusé de paradoxe, je pourrais alléguer, comme je le disais plus haut, que la géométrie fait partie de la physique.