CHAPITRE III

DÉFINITION DES FIGURES OUI FONT L'OBJET DE CE CHAPITRE. — Considérons une figure formée de droites reliant des points distribués d une manière quelconque dans un plan ; ces points sont ce que nous appellerons les sommets de la figure. Toute portion de droite comprise entre deux sommets sera appelée un côté de la figure. Enfin nous désignerons par le mot nœud l’ensemble des côtés partant d’un même sommet.

Nous ne considérerons que des figures satisfaisant aux conditions suivantes :

1 0 Qu’on puisse les décomposer en un certain nombre de polygones fermés tels, que chaque côté de la figure fasse partie de deux de ces polygones et de deux seulement ;

a° Que de chaque sommet partent au moins trois lignes ; en d'autres termes, que chaque nceud se compose d'au moins trois côlcs ;

3° Que chaque côté passe au moins par deux sommets.

Nous pouvons d'ailleurs, sans restreindre en rien la forme d’une figure, admettre que chacun de ses côtés passe par deux sommets seulement. Il suffira pour cela, si 1 sommets sont placés sur une même ligne droite, de regarder les i — 1 segments qu’ils déterminent sur cette droite comme autant de côtés distincts de la figure.

Exemples. — La Jîg. 15 (PL III) est formée d’un polygone fermé de q côtés (q — 6) dont les sommets sont unis à un point O. Cette figure comprend 2 q côtés passant chacun par deux sommets et par deux seulement; de chaque sommet partent au moins trois lignes; enfin elle est décomposable en q- 1 - 1 polygones fermés, savoir : le polygone donné de q côtés et les q triangles ayant leurs sommets en O; enfin chaque côté fait partie de deux de ces polygones et de deux seulement.

La fig. 16 (PI. V") est formée il’un polygone fermé de q côtés ( q = 6 ) dont les sommets sont unis à deux points O et CF. Elle est déeomposable en iq polygones fermés tels, que cliaque côté fasse partie de deux d’entre eux et de deux seulement, à savoir : q triangles ayant un sommet commun en O, et q triangles ayant un sommet commun en CF.

Ou voit donc que, quand on énumérera les polygones fermés de cette figure, on ne devra pas tenir compte du polygone contour, mais seulement des 2 q triangles dont nous venons de parler. Si l’on faisait entrer en ligne de compte le polygone contour, chacun de ses côtés ferait partie de trois polygones fermés, savoir : deux triangles et le polygone contour, et la figure envisagée ainsi ne satisferait plus aux conditions spécifiées plus haut.

La Jig. lfi (PI. V) comprend deux potygones fermés. d’un même nombre q de côtés (q — 6 ), dont Ws sommets sont unis deux à deux par q lignes 1 1', 2 2*, ... . De chaque sommet partent trois lignes, soit le minimum de ce que nous admettons: et la figure peut être décomposée en q H- a polygones fermés (q quadrilatères et deux polygones de q côtés), chaque côté faisant partie de deux de ces polygones et de deux seulement.

Enfin la fig. 19 { Pl . V ) rentre également dans la catégorie de celles que nous considérons. Seulement, trois sommets «, A, c étant en ligne droite, la ligne ac comprend deux côtés ah et bc\ de même, la ligne dg comprend trois côtés distincts c/e, effg.

Cette figure se décompose en treize polygones fermés, à sasoir : cinq triangles, un polygone de sept côtés et sept quadrilatères.

RELATION GÉNÉRALE ENTRE LE NOMBRE DES SOMMETS, LE NOMBRE DES COTÉS ET LE NOMBRE DES POLYGONES FERMÉS D'UNE FIGURE. — Théorème. — Dans toute figure de la nature de celles qui viennent d’être définies, l’excès de la somme du nombre des nœuds et du nombre des polygones fermés sur le nombre des côtés est constant et égal au nombre 2 .

Ainsi soient

m le nombre des côtés d’une figure ;

30 FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. n le nombre des nœuds ou, ce qui revient au même, le nombre des

sommets ;

p le nombre des polygones fermés.

Il s'agit de montrer qu'on a, quelle que soit la figure,

Je dis d’abord que le premier membre de cette relation est constant, c’est-à-dire indépendant de la figure considérée et du nombre de ses éléments : sommets, côtés et polygones fermés.

En effet, prenons une figure quelconque; traçons-y une nouvelle ligne, en sorte que le nombre m des côtés augmente d’une unité. Je dis que la somme p n augmentera aussi d une unité, en sorte que la différence p -t- n — m n’aura pas changé. En effet, si la ligne nouvellement tracée va rejoindre un sommet nouveau, c’est-àdire non encore relié à la figure, le nombre des polygones fermés p ne change pas, mais le nombre « des sommets sera augmenté d’une unité.

Si la ligne nouvelle unit deux sommets appartenant déjà l’un et l’autre à la figure, alors ou elle fermera un polygone non fermé, ou elle divisera un polvgonc fermé en deux. Dans les deux cas, elle augmentera d’une unité le nombre p des polygones fermés, tandis que le nombre n des sommets u’aura pas changé.

Ainsi le premier membre de l’équation à démontrer ne peut pas être modifié par l’introduction de lignes nouvelles; par la môme raison, il ne peut pas être modifié par la suppression de lignes (en tant que cette suppression n’empêche pas la figure de satisfaire aux conditions admises dans la définition du § 26). Or, par l’addition et la suppression d’un nombre convenable de ligues, on peut toujours passer d’une figure ayant n sommets, p polygones fermés et m côtés à une autre figure pour laquelle ces mômes éléments sont représentés par les lettres n', p\ /«', et l’on aura

p -F- n — m — p' -t- n' — m' = const.

Pour avoir la valeur de cette constante, il suffira donc de la cal-

(*) C'est la même relation que celle établie par Euler, entre le nombre des faces, le nombre des sommets et le nombre des arêtes d’un polyèdre. Nous trouverons par la suite beaucoup d’analogies entre les ligures que nous étudions et les polyèdres.

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. 31 culer pour une figure particulière. La figure la plus simple qui satisfasse aux conditions admises au § 20 est celle (Jig. 13, PI. III) formée par les six lignes qui joignent quatre points d'un plan.

Et comme, pour cette figure, on a

d'où

cette relation existe pour toutes les figures possibles.

11 est facile de la vérifier pour les diverses figures que nous avons considérées.

Ainsi la Jig. 15 (PI. III), formée d’un polygone fermé de q cotés et de rayons issus d’un point O, donne

d'où

La Jig. 16 (PI. V), formée d'un polygone de q cotés et de rayons issus de O et de ty, donne

d’où

p + n — ra=; 2 j + (5 + i) — Zq — 1 .

La Jig. 16 (PI. V) donne

m=z 3 q, 11 — iq , p—q- 1-2,

d’où

p -h II — ni = (q -+- 2) ■+- iq — 3 j = 2.

Enfin la fig. 19 (PI. f ) donne

ni —■ 2 5 . 11 — 4 n 1 4 . p — > 3 ,

d’où

-p-f II ’JL. III i. •

i 1 fi — /h = 2,

DIVISION DES FIGURES EN FIGURES DÉFORMABLES, FIGURES STRICTEMENT INDÉFORMABLES ET FIGURES A LIGNES SURABONDANTES. — Nous diviserons les ligures que nous aurons à étudier d’abord en deux classes : ligures déformables, c’est-à-dire dont les angles peuvent varier d’une inllnité de manières, les longueurs de leurs côtés demeurant invariables; et figures indéformables, c’est-à-dire dont les angles sont déterminés lorsque les longueurs des côtés sont données.

Les figures indéformables comprennent elles-mêmes deux catégories qu’il importe de distinguer : celles qui sont telles qu’elles cessent d’être indéformables lorsqu’on supprime un de leurs côtés seront dites strictement indéformables, ou parfois seulement indéformables; celles, au contraire, qui ne perdent pas la qualité d’être indéformables lorsqu’on supprime un ou plusieurs de leurs côtés, seront dites à ligues surabondantes, parce qu’elles renferment plus de lignes qu'il n’est strictement nécessaire pour les définir.

Théorème. — Luc figure est en général déformable, indéformable ou à lignes surabondantes, suivant t/ue le nombre de ses côtés est inférieur, égal ou supérieur au double du nombre de ses sommets diminué de 3 unités.

Ainsi, si met n désignent, comme précédemment, le nombre des côtés et le nombre des sommets d’une figure, je dis que

Les figures déformables sont caractérisées par m < ?. n — 3 ;

Les figures strictement indéformables, par m — 2 n — 3 :

Les figures à lignes surabondantes, par ru :> a — 3.

En effet, une figure strictement indéformable contient tout juste assez de côtés pour que, les longueurs de ces côtés étant données, elle puisse être construite.

Pour la tracer, portons sur une ligne quelconque une longueur AB égale à l’un des côtés donnés. : A et B seront deux sommets; tous les autres sommets étant, par hypothèse, déterminés et stricte-

ment déterminés par la connaissance des divers côtés, seront nécessairement définis par l’intersection de deux de ces cotés et de deux seulement. Donc, à chacun des n — a sommets autres que ceux A et B, répondront deux côtés, en sorte que le nombre total des côtés de la figure, autres que le côté AB, sera de

et le nombre total m des côtés, y compris celui AB, sera m — in — 4 H- 1 — 2 « — 3.

Maintenant, étant donnée une figure pour laquelle cette relation est satisfaite, c’est-à-dire une figure strictement déterminée ou strictement indéformable, traçons-y k nouveaux côtés; il est clair que ces k lignes seront surabondantes, et leurs longueurs pourront être exprimées au moyen des m premiers côtés de la figure, puisque ces m côtés suffisent à la définir.

Ainsi, entre les longueurs des côtés d'une figure pour laquelle on a

m : -in — 3 -t- *,

il existe gékéralement k relations géométriques nécessaires.

Si, au contraire, d’une figure strictement indéformable et pour laquelle la relation m — i.n — 3 est par conséquent satisfaite, on supprimait k lignes, alors le problème consistant à construire la ligure restante, connaissant les longueurs de ses m — k côtés, serait indéterminé, c’est-à-dire qu’il existerait une infinité de figures admettant les côtés donnés et ayant toutes des angles différents; en d'autres termes, la figure serait déformable et, pour la rendre strictement indéformable.’ il faudrait la soumettre à k conditions nouvelles, par exemple, ÿ tracer k nouveaux côtés, formant de nouveaux liens entre ses divers sommets.

On peut résumer toute cette discussion ainsi : m étant le nombre des côtés et n le nombre des noeuds d’une figure, si k désigne un nombre entier positif ou négatif quelconque, on peut toujours poser

Il arrive en général :

i° Que la ligure esl déformable si k est négatif; et, pour qu'elle devienne strictement indéformable, il faut l’assujettir à k conditions;

2 ° Que la figure esl strictement indéformable si k — o';

3° Que la ligure est indéformable et contient À lignes surabondantes , c’est-à-dire qu'il existe, entre les longueurs de ses côtés, k relations nécessaires si k est positif.

Exemples. — Dans la Jig. 15 (PI. III), formée d’un polygone de q côtés (q = 6 ) et de rayons issus du point O, on a

d’où

m — iq, n — q- 1 - I, m — in — 3 H- i.

Cette ligure contient donc, quel que soit q, une ligne surabondante.

On le vérifie aisément; car, si l’on se donne tous les rayons et tous les côtés du polygone contour sauf un, on a tout juste les données nécessaires pour construire la figure.

La Jig. 16 (PI. V) donne

d’où

c’est-à-dire qu’elle contient q — i lignes surabondantes. On voit, en ellet, que la figure est déterminée si l’on se donne : i° tous les rayons issus de O; 2 ° tous les côtés du polygone contour sauf un ; 3° deux des q rayons issus de O'.

Elle contient donc q — 2 rayons et un côté du polygone, soit en tout q — i côtés surabondants.

Dans la Jig. 16 (PI. F), quel que soit le nombre q des côtés des deux polygones fermés : 123 4..., 1' 2' 3 '4' . . . , ou a

m—3q , n=lq,

d’où

m = in — 3 — (q — 3).

Donc, si c/>3 la figure est déformable; et, pour la rendre tout juste indéformable, il faudrait y tracer q — 3 lignes nouvelles. Sur

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. 3." la figure elle-même où q = 6, le nombre des lignes nouvelles à tracer serait q — 3 = 3.

La Jig. 19 {PL V) donne

d’où

m — an — 3.

Elle doit donc être strictement indéformable, c’est-à-dire contenir tout juste assez de lignes pour pouvoir être construite : c’est ce qu’il est, en eflet, aisé de vérifier.

DÉFIHITIOH DES FIGURES RÉCIPROQUES EH GÉHÉRAL. — On appelle, en Géométrie, figures réciproques deux figures telles, que la première puisse se déduire de la seconde de la même manière que la seconde se déduit de la première.

L’exemple le plus simple et le plus connu de figures réciproques est celui qui résulte de la transformation dite par rayons vecteurs réciproques. Soit {Jig. 18, PL V) une ligne plane ou gauche M.N. Joignons-en tous les points m à un point fixe O; les lignes Ont sont ce qu’on appelle des rayons vecteurs. Prenons sur chaque rayon vecteur une longueur Om,, telle que le produit

(n) Om X Om, — a' — const.

Le lieu des points m, formera une nouvelle ligne M, N,.

Maintenant transformons de la même manière la ligne M, -N,, c’est-à-dire prenons sur chaque rayon Om, prolongé au besoin une longueur Om,, telle que le produit

(6) Om, XOm, = a’.

Nous aurons un nouveau lieu formé par les points m,; mais des relations {a) et {b) on déduit évidemment

O m, — Om,

c’est-à-dire que, par la seconde transformation, on retombe sur la

3 ii FIGURES RÉQPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, ligne donnée. Ces deux lignes forment donc des figures réciproques. L'une d’elles est dite la transformée de l’autre par rayons recteurs réciproques.

On peut transformer de même les surfaces.

Une autre catégorie de figures réciproques, très-usitée eu Géométrie et qui a infiniment plus d’analogie avec celle que nous aurons à considérer ici, est connue sous le nom de figures polaires réciproques. La théorie des figures polaires réciproques a été donnée, en 1822, par Poncelet, dans son Traité des propriétés projectives. Kn 1828, M. Chasles en a fait une application très-remarquable qu’il a appelée la transformation parabolique. Nous montrerons plus loin, (tour ceux de nos lecteurs qui sont au fait de ces théories, que la théorie des figures de la Statique graphique se déduit, d’une façon en quelque sorte immédiate, de la transformation parabolique de M. Chasles.

DÉrraiTION DES FIGURES RÉCIPROQUES USITÉES EH STATIQUE GRAPHIQUE.

— Deux ligures de la nature de celles définies au § 2 G seront dites, par nous, réciproques lorsqu’elles satisferont aux conditions suivantes :

i° Qu’à chaque côté de l’une d’elles corresponde un côté de l’autre, et un seul;

2° Que deux cotés correspondants soient dirigés suivant des ligues parallèles;

3 ° Qu’à chaque système de lignes concourantes (à chaque mrud) de l’une des figures correspondent dans l’autre les côtés d’un polygone fermé.

Remarque J. — La condition a° peut, sans inconvénient, être remplacée par celle-ci : que deux côtés corres|>ondants soient dirigés suivant des lignes formant entre elles un angle constant quelconque. 11 est évident, en effet, que, quand toutes les lignes d une ligure font un même angle avec les lignes correspondantes de l’autre, il suffit de faire tourner l’une d’elles de cet angle pour rendre deux lignes correspondantes quelconques parallèles entre elles.

Habituellement nous considérerons les figures réciproques dans

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, des positions telles, que les lignes correspondantes soient parallèles; mais parfois il nous sera plus commode de les supposer placées de façon que ces lignes soient deux à deux dans des directions perpendiculaires. C’est ce que nous avons déjà fait, au § 18, dans lu cas particulier de la figure formée par les six lignes qui joignent quatre points.

Remarque II. — On observera que, dans la définition de la figure réciproque d’une figure donnée, il n’entre aucune condition métrique, c’est-à-dire aucune condition qui fixe à priori les grandeurs relatives de deux lignes correspondantes.

11 résulte de là que, si deux figures sont réciproques, toutes les ligures semblables à l’une d'elles sont aussi des figures réciproques de l’autre. A ce point de vue, on peut dire que, quand une figure admet une figure réciproque, elle en admet par cela même une infinité d'autres issues de celle-là par voie de similitude. Mais comme toutes ces figures ne dilfèrcnt entre elles que par iunité que l’on a choisie pour mesurer les grandeurs de leurs lignes, ou si l’on veut, par l’échelle à laquelle elles sont tracées, elles ne constitueront pour nous qu'une solution unique; et quand nous dirons qu’une figure donnée admet deux ou plusieurs ou une infinité de figures réciproques, il faudra entendre par là deux ou plusieurs ou une infinité de figures non semblables entre elles.

UNE FIGURE DONNÉE N’ADMET PAS NÉCESSAIREMENT UNE FIGURE RÉCI- PROQUE. — Une figure composée de lignes reliant entre elles des points distribués d’une manière quelconque dans un plan n’admet pas nécessairement une figure réciproque. Il est facile de voir que les conditions restrictives que nous avons admises au § 20, en définissant les figures dont on s’occupe ici, sont des conditions nécessaires pour qu’elles admettent des figures réciproques.

En effet, un côté quelconque d'une figure, celui, par exemple, qui est placé entre deux sommets A et B, aura nécessairement pour correspondant dans la figure réciproque, si elle existe, un côté commun à deux polygones fermés; car, puisque la ligne AB appartient au faisceau de lignes concourant en A, sa ligne réciproque fera partie du polygone fermé correspondant au nœud A; par la

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, même raison, clic fera partie <lu polygone fermé répondant au noeud 15. Elle sera donc bien commune à ces deux polygones. S’il y avait un troisième sommet sur le côté AB, le côté correspondant ferait partie de trois polygones fermés ; mais nous avons vu au § 26 que, quelle que soit une ligure donnée (F), on peut toujours convenir qu’un côté ne passera que par deux sommets; d’où il résulte que dans la figure réciproque (F,) un côté quelconque fera partie de deux polygones fermés et de deux seulement; mais, comme la figure (F) est de même réciproque de (F,), il s’ensuit que dans cette figure donnée (F) chaque côté doit également faire partie de deux polygones fermés et de deux seulement. Ainsi celte condition, que nous nous sommes imposée au début, doit être nécessairement remplie par toute ligure pour qu’elle admette une figure réciproque.

Maintenant, puisque, dans toute figure donnée (F), un côté fait nécessairement partie de deux polygones fermés, et qu’un polygone fermé ne peut avoir moins de trois côtés, il s’ensuit qu’en tout sommet de la figure réciproque (F,) doivent concourir au moins trois côtés ; et, à cause de la réciprocité des figures ( F) et ( F, ), cette même condition doit être remplie par la figure donnée. Ainsi toutes les conditions que nous nous sommes imposées au commencement de ce Chapitre sont nécessaires à l’existence des figures réciproques; mais ces conditions ne sont pas en général suffisantes. C’est ce que nous allons d’abord montrer sur des exemples simples avant de l’établir d’une manière générale.

Prenons (PI. III, ftg. 13) la figure très-simple formée par les six lignes 1, 2, 3, 4, o et 6 qui joignent quatre points deux à deux. Pour construire sa réciproque, nous remarquerons d’abord que le triangle formé par les lignes 1 , 2, 3 aura pour figure correspondante un nœud. Doue, à partir d’un point quelconque d' du plan, nous mènerons (fig. i3) trois lignes indéfinies i, a, 3 respectivement parallèles aux trois côtés de ce triangle. Maintenant les lignes 2, S, 1 , formant un nœud, auront pour réciproque un polygone fermé de trois côtés, c’est-à-dire un triangle. Nous avons les directions de deux côtés ■ et a de ce triangle; on devra donc inscrire entre ces deux lignes une droite 5 de longueur d’ailleurs quelconque, parallèle à o. La longueur de cette droite 5 est arbitraire, parce que, comme nous l’avous déjà fait observer,

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, la définition dos figures réciproques ne comporte aucune condition se rapportant aux longueurs relatives des côtés correspondants.

Les trois lignes 2, 6, 3 formant de même un nœud, les trois lignes correspondantes doivent former un triangle. De ce triangle nous connaissons le côté a en grandeur et en direction, le côté 3 en direction. Donc, pour avoir la ligne correspondant à G, il nous sufiira, par l’extrémité du côté a, de conduire une ligne 6 parallèle à G jusqu’à la rencontre de 3.

Enfin, de même la ligne 4 correspondant à 4 devra former un triangle avec les côtés i et 3. Donc, pour avoir 4, nous devrons joindre les deux extrémités l'une et l'autre connues des côtés i et 3. Mais, pour que la figure ainsi tracée soit ellèctivement réciproque de la proposée, il faut que cette ligne 4? qui se trouve complètement déterminée par les cinq autres lignes de la figure, soit parallèle au côté 4 auquel elle doit correspondre.

Rien ne prouve à priori qu’il en soit ainsi.

Cela montre bien que le tracé de la figure réciproque d’une figure donnée peut être sujet à des conditions. Dans l’exemple particulier qui nous occupe, nous savons (§ 18) que le côté 4 est bien réellement parallèle à 4, c’est-à-dire que la ligure réciproque de la proposée existe.

Considérons encore (fig. 1 5, PI. III) une Ggurc formée par un polygone fermé de // côtés ( q = 6), et par les rayons joignant les sommets du polygone à un point C.

Pour construire la réciproque de cette figure, nous remarquerons qu’au polygone fermé donné doit corres|>ondro un nœud; donc, d’un point arbitraire O (J‘g- lo , nous mènerons des rayons

respectivement parallèles aux côtés

du polygone donné.

Maintenant, en chacun des nœuds tels que m placés aux sommets de ce dentier polygone, concourent trois lignes. Les figures réciproques de ces nœuds doivent être des polygones fermés de trois côtés, c’est-à-dire des triangles. Nous connaissons déjà les lignes réciproques de deux des trois lignes aboutissant en un

nœud m, à savoir : les lignes réciproques 01 et 02 des côtés t et a du polygone donné. Il suffira donc de construire le troisième ; pour cela, partant d’un point 1, on mènera successivement les côtés

respectivement parallèles aux rayons

Ci a, Ca3, C34, . . •

de la figure donnée; mais, pour que la ligure réciproque existe, il faut que le polygone 123 4,... se ferme, puisqu’il est la réciproque du nœud C; or cela constitue une condition. Nous avons v u ( § 25 , Rem. 1 qu elle est toujours remplie, de sorte qu’ici encore la figure réciproque existe, et la remarque du § 25 peut être énoncée ainsi : Une figure formée par un polygone fermé d’un nombre quelconque de côtés et de rayons, issus d'un point et aboutissant aujc sommets de ce polygone, admet toujours une figure réciproque cl une seule.

Voici maintenant des exemples de figures n’admettant pas de figures réciproques ou en admettant une infinité.

Soit (Jig- 17, PI- Il ) une figure formée i° de deux polygones fermés

8 1 2345C78 et

que nous appellerons, pour abréger, les polygones A et A'; a° des lignes

réunissant deux à deux les sommets de ces polygones.

Essayons de construire la figure réciproque.

Nous commencerons par construire le nœud répondant au polygone fermé A. Pour cela, d’un point quelconque O (fg. 17), nous mènerons des lignes indéfinies parallèles aux côtés de ce polygone.

Nous construirons ensuite les polygones fermés répondant aux nœuds

Chacun de ces nœuds étant formé de trois lignes, les polygones fermés qui leur correspondent seront des triangles. Deux côtés de

ces triangles seront deux lignes consécutives issues de O; donc pour avoir ces triangles, à partir d’un point a, pris arbitrairement sur l’une des lignes issues de O, par exemple, sur celle qui répond au côté 81 , nous mènerons des lignes

i, a, 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , respectivement parallèles à

nous obtiendrons ainsi un polygone qui devra nécessairement se fermer pour qu’au dernier nœud 8 ', formé par les lignes

réponde le triangle formé par celles

Or celte condition ne sera pas remplie si la figure 17 a été constituée au hasard. On pourra, dans cette figure, tracer arbitrairement le polygone A; puis, encore arbitrairement, sept des huit lignes ! 1', 22', 33',...; mais la huitième 88 ' sera déterminée, puisqu’elle devra passer par le sommet 8 et être parallèle à la ligue 8 qui ferme le polygone tracé sur la figure 17 . Cela revient à dire (§ 21 ) qu’elle doit coïncider avec la résultante des sept premières lignes.

Donc, voilà une première condition sans laquelle la figure donnée 17 n’admettra pas de figure réciproque.

Supposons-la remplie ; il nous reste à tracer les polygones fermés réciproques des nœuds

Chacun de ces nœuds comprenant trois lignes, les polygones réciproques seront des triangles.

Nous connaissons un côté de chacun de ces triangles, à savoir : les lignes 1 , 2 , 3 ,... répondant à l'1 , 2'2, 3'3, ...; pour tracer le triangle répondant au nœud 1 ', on devra donc, par le point a, mener une ligne parallèle à A' l' et par le point 1 2 une parallèle à l^. L’intersection de ces deux lignes déterminera un point O'.

Passons au nœud 2'. Nous connaissons deux côtés du triangle réciproque de ce nœud, à savoir :

Le côté a, répondant à 2'2,

Et le côté O 1 1 a répondant à l'2'; donc le troisième côté du triangle est déterminé : c’est la ligne (y a 3 ; et le côté 2’ 3' doit être parallèle à cette ligne.

On verrait de même que les côtés suivants du polygone A' devront tous être parallèles aux rayons issus de O' ; donc ce polygone ne peut pas être pris au hasard. Deux de ses côtés seulement sont arbitraires; les lignes réciproques de ces deux côtés déterminent un point O ' et tous les autres côtés sont déterminés, puisqu'ils doivent être parallèles aux rayons issus de O' cl que les sommets du polygone A' don eut être sur les lignes données 1 1', 22', 33',. . . .

On voit donc qu’en général la fig. 17 n’admet pas de figure réciproque; pour qu’elle en admette une, il faut s’imposer les conditions suivantes : i° le polygone A étant donné à volonté, ainsi que sept des huit lignes 1 1', 22',. .., la huitième doit être ' § 21 , H cm. J) la résultante des autres. Celle condition entraîne comme conséquence que le polygone A est un polygone funiculaire du système de lignes 1 1', 22',. . .; a 0 le polygone A' doit alors être un second polygone funiculaire de ce système de lignes.

Ces conditions peuvent s’exprimer plus simplement et sans av oir recours au polygone des lignes, en remarquant qu’un polygone A étant funiculaire, pour qu’un second polygone A' le soit aussi, il faut et il sullit que les points d’intersection des couples de côtés correspondants des deux polygones soient en ligne droite 20, Rem. II).

D’après cela, le polygone fermé \ et sept des huit lignes 1 1', 22',.. . étant donnés arbitrairement, ou tracera le polygone A' de façon que les points d’intersection de scs côtés avec les côtés correspondants de A soient placés sur une ligue droite quelconque ZZ, ; et alors la condition que la huitième ligne, joignant les sommets correspondants 8 eL 8' des deux polygones, soit dirigée suivant la résultante des sept autres se trouvera remplie d’clle-mèmc (§ 21 ).

Ainsi

Pour qu'une figure composée de deux poly gones fermés d'un même nombre de côtés dont les sommets sont placés sur des lignes données admette une figure réciproque, il faut et il suffit que les points d'intersection des côtés correspondants des deux poly -

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. gones (c’est-à-dirc des côtés compris entre les mêmes lignes) soient placés en ligne droite.

On peut enfin énoncer encore cette proposition plus simplement ainsi :

Pour qu'une figure, composée comme il vient d'être dit, admette une figure réciproque, il faut et il suffit quelle puisse être considérée comme la projection d'un polj edre à faces planes.

Car considérons deux plans P et P'; dans le dernier, traçons un polygone fermé A'. Par chacun des côtés de ce polygone, faisons passer un plan quelconque; ees divers plans déterminent sur P un second polygone fermé A. Ces plans pourront d’ailleurs être regardés comme formant la surface latérale d’un polyèdre dont les plans contenant les polygones A. et X 1 seraient les bases. Les {joints d’intersection des couples de côtés correspondants des polygones A et A 7 sont évidemment sur une même ligne droite, à savoir : sur la ligne d’intersection des plans P et P'; donc, si l’on projette un tel polyèdre sur un plan quelconque, on aura une ligure remplissant les conditions voulues pour admettre une figure réciproque; et inversement toute ligure de la nature de celles dont nous nous occupons ici susceptible d’admettre une ligure réciproque peut être regardée comme la projection d’un polyèdre composé, comme il vient d’ètre dit.

Nous venons de voir des exemples de ligures n’admettant pas de (igure réciproque ou n’en admettant qu’une.

Si, au lieu de partir de la ligure 17 qui n’admet la réciproque 17 que sous certaines conditions, on parlait, au contraire, de cette dernière, on reconnaîtrait sans dillieulté qu’elle admet toujours une infinité de figures réciproques. Si, par exemple, conservant le polygone A, on substituait au polygone A' relatif au pôle O' tout autre polygone funiculaire relatif au même pôle, ayant par conséquent ses côtés parallèles ■aux côtés de A, on aurait une nouvelle figure distincte de celle 17, c’est-à-dirc non semblable à celle-ci et également réciproque de la ligure donnée 17 .

Ai

CONDITIONS GÉNÉRALES DE POSSIBIUTÉ, D'IMPOSSIBILITÉ OD D'INDÉ- TERMINATION DU PROBLÈME DE LA RECHERCHE DE LA FIGUBE RÉCIPROQUE D'UNE FIGURE DONNÉE. — Essayons maintenant de définir d’une manière générale les caractères auxquels on peut reconnaître si une figure donnée admet une figure réciproque, ou n’en admet pas, ou en admet une infinité.

Théorème. — Pour quunc figure admette une figure réciproque et une seule, il faut en général et il suffit quelle contienne une ligne surabondante.

Si elle n'en contient pas, c'est-à-dire si elle est strictement indéformable, elle ne peut admettre une figure réciproque que si elle satisfait à une condition .

Si elle est déformable, elle ne peut admettre de figure réciproque que si elle satisfait à autant de conditions plus une qu'il faudrait y tracer de lignes nouvelles pour la rendre strictement, indéformable.

Si, au contraire, elle contient k lignes surabondantes, elle admet une[k — 1 infinité de figures réciproques.

Pour qu’une figure soit réciproque d’une figure donnée, il faut i° que les deux figures ou diagrammes contiennent un même nombre de cètés; a“ qu’à chacun des nucuds du diagramme donné corresponde un polygone fermé du diagramme réciproque; 3°qu‘inversement à chacun des polygones fermés du diagramme donné corresponde un nœud du diagramme réciproque.

Je dis que cette dernière condition peut toujours être satisfaite quand il est possible de satisfaire aux deux premières. Supposons, eu ellét, qu’étant donnée une figure composée de m côtés on ail pu, par un moyen quelconque, déterminer m longueurs correspondant à ces côtés et telles qu’eu portant bout à bout celles qui répondent à un quelconque des nœuds du diagramme donné on obtienne un polygone fermé. Je dis qu’avec ces lignes disposées convenablement on pourra toujours former un diagramme réciproque du diagramme donné. Pour le démontrer, observons d’abord que, puisque, par hypothèse, les longueurs répondant à un quel-

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. 43 conque des nœuds du diagramme donné, étant portées bout à bout forment un polygone fermé, elles formeront un tel polygone, quel que soit l’ordre dans lequel elles se succéderont (§ 4, Rem.). Or soit (Jig. 20, PI. F) Rua quelconque des côtés d'une figure donnée aboutissant à deux sommets q et />, en chacun desquels concourent

un certain nombre d’autres côtés B, B,, B,,. . . , D, 1), , I),, Soient

«, A, A,, A,,...; </, </,, d„ d s ,... les longueurs correspondant aux côtés A, B, B,, B„. . ., D, D,, D,, . . . , longueurs calculées de façon que celles qui répondent aux deux nœuds q et p donnent, lorsqu’elles sont portées bout à bout, deux polygones fermés ayant le côté a en commun. Afin de disposer les côtés de ces polygones dans l’ordre voulu pour obtenir le diagramme réciproque, conduisons la ligne mn égale à la longueur a et parallèle à A, et cherchons d’abord à construire le polygone fermé répondant au nœud q. Pour

cela, à partir de ni il faudra porter l’une des longueursr/, </, , rf,, r/,,

Pour savoir laquelle il convient de porter d’abord, nous remarquerons que le côté A fait partie de deux polygones fermés (§ 2(i). Dans chacun de ces polygones entre nécessairement l’un des côtés autres que A, aboutissant en q. Soit D le côté qui fait partie de l’un des deux polygones où entre A. Nous porterons, à partir de m, d’abord la longueur d correspondant à ce côté D, parce que D et A faisant partie d’un même polygone du diagramme donné doivent, dans le diagramme réciproque, faire partie d’uu même nœud ni. Le côté 1), à son tour, d’après la délinition de nos figures, fait partie d’un second polygone autre que celui qui contient A. Dans le périmètre de ce polygone, entrera nécessairement un des côtés D„D„..., autres que A. Soit D, ce côté. Nous porterons d, au bout de d. De cette façon, les côtés D et D s , qui, dans le diagramme primitif, font partie d’un même polygone, concourront dans le diagramme réciproque en un même sommet i. A son tour, le côté I), fait partie d’un polygone autre que celui où entre D. Soit D, le second côté de ce polygone passant par le point q. Nous porterons d , au bout de d Enfin D, étant un côté du second des polygones dont fait partie A, nous porterons d , au bout de r/, ; nous obtiendrons ainsi le polygone ad c/ s </, d , a, disposé de manière que les deux côtés qui aboutissent à chacun de ses sommets correspondent à deux côtés d'un des polygones jermés du diagramme primitif.

Nous constituerons, d’après les mêmes règles, le second des

16 FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, polygones fermés dont fait partie a et qui répondra au nœud p. Si le côté B, par exemple, fait partie d’un même polygone avec A et I), la ligne b doit passer par l’intersection des lignes a et d. .Maintenant le côté B fait partie d’un second polygone, lequel contiendra B, ou B, (en supposant, pour fixer les idées, que les lignes B, B,, B, soient au nombre de trois seulement), admettons que ce soit B,. Nous porterons donc b , au bout de b. Enfin le côté B, faisant partie d’un second polygone où entre nécessairement B,, b t devra ôtre porté au bout de b, et aboutir au nœud n.

Nous avons ainsi pris un quelconque des côtés A d’une figure, et nous avons constitué les deux polygones fermés dont la longueur correspondante n fait partie, de telle façon qu’en chacun des sommets de ces polygones ne concourent que des droites appartenant à un meme polygone fermé du diagramme primitif. En faisant la infime opération successivement pour tous les côtés du diagramme primitif, on formera un nouveau diagramme dont tous les nœuds répondront à des polygones fermés; et comme, par hypothèse, les polygones fermés de ce diagramme réjiondenl à des nœuds, ce sera bien le diagramme réciproque du proposé.

Ainsi donc, pour constituer le diagramme réciproque d’une figure donnée, il sufiït de déterminer les m côtés de ce diagramme réciproque par la condition que les côtés répondant à chacun des « nœuds du diagramme primitif forment des polygones fermés. Or, pour que q lignes données en grandeur et en direction forment un polygone fermé, il faut qu’elles satisfassent à deux conditions, l’une d’elles exprimant que la ligne fermant le polygone formé par q — i d’entre elles a infime direction que la y 1 '"', l’autre qu’elle a mfime grandeur. Donc, pour que les n nœuds du diagramme donné fournissent, dans le diagramme réciproque, n polygones fermés, il faudra que les côtés du nouveau diagramme satisfassent à in conditions. Mais il est aisé de voir que ces an conditions se réduisent à an — 3 .

En ellct, exprimons d’abord que n — a des n sommets du diagramme primitif donnent, dans le diagramme réciproque, des polygones fermés .Construisons ces n — a polygones fermés en suivant les règles ci-dessus indiquées.

Soient ( fig . 20 et ao) q et p les deux sommets laissés de côté dans le diagramme primitif, et soit A la ligne qui les joint; la réci-

-nioitiipfi bv Goo gle

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. 17 proque, de cette ligne, dans le diagramme réciproque fera partie de deux polygones. Les côtés de l’un de ces polygones seront les lignes d, à,, d t , . . . , réciproques du nœud q. Toutes ces lignes feront partie des n — a polygones fermés que nous a\ ons tracés, en sorte que toutes se trouveront sur le diagramme formé par ces polygones; et, pour avoir le diagramme complet que nous cherchons, il suffira d’y tracer la ligne a répondant à A. Or cette ligne A fait partie de deux polygones : l’un contient, par exemple, les lignes I) et 15, l’autre les lignes 1), et B,. Donc la ligne a s’obtiendra en joignant le point d’intersection des lignes d et b à celui des lignes d , et b t . La ligne a se trouve ainsi complètement déterminée par le tracé des n — a polygones et le diagramme complété par l’addition de cette ligne sera réciproque du proposé, pourvu que cette ligne a soit parallèle à A. Or cela constitue une seule; condition. Mous avons précédemment exprimé que n — i polygones sont fermés, ce qui vaut a n — 4 conditions. Donc le nombre total de conditions pour que le diagramme proposé admette une ligure réciproque est de

Les an — 3 relations algébriques que l’on obtiendrait en exprimant ces conditions ont lieu entre les m longueurs inconnues des côtés du diagramme réciproque cherché, ou plutôt entre les m — i rapports de m — t de ces longueurs à l’une d’entre elles, puisque (§ 31) les longueurs absolues des côtés d’une figure réciproque ne sont pas définies, mais seulement leurs rapports à l’une d'entre elles.

De là résulte :

i° Que si

m — 1 = 2/1 — 3 ou m = 2 n — 3-t-i,

le problème est en général possible et déterminé. Or la dernière relation indique (§29) une figure contenant une ligne surabondante, ce qui établit la première partie de la proposition que nous avions en vue.

Maintenant si la figure donnée est strictement indéformable, c’est-à-dire si

m — m — 3 ou m — I — 2 « — 4>

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, nous aurons une équation tic plus que le nombre de nos inconnues et le problème sera impossible, à moins qu’une de ces équations soit satisfaite d’ellc-mèmc en vertu des autres, ce qui exige que la figure donnée ne soit pas quelconque, qu elle satisfasse à une certaine condition.

Si la figure est déformable, c’est-à-dire si ni 2 n — 3 — k, k étant un nombre positif, ou

m — i — in — 3 — (X-r-i),

nous aurons A -+- 1 équations de trop, et la figure donnée n’admettra une réciproque que si elle satisfait à A -H t conditions.

Si, au contraire, la figure contient A lignes surabondantes, c’està-dire si

m — 2 n — 3 -î- /• ou m — i - - a n — 3 -+- A — ■ ,

il y a A — t conditions de moins à remplir que le nombre des inconnues ; donc k — i de ces inconnues peuvent être prises arbitrairement, et le problème admet une (A — i y*? 1 ' infinité de solutions.

AUTRE MANIÈRE D’EXPRIMER LES CONDITIONS QUI PRÉCÈDENT. — Une

Jigure admet en général une figure réciproque, ou une infinité ou pas du tout, suivant que le nombre de ses sommets est égal, inférieur ou supérieur à celui de ses polygones fermés.

En effet, la relation

du § 27 montre que, si n = p, on a

condition trouvée pour la possibilité du problème.

Si

k étant positif,

relation indiquant que le problème est impossible, à moins de k conditions.

Si, au contraire,

on a

indiquant l’indétermination de k manières différentes.

Ces résultats sont d’accord avec les cas particuliers que nous avons traités plus haut.

i° Nous avons vu que la figure formée par les six lignes joignant quatre points, ou plus généralement que la figure formée par un polygone fermé quelconque dont on a joint les sommets à un point fixe contient une ligne surabondante, ou, en d’autres termes, autant de sommets que de polygones fermés. Donc, d’après le théorème général du § 3 o, elle doit toujours admettre une figure réciproque. C’est, en effet, ce que nous avons établi directement.

2° Une figure formée par deux polygones de q côtés (fig. 17 , Pl. IV, ou fig. 16 , PL V), dont les sommets sont sur q lignes données, renferme p — q+o. polygones et n = 2 q sommets, d’où n^> p et n — p — g — 2 .

Donc une telle figure ne peut admettre une figure réciproque que si elle satisfait à q — a conditions. Ces conditions, que spécifie le théorème établi au § 32 , sont bien en effet au nombre de q — 2.

3 °,Une figure [fig- 17, PL IV, ou fig. 16, PL V) formée d’un polygone fermé de q côtés, dont les sommets sont réunis à deux points O et O', comprend p~iq polygones fermés et n = q 4- 2 sommets. Donc, à l’inverse de l’exemple ci-dessus, on a ici

p > n et p — n—q — 2,

et le problème est indéterminé. C’est, en eflet, ce que nous avons vu, et le théorème général nous apprend qu’il l’est de q — 2 ma-

nières différentes, cc qui se vérifie de suite, si l’on se rappelle que les diagrammes de la forme de la figure 16 sont réciproques de ceux ayant la forme de la figure 16; et comme ceux-ci exigent q — a conditions pour que leurs réciproques existent, ceuxlà doivent, au contraire, admettre une (q — a} 1 "'''' infinité de figures réciproques.

SUR UH CAS PARTICULIER SU PROBLÈME DE LA RECHERCHE DES FIGURES RÉCIPROQUES. — Les règles qui précèdent peuvent pourtant comporter certaines exceptions. 11 en est une qui mérite d'ètre particulièrement signalée, car d’elle découle en quelque sorte toute la Statique graphique.

Considérons ( Jig di,Pl . XIII) une figure quelconque (F). Par i de ses sommets menons un système de lignes S, et construisons un polygone fermé P de i côtés ayant ses sommets sur les lignes S. Cherchons les conditions pour que le diagramme ainsi formé, que nous appellerons (F,), admette un diagramme réciproque.

La figure donnée (F) sera, par exemple, celle formée par les lignes 11, 12, 13, 1 1,.... 26, 27 de la figure 61; les lignes S qu’on y trace sont les lignes 1, 2, 3, ..., 10 : ces ligues sont reliées dans la figure par le polygone fermé P de 10 côtés indiqué en pointillé.

Soient généralement m le nombre des lignes et n le nombre des sommets de la figure (F). Posons

(a) m = in — 3 4- A,

en sorte que (§ 29) la figure est déformable de k manières différentes si k est négatif, strictement indéformable si A = o, et à A lignes surabondantes si A est positif.

Soient m' le nombre des côtés et n' le nombre des sommets de la figure complète (F,), après l'addition des lignes S et du polygone P. On aura

«' = « + »; m' — m -b 2 t, d’où, en vertu de la relation (a),

(i) m -b 2 i — 2 (n -b i) — 3 + /- ou m’ — 2 n' — 3 -H A,

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. SI ce qui indique que la figure complète (F,), y compris les ai lignes que nous avons ajoutées, est déformable de k manières, strictement indéformable, ou à k lignes surabondantes suivant que la figure primitive (F) est elle-même dans l’un ou l’autre de ces trois cas.

Ceci posé, le fait particulier qui se présente ici, c’est que la construction de la figure réciproque de (F,) exige toujours au moins une condition, quel que soit A, alors même que  — 1 et que, par suite, il semblerait, d'après le théorème du § 34, que le diagramme réciproque dut être possible sans condition. En effet, pour construire le diagramme réciproque de (F,) d’un point O (fig- 64\ on mènera des parallèles aux côtés du polygone P, de façon à former le nœud réciproque de ce polygone ; puis on construira les polygones fermés, réciproques des nœuds partant des divers sommets de ce polygone. Comme ces nœuds sont à trois côtés, leurs polygones réciproques seront des triangles. Chacun de ces triangles comprenant deux rayons issus de O parmi ses côtés, on fermera ces triangles en conduisant les lignes i, 2 , 3,... {dont la première est de grandeur quelconque) respectivement parallèles aux lignes S, ou 1, 2, 3,..., de la figure 64.

Le polygone 1 2 3... devra nécessairement se fermer pour que le dernier triangle, celui qui a pour base la ligne 10 , soit réciproque du nœud du polygone P comprenant la ligne 10. Cela exige que les ai lignes additionnelles satisfassent à une condition, condition indépendante de la forme de la figure primitive ( F) et subsistant quelle que soit cette figure, quelle que soit, par conséquent, la valeur de k.

On peut reconnaître l’existence de cette condition encore autrement et par des considérations analogues à celle du § 31. Supposons, en effet, obtenus par un moyen quelconque les m' côtés du diagramme réciproque cherché, ou plutôt les m ' — 1 rapports de ces côtés à l’un d’entre eux; ils doivent satisfaire à on' — 3 conditions (§ 33). Or, fermer les i triangles répondant aux i nœuds qui composent le polygone P, c'est remplir (§ 34) ai conditions. Mais, en raison de cette circonstance particulière que les i nœuds ne comprennent que 21 côtés, on ne dispose, pour satisfaire aux ai conditions dont il s’agit, que de 21 — 1 quantités, à savoir : les rapports de 2 i — 1 des longueurs du diagramme réciproque à l’une d'entre elles. Pour qu’avec ces ai — 1 quantités on puisse remplir a i condi-

Sî

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, lions, il faut que la figure soit telle qu’une de ces conditions soit remplie d’elle-mêmo quand les ai — i autres le sont.

Maintenant ces ai conditions remplies au moyen de ai — i des longueursdu diagramme réciproque, il reste à remplir an' — 5 — ai autres conditions, et l’on disposera pour cela de m' — 1 — (ai — i)=m' — ai quantités. Donc, le problème est possible et déterminé si

m' — ai — an' — ai — 3 j

indéterminé si

m' — ai > an' — ai — 3 ;

impossible, à moins de conditions à remplir par la figure primitivement donnée (F) , si

m' — ai < an' — ai — 3.

Or, en vertu des relations (6), on a

m' — a i — a n' — ai — 3 -I- k.

Donc le problème est possible sans condition autre que celle indiquée de la fermeture du polygone 1 2 3,..., si k = o; indéterminé de k manières si k est positif; impossible, à moins que la figure proposée ne remplisse k conditions nouvelles, si k est négatif. Si ces k conditions sont remplies, le problème devient alors possible et déterminé.

Si l’on regarde (§3) le polygone 1 2 3..., réciproque des lignes S comme le polygone de ces lignes, alors le polygone P sera (§ 19) leur polygone funiculaire relatif au pôle O; la condition que le polygone 12 3... soit fermé, ainsi que le polygone P, équivaut donc (§ 25) à celle-ci : que l’une des i lignes S soit la résultante des autres.

On peut donc dire :

Etant donnée une figure quelconque (F), si par i de ses sommets on mène un système de i lignes S et qu'on les relie par un polygone fermé P de façon à former une nouvelle figure (F,), pour que cette nouvelle figure admette un diagramme réciproque, il faut que l'une des lignes S soit la résultante des autres, et cela, quelle que soit la figure primitivement donnée.

Cette condition remplie, le problème est indéterminé si la figure (F) contient des lignes surabondantes j possible et déter-

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. miné si elle est strictement indéformable ; enfin impossible à moins de k conditions nouvelles à remplir par la figure (F), si elle est déformable de k manières.

Remarque. — Pour que l’une des lignes S soit la résultante des autres, il faut (§ 23) trois conditions, si le polygone de ces lignes est donné d’avance. Ainsi :

Si l’on veut que non-seulement la figure (F,) admette un diagramme réciproque, mais qu’encore, dans ce diagramme, entre un polygone des lignes S donné d’avance, trois conditions sont toujours nécessaires.

Ces conditions remplies, le problème est indéterminé si la figure primitive (F) contient des lignes surabondantes; possible et déterminé si cette figure est strictement indéformable; enfin impossible, mais devenant possible et déterminé moyennant k conditions nouvelles, soit en tout A -F- 3, si cette figure est déformable de A manières.

SI

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES