CHAPITRE IV

LE NOMBRE

«Tous les phénomènes, dit Kant, comprennent, » quant à la forme, une intuition dans Tespace et dans » le temps, qui leur sert à tous de fondement à priori. » Us ne peuvent donc être appréhendés, c'est-à-dire » reçus dans la conscience empirique qu'au moyen de » cette synthèse du divers, par laquelle sont produites les » représentations d'un espace et d'un temps déterminés, » c'est-à-dire par la composition des éléments homo- » gènes, et par la conscience de l'unité synthétique de ces » divers éléments. Or la conscience de la diversité homo- » gène, dans l'intuition en général, en tant que la repré- » sentation d'un objet est d'abord possible par là, est le » concept d'une quantité. La perception même d'un » objet, comme phénomène, n'est donc possible que par » cette même unité synthétique des éléments divers de » l'intuition sensible donnée, par laquelle est pensée, dans » le concept d'une quantité, l'unité de la composition des » divers éléments homogènes, c'est-à-dire que les |)hé- D nomènes sont tous des quantités (1). » — En d'autres

(1) Kant, Critiqw de la raison pure, p. 221.

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termes, tout objet est donné à l'intuition comme plusieurs et comme un; la synthèse du multiple et de l'un est le nombre; le nombre est donc une des lois objectives de la pensée. On peut ne pas assigner de nombre déterminé à un objet donné; mais nous ne pouvons le penser que sous la condition du nombre.

La loi de nombre est originale, c'est-à-dire qu'elle ne se déduit pas analytiquement d'autres lois logiquement antérieures à elle. Qu'il soit impossible de se représenter ou de concevoir le nombre sans le temps, ou même sans le mouvement et l'espace, il n'y a là rien d'élonnant, car nous savons que les diverses lois objectives de Tesprit forment entre elles des synthèses indissolubles, et se déterminent mutuellement. Si tout espace, tout temps, tout mouvement, nous sont donnés comme à la fois plusieurs et un, c'est que le nombre est engagé dans toute représentation et dans toute idée; mais l'unité, la multiplicité, et leur synthèse, sont des notions irréductibles. L'espace, c'est essentiellement l'extension; le temps, la succession; le mouvement, la succession dans l'étendue; il n'y a là rien d'un et de multiple par soi-même; le nombre est attaché à l'étendue, à la succession et au mouvement, par une de ces synthèses primitives dont nous avons déjà constaté et dont nous constaterons encore Texistenee; ce qui a parfois poussé à essayer de le déduire analytiquement du temps ou même de rétendue, c'est qu'il y est toujours impliqué. Mais alors ce qu'on prend pour le temps et l'espace purs et simples, c'est le tempjî et l'espace déterminés par le nombre; on prend pour une donnée élémentaire l'al-

LIARD. — La science positive. 15

liage synthétique de deux données inséparables, maïs cependant distinctes.

Considéré en général et dans son essence, le nonïbre est la synthèse de Vun et du multiple. Aucun de ces deux termes ne peut s'entendre et se définir sans l'autre; la multiphcité absolue est inintelligible; de même, l'unité absolue. Il ne s'agit pas ici de savoir s'il y a ou s'il peut y avoir des êtres absolument simples; c'est une question réservée; nous parlons uniquement de Tunilé numérique, et il est incontestable que l'unité ne présente un sens à l'esprit que si on l'oppose à la multiplicité.

Synthèse de l'un et du multiple, le nombre n'a qu'une loi. Mais cette loi se diversifie, sans perdre son caractère essentiel, en raison des multiplicités différentes qu'elle détermine. En d'autres termes, le nombre est une loi générale de construction, de laquelle la pensée tire un nombre illimité de nombres.

Les nombres ont pour élément l'unité. Le nombre en f^énéral étant la synthèse de l'un et du mulliple, un nombre déterminé est une loi de composition de l'unité avec elle-même. Ainsi le nombre 2, le plus simple des nombres, est une loi de construction en vertu de laquelle on ajoute l'unité à elle-même; le nombre 3, une loi de construction en vertu de laquelle on ajoute l'unité au nombre 2, et ainsi de suite.

Si l'on compose les nombres en ajoutant successivement lunité à elle-même, ou à des nombres déjà formés par ce procédé, on les décompose, en retranchant l'unité des sommes précédemment construites, et les décomposer ainsi, c'est composer d'autres nombres.

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Par exemple si 3 est 2+1, il est aussi 4 — \ . L'addition et la soustraction sont deux opérations inverses, dont les résultats s'annulent mutuellement; elles sont les seules fonctions numériques primitives; les autres fonc— tions directes et inverses, dont les mathématiques font usage dans le calcul, fonction produit et fonction quo-tient, fonction puissance et fonction racine, fonction» logarithmique et fonction circulaire, etc., en sont des dérivées, de même que les fonctions encore inconnues, qui pourront être plus tard découvertes.

Toute construction numérique est accompagnée d'une intuition. Comme l'intuition a des limites, les nombres deviennent promptementirreprésentables. On remédie à cet inconvénient par l'artifice de la numération. Au lieu de composer les nombres avec des unités, on les compose avec des groupes d'unités. Ainsi, dans le système décimal, qui a prévalu parmi nous, le premier groupe est composé d'unités, le second de dizaines, le troisième de centaines, etc. A parler rigoureusement, la dizaine, la centaine, sont des unités dix fois, cent fois plus grandes que les unités proprement dites; il suffit donc de définir chaque groupe et d'en fixer la valeur, puis de les composer entre eux, pour composer les unités dont ils se composent. On attribuera à chaque groupe, pour en dénoter la valeur relative, une position spéciale dans le groupe total, et il sera possible de représenter avec peu désignes de très-grands nombres.

Les unitésabstraites, élémentsdu nombre, sont indivisibles; cependant, par rapport au tout-^un qu'elles constituent, elles sont des parties; il en résulte que l'on peut^

sans ruiner le principe du nombre, considérer l'unité elle-même comme une totalité de parties identiques. Ainsi l={?oui^, etc. En réalité, on n'a fait que changer d'unité. Un dixième, un centième, sont des unités dix fois, cent fois plus petites que l'unité proprement dite. Numériquement parlant, des unités dix fois, cent fois plus petites ou plus grandes, se comportent delà même façon que l'unité, et obéissent aux mêmes lois. Un nombre formé de dixièmes ou de dizaines se construit par composition de l'unité dixième ou de l'unité dizaine avec elle-même, et se décompose par soustraction.

Les nombres se forment par additions successives; il en résulte que la série en est illimitée. A tout nombre, si grand qu'on le suppose, on peut toujours ajouter l'unité; il y a donc une infinité de nombres. Nous voici en présence de la notion de l'infini.

La notion de l'infini a tourmenté souvent les philosophes et ceux des mathématiciens qui ont voulu introduire dans la science des considérations d'ordre métaphysique. Mais, quand on considère la loi génératrice du nombre, le prestige et la difficulté s'évanouissent.

Fini et infini sont deux termes corrélatifs. Fini signifie ce qui adesHmites; infini, ce qui n'en a pas. Tout nombre étant une synthèse de l'unité et de la multiplicité, est fini; un nombre infini est inconcevable, car il serait multiplicité absolue, sans unité, ce qui implique contradiction. — Si, au contraire, par grandeur finie on entend toute grandeur qui peut être accrue, et par

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grandeur infinie celle qui, étant plus grande que toute quantité finie, ne peut recevoir d'accroissement, la notion d'un nombre infini est encore contradictoire. Le nombre, en effet, se forme par addition d'unités; tout nombre donné peut donc être augmenté d'une unité; un nombre infini serait, en ce sens, un nombre auquel on ne pourrait rien ajouter, c'est-à-dire un nombre qui ne serait pas un nombre. Pourquoi la loi de construction qui engendre tous les nombres finis rencontrerait-elle un obstacle infranchissable? L'opération par laquelle nous formons les plus grands nombres est, au fond, identique à celle par laquelle nous formons les plus petits. Si nous n'avons pas trouvé d'obstacles à l'addition de l'unité à elle-même, il est inconcevable qu'il puisse jamais s'en présenter à l'addition de Tunité au groupe le plus grand possible d'unités. Par conséquent la loi du nombre implique un pouvoir de construction sans limites, et, si loin que nous allions dans la série de ces constructions successives, jamais nous ne pouvons renconti'er de nombre auquel il soit impossible d'ajouter l'unité. « A proprement parler, dit Leibniz, » il est vrai qu'il y a une infinité de choses, c'est-à- » dire qu'il y en a toujours plus qu'on n'en peut assi- » gner. Mais il n'y a pas de nombres infinis, si on les » prend pour des touts véritables. »

Ce qui est vrai, c'est que la série des nombres est illimitée. Si on l'appelle infinie, cela veut dire que, les mômes raisons subsistant toujours pour aller plus loin, suivant une parole du profond penseur que nous venons de nommer, jamais nous ne rencontrerons un nombre

auquel nous ne pourrons pas ajouter l'unité. Par conso- 4]uent, le nombre par lequel on exprimerait la somme de tous leslermesde lasérie peut toujours être augmenté; il implique donc contradiction que la série soit jamais terminée. Comme Aristote Tavait vu, l'infini est une puissance qui se développe incessamment, sans être jamais pleinement réalisée.

Cependant les termes : inlini, infiniment grand et infiniment petit, ont dans la langue des sciences mathématiques un sens clair qui ne recouvre aucun mystère ^t ne recèle aucune contradiction. Tout nombre, nous Pavons vu, est donné dans une intuition; mais il y a des limites à Timagination humaine. Si par Tartifice de la numération nous obvions en partie à ce défaut d'ampleur, il vient un instant où la représentation intuitive des groupes composés d'unités est impossible; il faudrait, pour ainsi dire, élever la numération à la deuxième, à la troisième, à la/î" puissances, et, à quelque degré qu'on l'élevât, on finirait toujours par rencontrer l'inimaginable. — Les mathématiciens appellent infinie toute quantité qui ne peut pas être assignée. L'infini, ainsi entendu, est un pur symbole dont l'emploi conduit i ce paradoxe apparent : Supposez que le nombre des astres du ciel soit infini; supposez que chacun de ces astres soit brisé en un nombre infini de fragments qui. deviennent chacun un nouvel astre : le nombre infini des corps célestes ne sera pas accru d'une unité; ce nombre sera cependant l'infini élevé à une puissance infinie; mais comme par nombre infini on entend tout nombre plus grand que toute quantité assignable, l'in-

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fini, avant que d'être élevé à une puissance infinie, était déjà plus grand que toute quantité assignable. L'imagination se perd dans ces constructions qui la dépassent de toutes parts; mais la raison s'y meut et s'y oriente avec autant d'aisance et de sûreté que dans les nombres les plus petits.

De môme il y a des quantités infiniment grandes et des quantités infiniment petites. Une variable est infiniment grande ou infiniment petite, quand elle peut devenir plus grande ou plus petite que toute quantité donnée. Ces deux expressions : infiniment grand et infiniment petit, n'ont qu'un sens relatif. Le soleil est immensément grand par rapport à une molécule d'hydrogène, et une molécule d'hydrogène est immensément petite par rapport au soleil. Cependant si le volume du soleil était soumis à une loi continue de décroissance, et celui de la molécule d'hydrogène à une loi continue d'accroissement, le soleil serait infiniment petit par rapport à la molécule, et la molécule, infiniment grande par rapport au soleil. On conçoit donc que l'infiniment grand puisse être infiniment accru, et l'infiniment petit infiniment diminué.

L'infini, envisagé dans le nombre, n'a donc pas le sens mystérieux et accablant qu'on lui prête quelquefois; il exprime une possibilité qui n'est jamais épuisée.

On comprend aisément la nature de Tinfini mathématique, si l'on voit dans le nombre une des conditions mentales nécessaires à la pensée des objets, et on ne la comprend pas dans toute autre hypothèse. Ceux qui

veulent faire dériver de l'expérience les notions des différents nombres, sont impuissants à expliquer comment, si grands que soient les nombres réalisés dans Texpérience actuelle, l'esprit a du mouvement pour aller plus loin et engendrer des nombres toujours plus grands. Il ne faut pas dire que des expériences accumulées se dégage peu à peu une loi qui s'étend à Texpérience possible, car, si cette loi enveloppe toute Texpérience, elle y est logiquement antérieure, bien qu'elle y soit actuellement manifestée. Ceux qui font des nombres des choses en soi aboutissent promptement à des contradictions invincibles; en les posant comme des touls actuels et véritables, ilss'interdisent de parler de l'infini, cequi répugne àl'idée môme de nombre, ou bien ils posent des nombres infinis réels en nombre infini, ce qui est doublement contradictoire. La nature et la cause de l'infini n'ont pas échappé à la profonde sagacité de Leibniz. « La considération de l'infini, dit-il, vient de » celle de la similitude ou de la môme raison, et son ori- » gine est la même avec celle des vérités nécessaires et » universelles. » Si en effet les nombres déterminés sont les expressions diverses d'une nécessité inhérente à l'esprit, on doit admettre que la loi qui les engendre ne peut rencontrer de limites; il faudrait, en effet, qu'à cette limite les conditions organiques de la pensée fussent brusquement changées. Mais une telle supposition est inconcevable. L'infini mathématique est donc une conséquence de la nature des lois objectives de la pensée.