CHAPITRE V

LE NOMBRE ET l'eSPACB

Les notions du nombre et de l'espace sont des notions originales et irréductibles l'une à l'autre. Pour s'en convaincre pleinement, il suffit de remarquer que le nombre est discret et que l'étendue est continue. De 1 à 2 il existe un intervalle qui ne peut ôtre comblé; jamais la série | + f + ^ + ■^..., si loin qu'on la prolonge, ne reliera 1 à 2 sans lacune; un intervalle infiniment petit, c'est-à-dire plus petit que toute quantité assignable, les séparera toujours; et même il est vrai de dire que cette chaîne, en apparence continue, de quantités régulièrement décroissantes, renferme une infinité d'autres intervalles de plus en plus petits, mais qui cependant ne sont jamais nuls. ^ ne

peut pas plus être relié à j par une série continue, que 1 à 2. Pour que ces intervalles fussent comblés, il faudrait qu'une infinité de nombres infinis fût actuellement réalisée, ce qui, nous le savons, implique contradiction. L'étendue, au contraire, est continue; eu la parcourant, nous ne rencontrons aucune lacune; les intervalles qui, dans l'espace, séparent les limites, points, lignes et surfaces, ne sont pas des vides

mais des pleins géométriques, car Tespace en luimême est donné comme un tout, et les limites que les objets y déterminent, ou que l'esprit y introduit à son gré, n'en affectent pas la nature. Cependant, malgré cette différence essentielle, le nombre est uni àtl'espnce par la pensée. Les synthèses primitives qu'ils forment comptent parmi les principes les plus importants de la science positive. Il n'est donc pas hors de propos, puisque nous analysons les principes à priori de la science, pour en déterminer la portée, d'étudier ces synthèses.

Le nombre se suffît à lui-même pour constituer une science. Une fois la loi générale du nombre posée, il y a lieu de rechercher les lois dérivées suivant lesquelles les opérations se transforment les unes dans les autres. C'est Tobjet de l'arithmétique, science purement analytique, qui ne requiert que les synthèses numériques, et n'a pas besoin de faire appel à des notions étrangères au nombre. L'étendue, au contraire, ne devient objet de science qu'à la condition d'emprunter le nombre. L'espace est déterminé par les figures; une figure est un système de points, de lignes ou de surfaces; en faire la science, c'est en déterminer les relations constantes. Ou trouve dans l'étendue les éléments de cette détermi nation ; les figuresontdiversespropriétés; propriétés de grandeur, égalité ou inégalité : ainsi deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; une perpendiculaire et une oblique menées d'un même point sur une même droite sont inégales; propriétés de similitude: ainsi deux

LE NOMBRE ET L'ESPACE. 13b

triangles rectangles sont semblables, quand ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels; propriétés de direction, perpendicularité, obliquité, parallélisme; propriétés de distance : une circonférence est une courbe dont tous les points sont également distants d'un point fixe intérieur appelé centre; l'ellipse est une courbe telle que la somme des distances de l'un quelconque de ses points à deux points fixes intérieurs soit constante. Mais toutes ces propriétés, égalité ou inégalité, similitude, direction, distance, impliquent la notion de quantité, c'est-à-dire de nombre. En dernière analyse, les questions géométriques reviennent à des questions de mesure.

La géométrie, a dit Auguste Comte, «a pour Lut » final la mesure de l'étendue. Si l'on prend le mot » mesure dans son acception mathématique directe gé- » nérale, qui signifie simplement l'évaluation des rap- » ports qu'ont entre elles des grandeurs homogènes » quelconques, oh doit considérer, en géométrie, que » la /Tz^^wr^ des surfaces et des volumes, par opposition » à celles des lignes, n'est jamais conçue, même dans les » cas les plus simples et les plus favorables, comme s'ef- » fectuant itnmédiatement... Mais il existe un certain » nombre de lignes, plus ou moins faciles à assigner, » dont la longueur suffit pour définir exactement telle » surface ou tel volume. La géométrie, regardant ces » lignes comme les seules susceptibles d'être mesurées » immédiatement, se propose de déduire de leur simple » détermination le rapport de la surface ou du volume » cherché à l'unité de surface ou à l'unité de volume.

» Ainsi, Tobjet général de la géométrie, relativement » aux surfaces et aux volumes, est proprement de rame- » ner toutes les comparaisons de surfaces ou de volumes » à de simples comparaisons de lignes. »

La mesure des lignes ne se fait pas toujours immédiatement. « Mais il suffit de distinguer entre la ligne » droite et les lignes courbes, la mesure de la première » étant seule regardée comme directe, et celle des autres » comme constamment indirecte. Bien que la superpo- » sition soit quelquefois rigoureusement praticable pour » les lignes courbes, il est évident néanmoins que la » géométrie vraiment rationnelle doit la rejeter néces- » sairement, comme ne comportant, lors mêmequ'elle est »> possible, aucune exactitude. La géométrie des lignes » a donc pour objet général de ramener constamment » la mesure des lignes courbes à celle des lignes droites... » Pour comprendre la possibilité d'une telle transfor- » mation, il faut remarquer que dans toute courbe quel- » conque il existe constamment certaines droites dont » la longueur doit suffire pour déterminer celle de la » courbe. Ainsi, dans un cercle, il est évident que de la » longueur du rayon on doit pouvoir conclure celle de la » circonférence; de même la longueur d'une ellipse » dépend de celle de ses deux axes (1). »

L'étendue est donc un système de rapports de posi-^ tion, doublés de rapports de quantité; la géométrie suppose par conséquent l'application du nombre à rétendue. Comment se fait cette application?

(1) A. Comte, Cours de philosophie posilive, dixième leçon.

LE NOMBRE ET L'ESPACE. 237

Ce ne peut être par une synthèse empirique, car s'il en était ainsi les propositions géométriques seraient particulières et contingentes; elles perdraient ce double caractère d'universalité et de nécessité, qui a valu aux sciences mathématiques un renom de certitude supérieure à celle des autres sciences. L'application du nombre à l'étendue est l'œuvre d'une synthèse à priori, qui se traduit par les axiomes.

On doit distinguer deux catégories d'axiomes : les axiomes analytiqueset les axiomes synthétiques. Les premiers dérivent tous des principes d'identité et de contrad iction : une chose est ce qu'elle est, elle n'est pas ce qu'elle n'est pas; une même chose ne peut pas à la fois être ce qu'elle est et ce qu'elle n'est pas, dans le même temps et sous le même rapport. Ces formules peuvent recevoir diverses traductions; de là les axiomes, que nous avons appelés analytiques, tels que : si à deux quantités égales on ajoute des quantités égales, les sommes sont égales; si de deux quantités égales on retranche des quantités inégales, les restes sont inégaux, etc. Ces propositions et les autres semblables peuvent être formées par analyse.

« Laissons là l'expérience ; fermons les yeux, et ren- » fermons-nous dans l'enceinte de notre propre esprit ; » examinons les termes qui constituent nos propositions ; » tâchons de savoir ce que nous entendons par les mots » de grandeur et d'égalité, et voyons quelles construc- » tions mentales nous faisons, lorsque nous fabriquons » l'idée d'une grandeur égale à une autre... Soit une » collection d'individus semblables, tel troupeau de

in-

tlS LA SCIEN'CE POSITIVE ET LA METAPHYSIQUE.

» moutons, ou une collection d'unités abstraites, tel » groupe mental d'unités pures, figurées aux yeux par » un même signe tracé plusieurs fois. Nous appelons » ces collections des grandeurs... A présent, comparons » une de ces collections avec une autre collection ana- » logue, et faisons correspondre, par la pensée ou au- » trement, un premier objet de la première avec un » premier objet de la seconde, un second avec un se- » cund et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'une des deux soit » épuisée. Deux cas se présentent. — Ou bien les deux » collections sont épuisées ensemble; alors le nombre » des moutons est le même dans le premier troupeau et » dans le second, le nombre des unités est le même dans » le premier et dans le second groupe; auquel cas on » dit que les deux grandeurs sont éffales. Égalité signi- » fie présence du même nombre. — Ou bien Tune » des deux collections est épuisée avant l'autre; alors le » nombre des moutons est différent dans le premier et » dans le second troupeau, le nombre des unités est diflé- » rent dans le premier et dans le second groupe ; en ce cas, » on dit que les deux grandeurs sont inégales. Inégalité » signifie donc présence de deux nombres différents.

» Maintenant, pour ces sortes de grandeurs, nous pou- » vous prouver l'axiome. Soient deux grandeurs égales » auxquelles on ajoute des grandeurs égales. Selon » Tanalyse précédente, cela signifie que la première col- » lection contient un certain nombre d'individus ou d*u- » nités, qu'on lui en ajoute un certain nombre, que la » seconde contient le même nombre d'individus ou » d'unités que la première, qu'on lui en ajoute le même

-B NOMBRE ET L'ESPACE

» nombre qu'à la première; que, dans les deux cas, le » même nombre est ajouté au môme nombre, et que, » partant, les deux collections finales contiennent le )) même nombre ajouté au même nombre, c'est-à-dire » le même nombre total cVind'widus ou d'unités; d'où il » suit, d'après la définition, que les deux sommes de gran- » deurs finales sont des grandeurs égales. — Pareille- » ment, soient deux grandeurs égales, desquelles on » ôte des grandeurs égales ; selon la même analyse, cela » signifie que la première collection contient un certain » nombre d'individus et d'unités, qu'on lui en ôte un » certain nombre, que la seconde contient \emême nom- » bre d'individus ou d'unités que la première, qu'on lui » en ôte le ;72^;w^ nombre qu'à la première; en sorte que, » dans les deux cas, le même nombre est diminué du » même nombre, et que, partant, les deux collections » finales contiennent le môme nombre diminué du même » nombre, c'est-à-dire le même nombre restant d'indivi- » dus ou d'unités ; d'oii il suit, toujours d'après la défl- » nition, que les deux restes, ou grandeurs finales sont p des grandeurs égales (1). »

On remarquera que dans ces axiomes le rapport d'égalité ou d'inégalité est affirmé entre des termes relativement indéterminés; qu'il s'agisse de quantités discrètes ou de quantités continues, il est vrai que deux quantités égales demeurent égales quand on y ajoute des quantités égales, et ainsi des autres. Mais l'application de ces axiomes à des quantités spécifiquement détermi-

. (1} H. Taine, VlnteUigence, \\\Tq IV, cliap. ii.

2i0 LA SCIENCE POSITIVE ET LA MÉTAPHYSIQUE.

nées,etrétendue mesurable est de ces dernières, suppose que rétendue est donnée comme quantité. Il faut donc qu'au préalable la synthèse ait eu lieu entre les rapports déposition etles rapports de quantité, entre retendue etle nombre; elle n'est donc pas l'œuvre des axiomes analytiques, puisqueceux-cilasupposent.Maisd'autresaxiomes

interviennent dans la science. Avant d'en marquer les caractères et d'en rechercher le rôle, justifions d'abord la distribution des axiomes en deux catégories distinctes. Le vulgaire entend par axiome toute proposition évidente. Si Ton s'en tenait à cette définition, il faudrait réunir eu un même faisceau les propositions les plus différentes. Ainsi, pour le vulgaire, c'est un axiome que deux et deux font quatre ; c'en est un autre que le soleil se lève à l'orient et se couche à l'occident ; pourtant ces propositions sont loin d'avoir mêmes caractères et même origine. Il faudrait aussi donner le nom d'axiomes à des préjugés fortement enracinés, à des erreurs vivateset générales, dont la vérité ne semble pas suspecte à la majorité des hommes. — Les savants entendent par axiome toute proposition indémontrable dont la vérité commande l'assentiment, et sans laquelle la démonstration de tout un ordre de vérités est impossible : telles sont, par exemple, les propositions citées plus haut sous le nom d'axiomes analytiques, et ces autres : deux lignes droites ne peuvent pas enclore un espace; deux droites parallèles ne se rencontrent jamais, si loin qu'on les suppose prolongées, etc. Mais, bien que ces propositions soient toutes également évidentes, indémontrables, et principes de démonstration,

LE NOMBRE ET L'ESPACE

Ui

eMes sont loin de présenter toutes les mêmes caractères.

Dans les Seconds analytiques, Aristote distingue deux sortes de principes, les principes communs et les principes propres ; les premiers sont ceux que doit ipos^éder quiconque veut apprendre ywo2j'w<? ce 502/, -Çv hayuri 6/sevTov ouovv ii(x0-n(jôiiîvov ; les seconds sont ceux que doit posséder celui qui veut apprendre quelque chose de déterminé, -^v àvor/y.ri iyj.tv tov tc iKxO-ncrdixvjov. — Les principes communs énoncent des relations entre des termes indéterminés ; ils sont les règles générales de toute pensée, quel qu'en soit l'objet. C'est, par exemple, un principe commun que le principe d'identité, car c'est une nécessité commune à toute pensée, que l'objet pensé, quel qu'il soit, ne se détruise pas lui-même par la contradiction. Les principes propres énoncent, au contraire, des relations entre des objets déterminés. C'est, par exemple, un principe propre que la définition d'un nombre ou d'une figure.

Cela posé, on comprend que ces deux espèces de principes soient indispensables à la démonstration. Les premiers donnent les règles générales de la pensée, en tant que pensée ; mais, si une matière particulière n'y est pas introduite, ils demeurent vides et stériles. Les principes propres fournissent cette matière ; mais, si les principes communs ne s'y appliquent pas, l'esprit n'aura aucune garantie, qu'en la soumettant aux transformations analytiques qu'elle peut subir ; il ne sort pas des voies de la vérité.

Cette distinction d'Aristote correspond à celle que

LiARD. — La science positive.

M U SCIESCB POSITITE ET U MtTAI IIY.MQCK

nous établissons eulrc les axiomes analytiques cl les axi.itne.s synlWtîques. Les premiers sont toutes les proposilionsévidentes, indémoiUivilileîi, principesdedémon-

stnilion, qui éuoncent des relations générales et cx)ustantes entre daisgrandeun miéiermiitées. TeU sont les sept premitTs axiomes d'Euclide.lls sont les principes communs de touies les siicnces malhiiiuitiqucs; les relations qu'ils expriment sont réalisées dans tout ordre de grandeurs, continues ou discrètes. — Les axiomes S) nlhtMiques, au contraire, sont toutes les propositions évidentes, indémontrables, princii>es de démonstmtioiu qui éiioncenl des relatioiis générales et instantes entre des grundeun déterminées. Cbaqur science math«5maiiiiue a SCS axiomes propres; la çr»^i .luctrie a les siens : ce sont ceux qui donnent la synthèse de la posiiion et delà quantité, et déterminent ainsi la matière à laquelle s'appliquent les axiomes analytiques.

Les axiomes synthiMujm's de la géométrie sont au nombre de quatre : l'axiome de la ligne droite, celui du plan, et le double axiome de la perpendiculaire et de la parailèlo. Le premier permet la mesure des longueurs ; le second, celle des surfaces, cl les deux autres, celles des

dia^iions (!)•

1^ ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. — Cette proposition a longtemps tourmenté pbib:.fopbes et géomètres. Qu'est-elle au juste? Une définition, un théorème ou un axiome? Les uns en font une ib'finitinn ; le rftle de la définition n'est-il pas d Vnoû-

(I) V. RMP^ier. pTtmxtf tucK *• li ?> ^W^iqq., t»64A.

cer le caiactère essentiel d*un objet, et n'est-ce pas le caractère e5cji?otiel de la ligne droite que d'ôlre plus courte que toute autre ligne menée entre ses points limites? — Ijcs autres en font un théorème. Un théorème n*énonce-t-iI {)as une pit>priété |Kirticulière d'une figure détermimfe, et la dirt^ction rectiligne n'a-t-elle pas la propriété d'être plus courte que toute autre direc*lion? — Celte incertitude, et, pour imrlcr comme d'A* lembert, ce scandale des éléments de la géométrie cesserait, si, avec M. Renouvier, on conscîntiit à voir dans cette proposition un de ces axiomes irréductibles qui lient en une synlhèt^c indissoluble, la quantité et la

position.

Toute longueur est une quantité; elle est h la fois une et multiple, car elle est divisible. Mesmer une longueur c'est en prendre une certaine portion comme unité, voir combien de fobelle est contenue dans la longueur donnée, ctexprimerpar un nombre le résultat de Topération. Mais le nombre est comptxsé d'unités identiques; il faut donc, |)0ur qu'une grandeur linéaire soit susceptible de mesure directe, que toutes les parties en soicut identiques. Seule la ligne droite satisfait Si cette oondilion. On ne peut mesurer une ligne brisée par une unité tirée d'elle-même. On peut mesurer un arc de cercle par un aa* détaché d'un cercle de même rayon; mais ce nK)de de mesure n'a pas de généralité; il oess<î d'être applicable en dehors du cercle considéré; de cercle ii c^rrle, si les rayons rarienljl faut changer d'unité de longueur; de même pour rbélice. Pour les autres onurbiNii cotto mesure directe est impossible; il n'y a pas idrntltrf i^ntm

deux portions quelconques d'une ellipse, d'une parabole, d'une hyperbole, etc. Seule la ligne droile est telle qu'une partiequelconque peut toujours en être superposée à une autre partie quelconque, de même que dans un nombre une unité quelconque est identique à une autre unité abstraite. La ligne droile est par conséquent la double unité de position et de quantité, nécessaire à la mesure des longueurs, et partant des distances. L'axiome de la ligne droite est donc une synthèse de la position et de

la quantité.

On a essayé d'en donner une démonstration analytique. c< Observons d'abord, dit M. Taine, que la défini- » tion ordinaire de la ligne droite est mauvaise ; on dit » qu'elle est la plus courte qui puisse être menée d'un y> pointa un autre. Ce n'est pas là une propriété primi- » tive, mais une propriété dérivée; on n'assiste point, » en la pensant, à la génération de la ligne; on ne possède » paslesélémentsdelaconstruction mentale; on ne tient » qu'une de ses suites... Ce n'est point ainsi que les fins » et subtiles analystes grecs ont défini la ligne droite. » Euclide n'admet pas au début qu'elle soit la plus courte; » il le prouve plus tard, en comparant des triangles dont » elle est un côté, ce qui la démontre plus courte qu'au- » cune ligne brisée, puis en étendant le cas de la ligne » brisée à la ligne courbe qui est sa limite. 11 faut donc » lui chercher une définition difiérente, et, selon notre » usasse, assister à sa construction. Or, nous l'avons » construite en considérant deux points donnés, et eu » remarquant la ligne que trace le premier point lors- » qu'il se meut vers le second, et vers le second seule-

LE NOMBRE ET L'ESPACE

» ment.... De là deux conséquences : l'une qui concerne

» la ligne entière, l'autre qui concerne ses diverses por-

» tions. Si, à partir du même point, on trace une autre

» ligne qui se meut aussi vers le même second point, et

» vers celui-là seulement, ce second tracé ne fait que

» répéter exactement le premier; car tous ses caractères^

» comme tous ceux du premier, dérivent complètement

» et uniquement du rapport qu'il a, comme le premier,

» avec ce seul second point; d'où l'on voit que les carac-

» tères des deux lignes, quels qu'ils soient, connus ou

» inconnus, sont tous absolument les mêmes, en d'autres

» termes que ces deux lignes se confondent, et n'en font

« qu'une... Voilà pour la ligne entière : considérons

» maintenant ses diverses portions. Puisque le tracé

/» entier est complètement et uniquement déterminé par

» son rapport avec le second point, et dérive de là tous

» ses caractères, chacune de ses portions constituantes

^> est uniquement, complètement déterminée par le même

» rappoi't, et dérive uniquement de là tous ses carac-

D tères, sauf un, qui est la propriété d'être telle portion,

» non telle autre, située à tel ou tel endroit de la ligne,

» au commencement, au milieu ou à la fin. Par consé-

» quent, si nous faisons abstraction de cette particularité,

j) toutes les portions de la ligne ont exactement les

» mêmes caractères; en d'autres termes, elles sont les

» mêmes. Effectuons cette abstraction, et, pour cela, sup-

» primons l'emplacement particulier d'un fragment

» de la ligne, en le retirant de l'endroit où il est, de la

» fin, par exemple, pour le transporter ailleurs, par

;> exemple, au commencement, et pour le superposer

» en ce point à la ligne totale. Il se confondra avec la » portion sur laquelle il sera appliqué, et les deux frag- K» ments n'en feront qu'un. D'oii il suit qu'une portion » quelconque de la ligne droite, retirée de sa place et » superposée en un autre point quelconque à la ligne » totale, coïncidera rigoureusement avec la portion sur » laquelle on l'aura appliquée (1). »

Rien de plus ingénieux et de plus subtil que cette démonstration, rien de mieux articulé et de plus solide «n apparence. Mais la base n'en est-elle pas chancelante et ruineuse? On déflnit la ligne droite celle qu^engendre un point qui se meut vers un autre point, et vers celui-là seulement. Une telle définition n'implique-t-elle pas la notion de direction? Comment reconnaîtrait-on, «n effet, sans cela, que dans son mouvement continu un point se meut vers un seul et même point? Mais l'appréciation d'une direction quelconque suppose une direction fixe, prise pour terme de comparaison. Et quelle autre direction peut jouer ce rôle, que la direction rectiligne? Ainsi la synthèse que nous considérons comme primitive est introduite, en contrebande, dans la définition, d'où on la prétend absente. Dès lors la démonstration que l'on fait reposer sur cette définition s'aff a ou devient superflue.

La mesure des surfaces se ramène analytiquement à la mesure des lignes droites. Mais auparavant il faut que nous soyons en possession d'une unité superficielle de position et de quantité à la fois. Elle nous est fournie

(1) H. Taine, L'Intelligence, livre IV, chap. II.

LE NOMBRE ET L'ESPACE. 2*7

par raxiome du plan : le plan est la surface sur laquelle une ligne droite peut toujours être appliquée. — On peut dire de plus, par rapport aux autres surfaces, ce que nous avons dit de la ligne droite par rapport aux

autres lignes.

On mesure les directions en les rapportant à une direction supposée fixe. La question se ramène à des mesures de lignes droites. Mais, d'un point donné à une ligne donnée, on peut tracer une infinité de lignes droites. Laquelle choisir, pour y rapporter les autres? — Il en est une qui jouit d'une propriété spéciale constante, c'est la perpendiculaire. La perpendiculaire à une droite est la droite qui forme, avec la premièi'e, deux angles adjacents égaux; par un point pris sur cette droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite; d'un point pris hors d'une droite, on ne peut abaisser qu'une seule perpendiculaire sur cetre droite. Il y a donc là synthèse d'une direction constante et d'une quantité constante d'écartement, et l'on conçoit que l'angle droit soit l'unité de mesure des angles, c'est-àdire des directions.— Un autre axiome synthétique, complément de l'axiome de la perpendiculaire, est celui qui lie l'égalité de la direction à une égalité de grandeur : deux parallèles sont toujours également distantes, si loin qu'on les prolonge.

Toutes ces propositions sont indémontrables. Les démonstrations qu'on en a parfois tentées renferment toutes des pétitions de principe. Comment n'en serait-il pas ainsi? N'ont-elles pas pour fonction d'unir deux choses par elles-mêmes hétérogènes : la quantité et la position?

Or, la démonstration est toujours analytique, elle procède par la décomposition de prémisses données. Quelles pourraient être les prémisses d'où Ton déduirait les axiomes? Ou bien ce seraient des propositions relatives, soit à la quantité pure, soit à la position pure, auquel cas, on n'en pourrait tirer une synthèse de la quantité et de la position ; ou bien ce seraient des propositions où la quantité et la position seraient liées ensemble. Mais les seuls principes qui présentent ce caractère sont précisément ceux que nous avons appelés les axiomes synthétiques de la géométrie.

Cette synthèse à priori posée, l'application du nombre à l'étendue est possible.

Considérons d'abord le cas le plus simple. Soit à mesurer une ligne droite. On en prend une portion quelconque comme unité, on recherche, par des superpositions successives, combien de fois elle est contenue dans la longueur dont on Ta détachée, et on exprime par un nombre, le résultat de l'opération.

Toute ligne droite donnée est commensurable avec une certaine unité de longueur; mais, soit une certaine unité de longueur donnée, toute ligne droite n'est pas commensurable avec elle. En d'autres termes, l'unité peut n'être pas contenue un nombre exact de fois dans la longueur à mesurer. Comment mesurer l'excès? — A l'aide des fractions. Une fraction est une unité d'un nouvel ordre, liée par un rapport constant à l'unité primitive. Si l'unité fractionnaire est contenue un nombre

LE NOMBRE ET L'ESPACE

exact de fois dans l'excès à mesurer, la mesure exacte de la longueur totale est possible. — Mais s'il reste un nouvel excès? — On recourt au même artifice, en usant de fractions plus petites, et ainsi de suite à chaque excès nouveau. — Mais nous voilà au rouet, comme disait Montaigne, et il semble, par suite, que la mesure exacte de l'étendue, c'est-à-dire Tapplication rigoureuse du nombre à l'étendue, soit impossible.

On peut présenter la difficulté sous une forme peutêtre plus saisissante encore.— Le nombre est discret; rétendue est continue; une étendue quelconque se divise en autant de parties que l'on veut, par l'interposition de nouvelles limites entre ses limites; elle est donc divisible à l'infini. Comment alors pouvons-nous l'exprimer numériquement par 1 ? Si l'unité abstraite, élément du nombre, n'est pas elle-même divisible à l'infini, elle n'est pas l'expression exacte de l'unité étendue ; mais si elle est divisible à l'infini, il est impossible d'exprimer, par des nombres fractionnaires, la série illimitée des divisions successives de celte même étendue. Comment pouvons-nous, à ce nombre sans nombre de parties, substituer l'unité?

Nous voilà donc de nouveau en présence de la notion de l'infini. Mais l'analyse que nous en avons faite, au précédent chapitre, va nous permettre de lever la difficulte. Rappelons d'abord les résultats acquis. - Un nombre infini acti>el est une contradiction danslestermes; la série ascendante ou descendante des nombres est infinie; mais cela signifie simplement qu'un nombre, si grand ou si petit qu'on le suppose, peut toujours être

augmenté ou diminué. L'infiniment grand et TinOniment petit sont notions purement relatives.

Cela posé, on comprend que les rapports de grandeurs incommensurables— tels sont le côté et la diai^onale du carré— ne puissent être représentés ni par des nombres entiers, ni par des nombres fractionnaires. Mais est-ce à dire pour cela que Tapplication du nombre à la quantité continue ne soit pas générale ? — Il est des cas où une série indéfinie de termes tend vers une limite dont elle s'approche sans cesse, sans l'atteindre jamais. Ainsi la série 1+i+i + 1+1 +i, etc., a pour limite 2; mais jamais la somme des termes actuels de cette série n'est rigoureusement égale à 2, car toujours le dernier terme peut être divisé suivant la même loi que les termes précédents. Mais, s'il en est ainsi, c'est-àdire si la variable s'approche indéfiniment de la limite, elle peut en différer de moins que d'une quantité assignable, si petite que soit celle-ci. Par suite, on est autorisé à substituer la limite à la variable. Il en résulte une erreur, dira-t-on, car jamais la variable ne sera exactement égale à la limite. C'est vrai; mais l'erreur est inassignable, c'est-à-dire nulle, car la différence de la variable et de la limite peut être, à volonté» rendue plus petite que toute quantité assignée quelconque.

Ainsi, pourprendredesexemplestrès-simples,àlasérie infinie^ +- +^ + fQ, etc., dont les termes expriment les divisionssuccessives d'une grandeur finie par 2, je substitue, sans erreur, lalimitel ; de même encore, je considère le cercle comme la limite des polygones réguliers

LE NOMBRE ET L'ESPACE

inscrits et circonscrits, dont les côtés deviennent de plus en plus petits, et je transporte, sans erreur, à la circonférence et au rayon du cercle les propriétés du périmètre et de l'apothème des polygones réguliers.

Ainsi les synthèses primitives qui lient la quantité discrète et la quantité continue ne sont pas en défaut, et l'application du nombre à l'étendue ne souffre pus d'exception.

^•«SSÇ