LES PRINCIPES DE L'ANALYSE

Dans la seconde moitié du siècle dernier, Tattentien des mathématiciens s'est portée sur les fonde^ ments des différentes branches de la pensée mathématique. En particulier, depuis vingt ans, un grand nombre de publications ont paru sur la philosophie des sciences mathématiques; elles sontbien en accord avec les tendances de Tépoque où nous vivons, et où Tesprit humain applique dans des directions variées une critique de plus en plus pénétrante. Placé à ce point de vue. on a trouvé même dans le nombre entier, comme je le rappelais au début du

chapitre précédent, des difficultés que n'a pas dédaignées un grand physicien comme Helmhoitz. Plus grandes encore étaient les difficultés relatives aux nombres incommensurables qui, dans l'antiquité, avaient tant troublé les géomètres grecs; pour les analystes modernes, un nombre incommensurable représenta, dans l'ensemble des nombres rationnels, une coupure qui correspond à un partage de ces nombres rationnels en deux classes.

L'étude arithmétique du concept du continu est loin d'être simple, et a donné lieu à de nombreuses recherches, parmi lesquelles il faut citer celles de M. Dedekind et de M. G. Cantor. Nous ne pouvons que nous y arrêter un moment. Pour les anciens analystes, la notion était tout intuitive, ,se rç^ttachant, par exemple, à la vue d'un segment de droite; dans l'ensemble des points d'une droite qui forme le continu linéaire, il y a dans tout intervalle, si petit qu'il soit, des points appartenant à l'ensemble. Cette propriété a été longtemps considérée comme caractéristique du continu. En fait, l'ensemble des points d'une droite correspondant à une abscisse rationnelle jouit de la propriété précédente et est •distinct du continu linéaire. A cette propriété de l'ensemble qu'on exprime souvent en disant qu'il est dense, il faut en adjoindre un autre pour caracténser l'ensemble continu.

On l'exprime, en disant que, de plus, l'ensemble doit être parfait. Voici ce que l'on entend par un «ensemble parfait. Dans un ensemble de points, on appelle point-limite un point A dans le voisinage

duquel (si petit que soit autour de lui ce voisinage) il y a toujours un point de l'ensemble autre que A^ L'ensemble dérivé d'un ensemble donné est l'ensemble formé par ses points-limites. Un ensemble 6stdit parfait^ quand il coïncide avec son dérivé. Le continu est un ensemble à la fois parfait et dense. L'ensemble des nombres commensurables est bien dense, mais il n'est pas parfait, puisqu'il ne contient pas ses points-limites qui correspondent à des nombres incommensurables.

Ces notions sont très abstraites, mais le caractère de ces spéculations est précisément une grande méfiance de l'intuition, et c'est ici un peu la lutte entre l'intuition et la logique. Au reste, on rencontre toujours dans l'histoire de la science les principales notions avec un caractère tout d'abord purement intuitif, et ce n'est que beaucoup plus tard que commence l'examen critique^ Ainsi les géomètres n'ont pas pendant longtemps éprouvé le besoin de définir la longueur d'un arc de courbe ou l'aire d'une surface; c'étaient pour eux des notions premières. L'intuition ne pouvait évidemment amener à considérer des courbes non rectiliables ou des aires non quarrables. Il en est de même pour l'idée de fonction, c'est-à-dire de dépendance entre deux ou plasieurs grandeurs, sur laquelle repose toute la science mathématique. Il a fallu longtemps avant qu'on se rendît compte de l'étendue extraordinaire de cette notion. On doit, d'ailleurs, reconnaître qu'il est indispensable, pour les progrès de la science, que les choses paraissent d'abord simples. Sans vouloir

trop généraliser, on peut dire que Terreur est quelquefois utile, et que, dans les époques vraimenÊt créatrices, une vérité incomplète ou approchée peui être plus féconde que la même vérité accompagnée des restrictions nécessaires. L'histoire de la science confirme plus d'une fois cette remarque. Si, par exemple. Newton et Leibnitz avaient pensé que les fonctions continues n'ont pas nécessairement une dérivée, ce qui est le cas général, le calcul différentiel n'aurait pas pris naissance; de même, les idées inexactes de Lagrange sur la possibilité des développements en séries de Taylor ont rendu d'immenses services, et il est heureux que Newton ait eu, au début de ses recherches, pleine confiance dans les lois de Kepler. Mais, sans prolonger cette digression, pour laquelle je puis, d'ailleurs, renvoyer au chapitre précédent, nous devons revenir à l'examen des principes de la mathématique moderne.

L'idée de fonction s'est singulièrement agrandie depuis cinquante ans. Les fonctions usuelles rentrent dans les fonctions analytiques de Lagrange, c'est-àdire développables, en général, par la formule de Taylor; ne se tenant pas à cette définition, toute une école de géomètres a approfondi la notion de fonction prise dans toute sa généralité. Ce fut, pour l'époque, un résultat bien remarquable, quand les travaux de Riemann et de Veierstrass montrèrent qu'il existe des fonctions continues n'ayant pas de ^ dérivées. Toutes les propositions accordées pour les g fonctions usuelles doivent être reprises, quand onsë ^ place au point de vue le plus général.

-' On rencontre aloirs des énoncés très déconcertants; ils sont particulièrement curieux, quand on fait des applications géométriques. Quoi de plus simple, fiemble-t-il, qu'une courbe dont les coordonnées sont des fonctions continuesd'un paramètre variant entre deux valeurs déterminées? M. Peano a cependant montré qu'on peut choisir ces deux fondions de telle sorte que, quand le paramètre varie, le point puisse prendre une position quelconque dans un rectangle; nous avons donc wwe courbe qui est une aire. De tels résultats qous apprennent à nous défier de nos intuitions les plus simples ; c'est ici la revanche de la logique. On aurait aussi beaucoup étonné les géomètres du xv!!!"" siècle en leur disant qu'il existe des surfaces développables qui ne sont pas des surfaces réglées. Ces énoncés supposent évidemment qu'on ne fait pas sur les fonctions dont on se sert, les hypothèses particulières admises au début du calcul différentiel.

Ici une question se pose. Qu'est-ce qui a guidé plus ou moins consciemment dans le choix de ces hypothèses? Il n'est pas douteux que le souci des applications aux phénomènes naturels n'ait très souvent guidé le mathématicien dans son choix. Une hypothèse essentielle a été celle de la continuité. Suivant le vieil adage, Natura non facit saltus^ nous avons le sentiment, on pourrait dire la croyance, que, dans la nature, il n'y a pas de place pour la discontinuité. Il est utile quelquefois de conserver le discontinu dans nos calculs, par exemple, quand nous regardons comme nulle la durée du choc en

SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIE 7t

mécanique rationnelle, ou quand nous réduisons à une surface les couches de passage dans plusieurs questions de physique ; mais nous savons que, pour si petite qu'elle soit, les chocs ont une cerlaiqe durée, et les physiciens nous ont appris à mesurer l'épaisseur de certaines couches où se produisent des variations très rapides.

L'idée de dérivée, s'impose déjàmoins; elle répond cependant au sentiment confus de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle s'accomplit tel ou tel phénomène. L'hypothèse relative à la possibilité de la dérivation d'une fonction a donc une origine analogue à celle de la continuité ; d'ailleurs, d'après ce que j'ai dit plus haut, l'idée de continuité n'est pas aussi claire au fond qu'elle en a l^air, mais il s'agit ici de la notion intuitive du continu physique.

Dans d'autres cas, on ne voit pas de cause du même ordre dans la particularité imposée à la fonction ; il en est ainsi, ce semble, pour la propriété des fonctions analytiques. Les fonctions étudiées le& premières dont j'ai retracé sommairement l'histoire dans le chapitre précédent, comme les fonctions rationnelles, l'exponentielle, les lignes trigonométriques jouissant de cette propriété, l'attention se sera trouvée portée sur elles ; et ensuite la facilité avec laquelle cette hypothèse a permis d'aborder certaines questions a fait acquérir aux fonctions analytiques une importance considérable. C'est donc à la facilité avec laquelle nous les manions dans nos calculs qu'elles doivent le grand rôle qu'elles jouent.

Le mot infini revient souvent en mathématiques, mais les mathématiciens n'ont vu longtemps dans ce terme qu'une expression indiquant un nombre supérieur à tout nombre donné, laissant certains philosophes disserter sur Tinfîni statique et l'infini dynamique, et, comme le disait M. J. Tannery : « La notion de l'infini dont il ne faut pas faire mystère en mathématiques se réduit à ceci : après chaque nombre entier, il y en a un autre ». Depuis les travaux de M. Gantor sur les ensembles, et particulièrement sur les nombres transfinis, des points de vue nouveaux ont été introduits, dont il appartient à l'avenir de montrer l'importance. On doit attacher un grand intérêt à cette remarque, d'après laquelle î'ensemble des nombres rationnels est énumérable^ tandis que l'ensemble des nombres ne l'est pas, ce qui revient à dire que les nombres rationnels peuvent être afl*ectés à un numéro d'ordre déterminé, tandis que les nombres irrationnels ne sont pas susceptibles d'être comptés; une sorte de brèche est ainsi faite dans Vinfini, Il serait trop long de nous arrêter ici sur les nombres ordinaux transfinis. Nous donnerons plus aisément une idée des nombres cardinaux transfinis, en revenant aux ensembles. Deux ensem»bles, entre les éléments desquels peut être établie une correspondance uniforme, sont dits avoir la même puissance ou le même nombre cardinal que l'ensemble des nombres entiers. Ce nombre cardinal, que nous pouvons appeler a, est le premier nombre cardinal transfini. A Tensemble des nombres réels correspondra, au contraire, une puissance ou un

nombre cardinal différent de a; désignons-le par c. Il existe des ensennbles dont la puissance ou le nombre cardinal n'est ni a ni c ; ainsi, on peut montrer qu'à Tensemble de toutes les fonctions possibles d'une variable, définies dans un certain intervalle, correspond un nombre cardinal plus grand que c. Ceci suffit à faire entrevoir une sorte d'arithmétique des nombres transfînis, sur laquelle on a déjà publié de nombreux travaux. Il n'y aura lieu évidemment de la développer que si ces vues se montrent fécondes dans l'analyse; la considération des nombres transfînis a permis déjà de découvrir certains théorèmes, mais on doit dire qu'ils ont pu ensuite être obtenus par une autre voie. Ces spéculations sur l'infini forment un chapitre tout nouveau dans la science mathématique de ces dernières années, mais il faut reconnaître que ce chapitre n'est pas exempt de paradoxes. C'est ainsi que l'on a pu définir certains nombres appartenant et n'appartenant pas tout à la fois à des ensembles déterminés. Toutes les difficultés de ce genre résultent de ce que l'on ne s'entend pas sur le mot existence Certains adeptes de la théorie des ensembles sont des scolastiques, qui auraient aimé à discuter les preuves de Vexistence de Dieu avec saint Anselme et son contradicteur, le moine de Noirmoutiers Gaunilon.

L'extension de nos idées sur les fonctions et sur l'infini n'est pas la seule qu'aient poursuivie depuis trente ans les mathématiciens qui s'intéressent aux principes de la science ; la question des quantités

complexes a vivement excité l'intérêt, d'autant plus qu'une certaine obscurité planait sur elle, qu'entraînait le mot souvent usité, mais peu heureux, de quantités imaginaires. Le sujet ne présente plus aujourd'hui rien de mystérieux. En supposant que les lois commutative et associative subsistent, Weierstrass a réalisé des systèmes de nombres où figurent n syvnboles et où tous les nombres sont formés linéairement avec ces symboles; il fait, en outre, l'hypothèse que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres du système font eux-mêmes partie du système. Il y a une infinité de tels systèmes de nombres complexes. Ces nombres diffèrent seulement en un point des nombres complexes ordinaires. Quand n est supérieur à deux, il peut exister des nombres différents de zéro, dont le produit par certains autres nombres est nul. On appelle ces nombres des diviseurs de zéro. Malgré cette singularité, cette nouvelle algèbre est réductible à l'algèbre des nombres complexes ordinaires; il n'y a donc là qu'une curiosité et nullement un instrument nouveau dont puisse profiter l'analyse mathématique.

Nous avons admis que les lois commutative et associative subsistaient dans l'algèbre précédente. On s'est placé à un point de vue plus général en supposant que seule la loi associative subsiste, abandonnant la loi commutative, de telle sorte que le produit de deux facteurs ne soit pas nécessairement indépendant de l'ordre des facteurs. On a alors une algèbre beaucoup plus générale; un exemple

célèbre d'un système à quatre unités est fourni par les quatemions d'Hamilton. De nombreux travaux ont établi des classifications dans cette théorie. On demandera si ce vaste symbolisme est susceptible d'accroître un jour la puissance de l'analyse. Il est permis de penser que ces algèbres nouvelles n'auront d'autre intérêt pratique que de conduire à des notations plus condensées, ce qui peut, d'ailleurs, avoir son prix, comme on le voit pour les quaternions, dont remploi est si prisé en Angleterre par les physiciens.