EXTRACTION DES RACINES. EMPLOI DES COURBES L06ARITHMI&UES

L’extraction de la racine carrée d’une ligne l est une opération connue. L’un des moyens usités consiste à porter (Jig . 8, PI. Il) sur une ligne XX', d’une part Ox, = i , d’autre part Ox, = /; à construire un demi-cercle sur x„ x, comme diamètre : la perpendiculaire élevée en O sur x 0 x,, jusqu’à la rencontre de la demicirconférence, est la racine carrée cherchée.

Mais, dès qu’il s’agit d’extraire une racine d’ordre plus élevé, on sait que la règle et le compas ne suffisent plus; on peut alors employer graphiquement les logarithmes.

11 faut pour cela construire une courbe qui tienne lieu des Tables de logarithmes.

Supposons que sur une ligne OX (Jig . 9, PI. II) on porte des longueurs Ox,, Ox„ Ox, ,. . ., que nous appellerons des abscisses, ces longueurs représentant à une échelle quelconque des nombres très-rapprochés; qu'aux points x 0 , x,, x,,. . . on élève des perpendiculaires que nous appellerons des ordonnées, représentant à la même échelle les logaritlimcs de ces nombres; qu’on joigne les

POLYGONE DES LIGNES extrémités r,, J,, j'„. . . de ces perpendiculaires par une ligne continue. Cette ligne tiendra lieu d’une Table de logarithmes.

Pour faire le produit de n lignes x,, x„ x,,. . il suffira de les porter sur OX à partir de O, de faire la somme des ordonnées correspondantes Ji, /«, J,,. . et de chercher quelle est la longueur d’abscisse OX qui correspond à l’ordonnée u — Ji -hjt ■+■ —

Cette opération sera infiniment plus rapide que la recherche correspondante dans une Table de logarithmes, surtout si l’on a eu soin de tracer la courbe CE sur du papier quadrillé (*).

Si l’on a à élever x, à une puissance ri ' m ', il suffira de porter sur OX une longueur égale à x,, de prendre l’ordonnée correspondante >'i et de chercher l’abscisse OX répondant à une ordonnée égale à n fois y,.

Vcut-ou, au contraire, extraire la racine n'""‘ de x, , ce sera l’abscisse répondant à une ordonnée égale à ^ qu’il faudra chercher.

OPÉRATIONS SUR LES SÜRTACES. — Pour effectuer sur les surfaces les opérations qui précèdent, il faut pouvoir aussi les représenter par des ligues. JNous indiquerons sommairement les procédés trèsélémentaires qui donnent ce résultat.

1° Triangle. — Soit (Jig . 10, PL 11) ABC un triangle. On peut toujours construire un triangle équivalent et ayant une base donnée BK. Il suffit pour cela, par le point C, de mener une parallèle à RA. Si A' est le point où cette ligne rencontre AB, il est facile de voir que les deux triangles ABC et BA'K sont équivalents; car, si de l’un et de l’autre on retranche l’aire commune BCA', il reste les deux triangles A'CR et A'CA équivalents comme ayant même base A'C et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base.

Le triangle BA'K ayant une base BK choisie arbitrairement, si

(*) On se sert plu» habituellement, non de la courl>e exponentielle CE, mais de ce qu'on appelle la spirale logarithmique. 11 nous semble que la spirale doit être d’un usage infiniment moins commode en ce qu’elle oblige à des additions, multiplications et divisions, d'une part, d’angles et, d’autre part, de lignes divergentes, pour lesquelles on ne peut pas mettre à profit le papier quadrillé qui les donne en quelque sorte toutes faites.

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l’on a pris cette base égale à deux unités , la hauteur h de ce triangle représentera son aire, et par suite l’aire du triangle donné ABC.

2° Parallélogramme. — Se déduit immédiatement du triangle.

3» Quadrilatère quelconque. — Soit ( fig . 11, PL II) ABCD un quadrilatère. Menons la diagonale BD et par le point C une parallèle CC| à cette diagonale jusqu'à sa rencontre en C, avec le côté AB ou son prolongement.

Le triangle AC, D est équivalent au quadrilatère donné; car, si de chacune de ces deux surfaces on retranche l’aire ADB qui leur est commune, il reste les deux triangles CDB cl C, DB, qui sont équivalents comme ayant même base DB et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base; et comme nous savons représenter un triangle par une ligne, nous saurons résoudre la même question pour un quadrilatère.

4° Polygone quelconque. — Le même procédé permet de ramener un polygone quelconque à un triangle équivalent, et par suite de le représenter par une ligne.

Soit le polygone ABDEFG ( Jig .12, PI. II).

1) On éliminera le sommet G en menant FF, parallèle à la diagonale EG et substituant le sommet F, à F.

2 ) On éliminera le sommet F, en menant EE, parallèle à DF, et substituant le sommet E, à E.

3) On éliminera le sommet E, en menant DD, parallèle à BE, et substituant le sommet D, à D.

Le triangle ABÜ, sera équivalent au polygone de six côtés donné ; et comme on peut ensuite représenter l’aire de ce triangle par une droite, le problème se trouve résolu pour un polygone quelconque.

Si l’on avait à trouver l’aire d’une courbe fermée plus ou moins irrégulière, on substituerait à la courbe un polygone inscrit d'un grand nombre de côtés et l’aire de ce polygone pourrait être approximativement prise pour l’aire cherchée.

HISTBUME1TTS DE CALCUL. — Au calcul graphique se rattachent aussi les instruments à l’aide desquels ou fait les calculs.