LE NOMBRE

termes, tout objet est donné à l'intuition comme plusieurs ^X comme un; la synthèse du multiple et de l'un est le nombre; le nombre est donc une des lois objectives de la pensée. On peut ne pas assigner de nombre déterminé à un objet donné; mais nous ne pouvons le penser que sous la condition du nombre.

La loi de nombre est originale, c'est-à-dire qu'elle ne se déduit pas analytiquement d'autres lois logiquement antérieures à elle. Qu'il soit impossible de se représenter ou de concevoir le nombre sans le temps, ou même sans le mouvement et l'espace, il n'y a là rien d'étonnant, car nous savons que les diverses lois objectives de l'esprit forment entre elles des synthèses indissolubles, et se déterminent mutuellement. Si tout espace, tout temps, tout mouvement, nous sont donnés comme à la fois plusieurs et un, c'est que le nombre est engagé dans toute ^leprésentation et dans toute idée; mais l'unité, la multiplicité, et leur synthèse, sont des notions irréductibles. L'espace, c'est essentiellement l'extension; le temps, la succession; le mouvement, la succession dans l'étendue; il n*y a là rien d'un et de multiple par soi-même; le nombre est attaché à l'étendue, à la succession et au mouvement, par une de ces synthèses primitives dont nous avons déjà constaté et dont nous constaterons encore l'existence; ce qui a parfois poussé à essayer de le déduire analytiquement du temps ou même de l'étendue, c'est qu'il y est toujours impliqué. Mais alors ce qu'on prend pour le temps et l'espace purs et simples, c'est le temp^ et l'espace déterminés par le nombre; on prend pour une donnée élémentaire l'al-

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liage synthétique de deux données inséparables, mais cependant distinctes.

Considéré en général et dans son essence, le nonubre est la synthèse de Vuri et du multiple. Aucun de ces deux termes ne peut s'entendre et se définir sans l'autre; la multiplicité absolue est inintelligible; de môme, l'unité absolue. Il ne s'agit pas ici de savoir s'il y a ou s'il peut y avoir des êtres absolument simples; c'est une question réservée; nous parlons uniquement de Tunilé numérique, et il est incontestable que l'unité ne présente un sens à l'esprit que si on l'oppose à ia multiplicité.

Synthèse de l'un et du multiple, le nombre n'a qu'une loi. Mais cette loi se diversifie, sans perdre son caractère essentiel, en raison des multiplicités différentes qu'elle détermine. En d'aytres termes, le nombre est une loi générale de construction, de laquelle la pensée tire un nombre illimité de nombres.

Les nombres ont pour élément l'unité. Le nombre en général étant la synthèse de Tun et du multiple, un nombre déterminé est une loi de composition de l'unité avec elle-même. Ainsi le nombre 2, le plus simple des nombres, est une loi de construction en vertu de laquelle on ajoute l'unité à eile-Tnême; le nombre 3, une loi de construction en vertu de laquelle on ajoute l'unité au nombre 2, et ainsi de suite.

Si l'on compose les nombres en ajoutant successivement l'unité à elle-même, ou à des nombres déjà formés par ce procédé, on les décompose, en retranchant l'unité des sommes précédemment construites, et les décomposer ainsi, c'est composer d'autres nombres.

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Par exemple si 3 esl 2+1, il est aussi 4 — i . L'addition et la soustraction sont deux opérations inverses, dont les résultats s'annulent mutuellement; elles sont les^ seules fonctions numériques primitives; les autres fonctions directes et inverses, dont les mathématiques font usage dans le calcul, fonction produit et fonction quotient, fonction puissance et fonction racine, fonction logarithmique et fonction circulaire, etc., en sont des dérivées, de même que les fonctions encore inconnues qui pourront être plus tard découvertes.

Toute construction numérique est accompagnée d'une intuition. Comme l'intuition a des hmites, les nombres deviennent promptementirreprésentables. On remédie à cet inconvénient par l'artifice de la numération. Au lieii' de composer les nombres avec des unités, on les compose avec des groupes d'unités. Ainsi, dans le système décimal, qui a prévalu parmi nous, le premier groupe est composé d'unités, le second de dizaines, le troisième de centaines, etc. A parler rigoureusement, la dizaine, la centaine, sont des unités dix fois, cent fois plus grandes que les unités proprement dites; il suffit donc de définir chaque groupe et d'en fixer la valeur, puis de les composer entre eux, pour composer les unités dont ils se composent. On attribuera à chaque groupe, pour en dénoter la Vtileur relative, une position spéciale dans le groupe total, et il sera possible de représenter avec peu de signes de très-grands nombres.

Les unités abstraites, éléments du nombre, sont indivisibles; cependant, par rapport au tout-im qu'elles constituent, elles sont des parties ; il en résulte que l'on peut.

sans ruiner le principe du nombre, considérer Vunité elle-même comme une totalité de parties identiques. Ainsi 1=7^ ou -J^, etc. En réalité, on n'a fait que changer d'unité. Un dixième, un centième, sont des unités dix fois, cent fois plus petites que l'unité proprement dite. Numériquement parlant, des unités dix lois, cent fois plus petites ou plus grandes, se comportent delà même façon que l'unité, et obéissent aux mêmes lois. Un nombre formé de dixièmes ou de dizaines se construit par composition de l'unité dixième ou do l'unité dizaine avec elle-même, et se décompose par soustraction.

Les nombres se forment par additions successives; il en résulte que la série en est illimitée. A tout nombre, si grand qu'on le suppose, on peut toujours ajouter l'unité; il y a donc une infinité de nombres. Nous voici en présence de la notion de l'infini.

La notion de l'infini a tourmenté souvent les philosophes et ceux des mathématiciens qui ont voulu introduire dans la science des considérations d'ordre métaphysique. Mais, quand on considère la loi génératrice du nombre, le prestige et la difficulté. s'évanouissent.

Fini et infini sont deux termes corrélatifs. Fini signifie ce qui a des limites; infini, ce qui n'en a pas. Tout nombre étant une synthèse de l'unité et de la mulliplicilé, est fini; un nombre infini est inconcevable, car il serait multiplicité absolue, sans unité, ce qui implique contradiction. — Si, au contraire, par grandeur finie on entend toute grandeur qui peut être accrue, et par