LE NOM BUE

grandeur infinie celle qui, étant plus grande que toute quantité finie, ne peut recevoir d'accroissement, la notion d'un nombre infini est encore contradictoire. Le nombre, en effet, se forme par addition d'unités; tout nombre donné peut donc être augmenté d'une unité; un nombre infini serait, en ce sens, un nombre auquel on ne pourrait rien ajouter, c'est-à-dire un nombre qui ne serait pas un nombre. Pourquoi la loi de construction qui engendre tous les nombres finis rencontrerait-elle un obstacle infranchissable? L'opération par laquelle nous formons les plus grands nombres est, au fond, identique à celle par laquelle nous formons les plus petits. Si nous n'avons pas trouvé d'obstacles à l'addition de l'unité à elle-même, il est inconcevable qu'il puisse jamais s'en présenter à l'addition de l'unité au groupe le plus grand possible d'unités. Par conséquent la loi du nombre implique un pouvoir de construction sans limites, et, si loin que nous allions dans la série de ces constructions successives, jamais nous ne pouvons rencontrer de nombre auquel il soit impossible d'ajouter l'unité. « A proprement parler, dit Leibniz, » il est vrai qu'il y a une infinité de choses, c'est-à- » dire qu'il y en a toujours plus qu'on n'en peut assi- » gner. Mais il n'y a pas de nombres infinis, si on les » prend pour des touts véritables. »

Ce qui est vrai, c'est que la série des nombres est illimitée. Si on l'appelle infinie, cela veut dire que, les mêmes raisons subsistant toujours pour aller plus loin, suivant une parole du profond penseur que nous venons de nommer, jamais nous ne rencontrerons un nombre

auquel nous ne pourrons pas ajouter l'unité. Par conséquent, le nombre par lequel on exprimerait la somme detousleslermesdelasérie peuttoujours être augmenté; il implique donc contradiction que la série soit jamais terminée. Comme Aristote l'avait vu, l'infini est une puissance qui se développe incessamment, sans être jamais pleinement réalisée.

Cependant les termes : inlini, infiniment grand et infiniment petit, ont dans la langue des sciences mathématiques un sens clair qui ne recouvre aucun mystère et ne recèle aucune contradiction. Tout nombre, nous l'avons vu, est donné dans une intuition; mais il y a des limites à l'imagination humaine. Si par l'artifice de la numération nous obvions en partie à ce défaut d'ampleur, il vient un instant oij la représentation intuitive des groupes composés d'unités est impossible; il faudrait, pour ainsi dire, élever la numération à la deuxième, à la troisième, à la rf puissances, et, à quelque degré qu'on l'élevât, on finirait. toujours par rencontrer l'inimaginable. — Les mathématiciens appellent infinie toute quantité qui ne peut pas être assignée. L'infini, ainsi entendu, est un pur symbole dont l'emploi conduit à ce paradoxe apparent : Supposez que le nombre des astres du ciel soit infini : supposez que chacun de ces astres soit brisé en un nombre infini de fragments qui. deviennent chacun un nouvel astre : le nombre infini des corps célestes ne sera pas accru d'une unité; ce nombre sera cependant l'infini élevé à une puissance infinie; mais comme par nombre infini on entend tout nombre plus grand que toute quantité assignable, l'in-

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fini, avant que d'être élevé à une puissance infinie, était déjà plus grand que toute quantité assignable. L'imagination se perd dans ces constructions qui la dépassent de toutes parts; mais la raison s'y meut et s'y oriente avec autant d'aisance et de sûreté que dans les nombres les plus petits.

De môme il y a des quantités infiniment grandes et des quantités infiniment petites. Une variable est infiniment grande ou infiniment petite, quand elle peut devenir plus grande ou plus petite que toute quantité donnée. Ces deux expressions : infiniment grand et infiniment petit, n'ont qu'un sens relatif. Le soleil est immensément grand par rapport à une molécule d'hydrogène, et une molécule d'hydrogène est immensément petite par rapport au soleil. Cependant si le volume du soleil était soumis à une loi continue de décroissance, et celui de la molécule d'hydrogène à une loi continue d'accroissement, le soleil serait infiniment petit par rapport à la molécule, et la molécule, infiniment grande par rapport au soleil. On conçoit donc quel'infiniment grand puisse être infiniment accru, et rinfiniment petit infiniment diminué.

L'infini, envisagé dans le nombre, n'a donc pas le sens mystérieux et accablant qu'on lui prête quelquefois; il exprime une possibilité qui n'est jamais épuisée.

On comprend aisément la nature de l'infini mathématique, si l'on voit dans le nombre une des conditions mentales nécessaires à la pensée des objets, et on ne la comprend pas dans toute autre hypothèse. Ceux qui

veulent faire dériver de l'expérience les notions des différents nombres, sont impuissants à expliquer comment, si grands que soient les nombres réalisés dans l'expérience actuelle, l'esprit a du mouvement pour aller plus loin et engendrer des nombres toujours plus grands. Il ne faut pas dire que des expériences accumulées se dégage peu à peu une loi qui s'étend à Texpérience possible, car, si cette loi enveloppe toute Texpérience, elle y est logiquement antérieure, bien qu'elle y soit actuellement manifestée. Ceux qui font des nombres des choses en soi aboutissent promptement à des contradictions invincibles; en les posant comme des touts actuels et véritables, ils s' interdisent de parler de l'infini, ce qui répugne àl'idée môme de nombre, ou bien ils posent des nombres infinis réels en nombre infini, ce qui est doublement contradictoire. La nature et la cause de l'infini n'ont pas échappé à la profonde sagacité de Leibniz. «La considération de l'infini, dit-il, vient de » celle de la similitude ou de la même raison, et son ori- » gine est la même avec celle des vérités nécessaires et » universelles. » Si en effet les nombres déterminés sont les expressions diverses d'une nécessité inhérente à l'esprit, on doit admettre que la loi qui les engendre ne peut rencontrer de limites; il faudrait, en effet, qu'à cette limite les conditions organiques de la pensée fussent brusquement changées. Mais une telle supposition est inconcevable. L'infini mathématique est donc une conséquence de la nature des lois objectives de la pensée.