CHAPITRE PREMIER

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DU POLYGONE DES LIGNES ET NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE.

SERS D'US POLYGONE. SENS CYCLIODE D'UN CONTOUR FERMÉ. — Nous appellerons sens cyclique d'un contour polygonal fermé un sens arbitraire, mais convenu une fois pour toutes, dans lequel le contour serait parcouru par un mobile idéal. Le sens d’une portion quelconque du contour est le sens dans lequel elle est parcourue par le mobile ; l'origine de cette portion du contour est le point où le mobile l'atteint; son extrémité, le point où le mobile la quitte.

D’après cela, quand on s’est donné le sens d’un contour polygonal fermé ou non, le sens de chacun de ses côtés se trouve par la même défini.

Par la ligne qui ferme un contour polygonal, nous entendrons toujours la ligne dirigée dans le sens du contour, c'est-à-dire que l’origine de cette ligne coïncide avec l'extrémité du contour et vice 'versd.

POLYGONE DES LIGNES

NOTATIONS. — Nous désignerons habituellement les eûtes des contours polygonaux par les chiffres successifs i, a, 3, et nous conviendrons, une fois pour toutes, de disposer ces chiffres de façon que l'on obtienne le sens du contour en les suivant dans leur ordre croissant; l’origine d'un côté quelconque sera donc son intersection avec le côté désigné par le chiffre immédiatement inférieur; son extrémité sera son intersection avec le côté désigné par le chiffre immédiatement supérieur.

Le sommet formé par deux côtés consécutifs, désignés par les chiffres r et /•+ t, sera habituellement désigné par ;r-t- i.

La fig. 1 [PI. I) comprend un contour formé par les cinq côtés i, a, 3, 4, 5. L’origine du contour est en a, son extrémité en A; la ligne qui ferme le contour est la ligne ba et non la ligne ah.

ADDITION DE LIGNES. — Soient donnés les grandeurs, directions et sens d’un certain nombre de lignes distribuées d’une manière quelconque dans un plan ou dans l’espace. A partir d’un point quelconque, portons ces lignes bout à bout de manière à former un contour polygonal. La droite qui va de Vorigine de ce contour à son extrémité, sera ce que nous appellerons la somme des lignes données.

Le contour polygonal, obtenu en portant les lignes bout à bout, sera appelé le polygone de ces lignes.

La somme d’un certain nombre de lignes est, d’après cela, égale en grandeur et direction, mais (§ 1 ) opposée en sens à la ligne qui ferme le polygone de ces lignes.

Nous désignerons habituellement les lignes données par les chiffres gras

et les côtés correspondants du polygone de ces lignes par les chiffres ordinaires similaires

Ainsi la Jig. 2 contient sept lignes; le polygone de ces lignes est

ET NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE, indiqué par les lignes pleines de la fig. 2. La ligne ab est la somme de ces lignes; la ligne ba est celle qui ferme leur polygone.

Remarque. — On voit que le polygone des lignes fournit nonseulement la somme de toutes les lignes données, mais aussi les sommes partiellesdc deux ou plusieurs de ces lignes, pourvu qu elles soient consécutives. Ainsi cd est la somme des lignes 2, 3, 4 ; ce la somme des lignes a, 3, 4-, 5, et ainsi de suite.

Théorème. — La somme d'un nombre quelconque de lignes est indépendante de l'ordre dans lequel on les additionne.

11 est évident d’abord que l’on ne change pas la somme des lignes données si, dans l’addition, on intervertit l’ordre de deux lignes consécutives. Ainsi intervertissons (fig . 2, PI. J) l’ordre de succession des lignes 4 et 5 ; cela reviendra à porter à la suite de 3 une ligne 5, égale et parallèle à 5, et au bout de celle-ci une ligne 4i égale et parallèle à 4 - Le contour 5,4 1 aboutira au point e aussi bien que le contour 4 5, en sorte que les lignes subséquentes 6 et y ne changeront pas de place, et la ligne qui va de l'origine à l'extrémité du contour 1 2 3 5, 4i 6 7 est la même que celle qui va de l’origine à l’extrémité du contour t 2 3 4 5 6 7, ce qui signifie que les deux sommes 1 — t— a -H 3 -f- J H- 4 “t - 6 -+— 7 et 1 -f— a-+-3-f- 4 — I— — r- G H— 7 sont les mêmes.

Du moment où l’on peut, sans altérer la somme de lignes données, permuter une ligne avec celle qui la précède ou qui la suit, on pourra, par une nouvelle permutation, la faire avancer ou reculer de deux rangs; par une autre permutation, de trois rangs et ainsi de suite; de sorte que l’on pourra sans changer la somme amener une ligne quelconque à occuper un rang quelconque.

Remarque. — On peut encore énoncer ainsi la proposition qui précède :

Si un polygone dont les côtés sont donnés en grandeur, direction et sens se ferme, lorsque ses côtés se succèdent dans un certain ordre, il se fermera également quel que soit l’ordre de leur succession.

Cette remarque nous sera très-utile plus loin.

POLYGONE DES LIGNES

Théorème. — La somme d'un nombre quelconque de lignes n'est pas altérée si, dans l" addition, on remplace certains groupes de ces lignes par leurs sommes partielles.

Cela est évident si les lignes que l'on remplace par leurs sommes partielles sont consécutives. Aiusi l’on a (Jig . 2 , PI. 1 )

1 -t-2-t-3+4 + 5-t-6-t-7 = 1 -+-<*/ -4- 5 -t- 6 4- 7 — 1 4- ce -t- 6 — "

et ainsi de suite, et, comme on peut (§ 4) amener des' lignes quelconques à être consécutives, le théorème se trouve vrai pour des ligues quelconques.

Théorème. — La projection sur un plan ou sur une droite de la somme d'un certain nombre de lignes est égale à la somme de leurs projections sur ce plan ou sur cette droite.

O11 appelle projection sur un plan ou sur une droite d'une ligne donnée en grandeur, direction et sens, une autre ligne dont l'origine est la projection de l’origine de la ligne donnée, et l’extrémité la projection de l’extrémité de la ligne donnée. 11 résulte de là que le sens de la ligue projetée découle immédiatement du sens de la ligne que l’on projette.

D’après cela le théorème énoncé est évident. Si l’on projette le polygone plan ou gauche (Jig. a, PI. T) sur un plan ou sur une droite, la ligne ah égale et opposée à celle qui ferme le polygone de l’espace se projette suivant une ligue égale et opposée à celle qui ferme le polygone projeté.

Corollaire. — La somme des projections d'un polygone fermé sur un plan ou sur une droite est nulle.

Tout ce qui précède est vrai, que les lignes données soient ou non toutes situées dans un plan; mais ce n’est que quand elles sont daus un plan que leur addition pourra s’cll'ectuer graphique-

ment. S’il s’agit de lignes qui ne sont pas situées dans un même plan, on devra sc les donner, comme c’est l’usage en Géométrie descriptive, en projection sur deux plans; et, d'après le dernier théorème, il suffira d’additionner les lignes sur chacun des deux plans de projection pour avoir les deux projections de leur somme, et par suite le moyen de déterminer graphiquement cette somme elle-même.

SOUSTRACTION DE LIGNES. — Soustraire une ligne h d'une ligne «, c’est additionner cette dernière à la première changée de sens.

Soient, par exemple, les deux lignes données 1 et 2 (Jig . 3, PI. J). ayant leurs grandeurs représentées par ■ et a {Jig. 3).

Leur différence est CI) = î -f- ( — a ) , tandis que leur somme serait OA, OCDA étant un parallélogramme; car OA = 2 -t- 1 = i-+- a.

Cas particulier des lignes parallèles. — Lorsque les lignes à additionner ou à soustraire sont parallèles, leur polygone se réduit à une droite, et leur somme ou leur différence se confond avec ce que l’on appelle ordinairement somme ou différence de grandeurs données. Les Jig. 4 et 4? PI- A donnent la somme de cinq lignes i, a, 3, 4, 5, dont le polygone se réduit à une droite ayant son origine en a et son extrémité en A, de sorte que ab est la somme des lignes données. Pour plus de clarté, on a mis une double ligne, ce qui permet de mieux distinguer dans les lignes qui se superposent celles qui sont dirigées dans un sens et celles qui sont en sens opposé. 11 n’y a aucune ambiguïté sur le sens à attribuer à chaque ligne, si l’on se rappelle (§1) que le sens du polygone des lignes (polygone réduit ici à une droite) se trouve en suivant les lignes dans l’ordre croissant des chiffres qui les représentent. Ainsi, partant de l'origine n, on voit que la ligne i va de droite à gauche; puis vient a, qui va de gauche à droite; puis 3, qui va de droite à gauche; puis 4, qui va dans le même sens; et enfin 3, qui vient de gauche à droite aboutir à l’extrémité b du polygone, en sorte que ab est la somme des lignes dounées et ba la droite qui ferme leur polygone.

POLYGONE DES LIGNES

HÏÏLTI7UCATI0K DE USITES. — Soit à déterminer le produit de n

lignes

Pour le trouver graphiquement, sur une ligne OX {Jlg- 5, PI. II), portons une longueur O I égale à l'unité ; puis, sur une perpendiculaire à OX élevée en 1 , portons les longueurs 1 /, = /, , 1 1 1, — i /, = A, et ainsi de suite. Joignons les points / , , Ai

A, . . . au point O, de façon à former les lignes indéfinies OL,, OL„ OLj, OL*, ....

Cela fait, posons

Prenons 02 = •)',. Au point 2 élevons une perpendiculaire à OX jusqu’à sa rencontre avec OL, en 2'. Soit y, la longueur 2 2 ; portons-la sur OX à partir de O, et par son extrémité 3 élevons une perpendiculaire à OX jusqu’à sa rencontre avec OL, en 3'.

Soit ri la longueur 33'. Opérons sur elle comme sur 22', c’està-dire portons-la sur OX à partir de O, et par son extrémité A élevons une perpendiculaire à OX jusqu’à sa rencontre avec OL* en A'.

Soit y* la longueur 4 V. F.n opérant sur elle de la même manière que sur les lignes y, et T, , nous aurons la longueur So' que nous appellerons j ,, et, en poursuivant ainsi, on formera la série des n lignes

r, . x,. Xt< x>. Xi x-<

dont la première est égale à A- Je dis que la dernière est le produit cherché et qu’on a généralement

Xi !» x A »

x* — - ii x ii X A x A * y . — /, X A X A X A X • .. X /.■

En efl'cl les triangles semblables O 1 /, et O 2 2' donnent

ou » ’

Xi r< h

i, i " i* ou

On verrait de même que

/i ~Ti X I, — /| X /, X /, .

et ainsi de suite.

ÉLÉVATION AUX PUISSANCES D’UNE LIGNE. — Soit à trouver la puissance n""' d’une ligne donnée /. Pour cela d'un point O (Jig . 6, PI. Il) menons deux lignes indélinies perpcndieulaircs entre elles XX' et YY'. Sur l’une d’elles XX', portons Ox, = i ; sur l’autre, Or, = l. Eux, élevons une perpendiculaire à x 0 x, jusqu’à sa rencontre avec XX' en x, : par ce point, une perpendiculaire à x,x, jusqu'à sa rencontre avec Y Y' en x»; par ce point, une perpendiculaire à x, x, jusqu’à sa rencontre en x, avec XX', et ainsi de suite. On aura, d’après une propriété connue du triangle rectangle,

Ojc, X Oi, -- /’ ou 0-r, =

Ixûx, = o.r, = 1' ou Oa-, = I*.

On aura de même

Oi,=/‘,

et ainsi de suite.

Remarque . — Ici on voit que la longueur donnée l = Ox, est supposée plus petite que l’unité Ox, ; il en résulte que les puissances successives de /, représentées par les longueurs Ox,, Ox, , Ox,,..., sont de plus en plus petites. Le contraire se produirait si / était supérieur à l’unité. Dans ce cas, la figure pourrait prendre des dimensions trop grandes et peu commodes. Pour éviter cet incon-

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vénient, il faudrait alors construire, par le procédé qui sera indiqué au § 12, la ligne a représentant l'inverse ÿ de la ligne donnée, et chercher la n‘ ,m " puissance de la ligue a, laquelle est plus petite que l’unité; et, comme a" — j il suffira ensuite de construire

une ligne c égalé à l’inverse de celle représentant a" pour avoir /".

DIVISION DE DEUX LIGNES. — Soit (fig. 7, PI. Il) à trouver le quotient j de deux lignes a et b. Sur une ligne OX, on portera 01 = 1 et O b = b. Sur la perpendiculaire à OX, élevée en A, on portera ha — a et l’on joindra le point O au point «, de façon à former la ligne indéfinie OL. Si ensuite du point 1 on élève 1 y —y perpendiculaire à OX jusqu’à la rencontre de la ligne OL, on aura évidemment

Remarque. — Si l’on prenait Ol = </, la relation précédente serait remplacée par celle-ci :

c’est-à-dire que la fraction proposée se trouverait réduite à une autre fraction avant un dénominateur donné d.

OPÉRATIONS SUN LES FRACTIONS. — Toute fraction pouvant, d’apres le procédé que nous venons d’indiquer, être représentée par une ligne , tout ce que nous avons dit sur les opérations relatives aux lignes est immédiatement applicable aux fractions.

Addition et soustraction. — On ramène toutes les fractions à avoir

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ET NOTIONS DE CALCUL GRAPHIQUE, un dénominateur donné d (§ 12). La somme ou la difï'érence des lignes représentant les numérateurs sera égale à la somme ou à la différence des fractions données, si le dénominateur commun a été pris égal à l’unité. Parfois il est commode de prendre pour d un nombre déterminé et entier d'unités. Dans ce cas, on devra diviser la ligne représentant la somme ou la différence des numérateurs des fractions réduites en autant de parties égales que d contient d’unités, pour avoir la somme ou la différence des fractions données.

D'autres fois, il peut être plus commode, au point de vue graphique, de prendre d égal à une partie - de l’unité, i étant un nombre entier. Dans ce cas, la ligne représentant la somme ou la différence des fractions données sera égale à i fois celle qui représente la somme ou la différence des numérateurs des fractions réduites.

Multiplication et division. — On peut faire la multiplication graphique des fractions aussi facilement que celle des lignes.

Soient les fractions données. Sur une ligne OX

[Jig. 5, PI. II) on porte, à partir du point O, des longueurs égales à leurs dénominateurs 6,, £,, b , ; à l’extrémité de chacune de ces longueurs, on élèvera une perpendiculaire à OX égale au numérateur de la fraction correspondante. On joindra les extrémités de ces perpendiculaires au point O, de façon à déterminer les lignes OL,, OL,, OL,, .... On portera ensuite sur OX une longueur 01 = 1; on élèvera la perpendiculaire 1/, = r, jusqu'à la rencontre de la ligne OL, ; on portera cette longueur j , sur OX, à partir de O, de façon à obtenir la ligne 02.; on élèvera en 2 une perpendiculaire A OX jusqu’à sa rencontre avec OL, , ce qui donnera 22' =J) « ; on continuera de la sorte et l’on formera, comme au § 10, des lignes

et l’on aura

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et ainsi de suite. En multipliant membre à membre les deux premières équations, ou les trois premières, etc., on trouvera

cl ainsi de suite.

Le quotient de deux fractions étant le produit de la fraction dividende par la fraction diviseur renversée, la division des fractions se ramène immédiatement à leur multiplication.

Élévation aux puissances d’une fraction. — On a très -souvent à élever des fractions aux puissances ou à construire des équations de la forme

où a , b, d sont des lignes données et y une ligne à déterminer; pour

• fl*

cela, on devra commencer par construire la fraction — • A cet eilèt,

on tracera (Jig- (ibis, PI. JJ) deux lignes OX, OY se coupant sous un angle quelconque. Du point O, on décrira un arc de cercle ad de rayon a et un arc de cercle bb' de rayon b. On mènera les antiparallèles ab' et bd, puis on prendra sur l'une des deux lignes tracées, sur OY par exemple, une longueur arbitraire Ol ; on mènera les lignes 1 1', t'a, a a', a'3,. . . alternativement parallèles à bd et ab'. On aura

Oi 1 Ofl' a

Tu ~~ oT ~ù"

O a On a

Ôi ~ ~Ôb'~V

O V O a' a ÔT ~ Ôé ~ b'

et ainsi de suite.

Si l’on multiplie membre à membre les membres extrêmes des deux premières de ces relations, le terme Oi' disparaîtra, et il \ iendra

ÔT ~ \b) = T'‘

Digiti7Pd

Si l’on multiplie les trois premières, les facteurs Oi' et Oa disparaîtront, et il viendra

O ■>' fa\' a ’

"ÔT — V. * 7

et ainsi de suite.

On aura donc construit ainsi une fraction ayant un dénominateur donné Oi et représentant une puissance quelconque de la frac-

• a Uon -7 • b

Si Oi = i, on aura représenté

par une ligne.

Si Oi est le dénominateur du premier membre de l’équation cidessus (A), le numérateur Oa ou Oa', . . . sera la ligne y, représentant l’inconnue de cette équation.