QUELQUES VUES SUR L'AVENIR

On voit assez, en parcourant, comme nous venons de le faire, l'histoire des rapports entre la physique et la mathématique, les services que Tune et l'autre se sont rendus. C'est sous l'influence de l'étude des phénomènes physiques que se sont organisées les principales disciplines des sciences mathématiques; bien souvent cette étude a, indirectement au moins, posé les problêmes et même donné des indications pour leurs solutions. En retour, sans parler des faits nouveaux que la puissance de transformation de ' l'analyse a. su mettre en évidence avant l'expérience, et sans insister sur les prévisions numériques auxquelles elle est apte, rappelons seulement que la netteté de son langage a donné une forme précise et

maniable à des notions condamnées autrement à rester vagues, et aussi quelle force de généralisation possèdent ses symboles. Quoique nous n'ayons plus la foi ardente de Fourier et de l'admirable école des physiciens géomètres de la première moitié du siècle dernier, l'analyse mathématique nous apparaît toujours comme un instrument indispensable à la Physique et quelquefois comme un guide précieux.

En parlant de la symbiose entre la mathématique et la physique, nous n'avons fait que constater un fait résultant du développement même de la science* Si maintenant nous voulons voir les choses de p\u^ haut, il faut nous demander à quoi tient cette alliance qui nous paraît nécessaire; nous devons chercher aussi si elle n'a pas des points faibles et si elle n'est pas susceptible de prendre d'autres formes.

La science physique se présente à nous comme une vue du monde extérieur à travers des concepts tirés par abstraction de l'expérience. Un système de concepts, associé à des faits particuliers et à certaines hypothèses, est susceptible d'être transformé par des déductions convenables. Si ces concepts sont d'ordre mathématique, nous avons une vision mathématique du monde extérieur, sur laquelle peut opérer notre logique. Mais tout cela ne va pas sans sacrifices; le réel, qu'envisage le physicien mathématicien, est bien pâle à côté de celui que saisit l'intuition vulgaire. Pour pouvoir faire œuvre scientifique avec cette réalité confuse, on a dû la simplifier, ce qui n'a pas été sans la décolorer. Nous pouvons alors raisonner sur cette nature réduite. S'il y a là une

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force, il y a aussi une cause de dangers. Ceux-ci sont toutefois atténués par l'arbitraire que présentent •dans une certaine mesure la formation des concepts et le choix des hypothèses intervenant dans les théories. Nous touchons ici à un point qui intéresse extrêmement les mathématiciens, car il s'agit du matériel même sur lequel ils ont à travailler.

En adoptant, avec la notion du point matériel, le$ idées qui sont à la base de la mécanique classique, nous serions conduits tout d'abord à regarder un phénomène comme correspondant à un nombre immense d'équations différentielles, où les accélérations de tous les points sont des fonctions de l'ensemble de leurs coordonnées. Mais une telle représentation n'est, féconde que dans des cas très particuliers. On est obligé, dans chaque ordre de -questions, de mettre en évidence certaines propriétés moyennes d'un groupe de points, température, pression, etc., qu'on regarde comme fonctions des 'Coordonnées d'un point général et du temps. Admet- •tant que chaque point est surtout influencé par les points voisins, on est conduit alors à des équations aux dérivées partielles, où, conformément à l'hypo- 4hèse fondamentale de la mécanique classique, certaines dérivées partielles par rapport au temps s'expriment à l'aide de ces fonctions et de leurs dérivées par rapport aux coordonnées.

C'est là le moule ordinaire des équations de la physique mathématique, élargi parfois par l'introduction de termes de même nature relatifs aux résislances passives. Il représente la forme analytique

SOUS laquelle se condense notre vision mathématique des choses. Ces représentations se sont montrées extrêmement fécondes, et de nombreux exemptes en ont été rappelés tout le long de ce chapitre. Mais bien des hypothèses simplificatricesont été faites, et il est permis de prévoir que, l'on ne pourra pas toujours s'y tenir. Les conséquences en seront très importantes pour nous, et de nouveaux sujets d'étude en résulteront sans doute pour l'analyste.

Il arrivera peut-être un jour où, si j'ose le dire, la dilution de là matière nécessaire à son traitement mathématique, au lieu de se faire dans un ensemble continu, se fera dans quelque autre ensemble partout dense, mais cette perspective est sans doute assez lointaine. D'autres possibilités sont plus prochaines. Parfois, dans certaines questions, l'influence sur une partie du système des parties éloignées de ce système ne peut être négligée, et le problème pris dans sa généralité ne se présente plus sous forme d'équations différentielles, mais sous forme d'équations fonctionnelles où entrent d'ailleurs des dérivées des fonctions inconnues, les intégrales qui figurent dans ces équations étant étendues au volume occupé par le système considéré. On sait avec quel succès un type particulier d'équations fonctionnelles a été étudié dans ces derniers temps, et comment un ensemble de questions, qui avaient fait l'objet des recherches les plus délicates, s'est trouvé ramené à des principes extrêmement simples; mémorable exemple, après tant d'autres, de la facilité que peut

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apporter à la solution d'un problème particulier un point de vue plus général. Pour certaines conditions aux limites, il y a môme grand intérêt à substituer des équations fonctionnelles à des équations différentielles, et Ton remplirait des volumes avec les travaux publiés dans cet ordre d'idées depuis une dizaine d'années.

Une étude systématique d'équations fonctionnelles de plus en plus compliquées devra donc dans un prochain avenir solliciter l'effort des cherche.urs. Un domaine plus vaste que celui des équations différentielles, et les comprenant comme cas particuliers, s'ouvre devant nous. Nous n'y marchons pas au hasard, guidés dans le choix des formes à traiter par la mécanique ou la physique.

Pour un avenir plus lointain, on peut prévoir des problèmes plus complexes encore. La mécanique, nous l'avons rappelé, a longtemps postulé plus ou moins explicitement un principe de non-hérédité. Nous nous accommodons encore de ce principe, au moins en première approximation, dans les sciences de la nature inanimée, quoique de nombreux phénomènes indiquent que l'état actuel garde la trace des états antérieurs; tels ces corps, comme le soufre, qui ont une vitesse de transformation d'une forme «n une autre, différente suivant leur histoire antérieure. Mais l'hérédité joue surtout un rôle capital dans les sciences de la vie, et nous ne savons pas si nous pourrons utiliser jamais l'instrument mathématique pour l'étude du mécanisme intime des phénomènes biologiques, et si nous ne devrons pas tou-

jours nous contenter de moyennes grossières et de courbes de fréquences. Il ne faut pas cependant réduire à Tavance notre conception mathématique du monde^ et nous pouvons rêver d'équations fonctionnelles plus compliquées que les précédentesy parce qu'elles renfermeront en outre des intégrales prises entre un temps passé très éloigné et le temps actuel, intégrales qui apporteront la part de Thérédite.

Ces espérances sont peut-être chimériques. Sur le terrain mouvant de la vie où figurent un nombre énorme de variables, il se peut qu'il soit impossible de former des équations fonctionnelles, relatives à certains états moyens, devant jouer le même rôle que les équations différentielles de la physique ma*?thématique actuelle. Mais si le philosophe peut faire des réserves, il n'y a pour le mathématicien aucun danger à s'abandonner à ces vues audacieuses, qui le poussent à travailler dans une direction certainement féconde.

Et, encore une fois, le monde extérieur aura guidé le mathématicien dans ses recherches analytiques^, l'orientant vers les voies utiles à parcourir. Nous avons vu qu'il en a été toujours ainsi, et nous pouvons affirmer qu'il en sera de même dans l'avenir. Pour en revenir au commencement de ce chapitre, la vraie place des mathématiciens est à côté de ceux qui s'occupent des sciences de la nature. Qu'elle soit justifiée ou non, ils ont la prétention de leur offrir des moules simples sous lesquels ils puissent contempler logiquement le monde extérieur. En échange^

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Tétude des sciences de la nature rend auxmathéo^aticiens un service d'un haut prix, en les guidant dans l'infinie variété des formes que conçoit notre esprit Sous ce point de vue, la mathématique n'est pas la science étrange et mystérieuse que se représentent tant de gens ; elle est une pièce essentielle dans l'édification de la philosophie naturelle.