ET LES POLYGONES FUNICULAIRES CONSIDÉRÉS AU POINT DE VUE MÉCANIQUE

DOUBLE OBJET DE LA STATIOUE GRAPHIQUE. — La Statique graphique a un double objet :

i° Tracer des règles géométriques simples permettant d’effectuer la composition et la décomposition des forces et de trouver leurs conditions d'équilibre;

a° Déterminer, également par des procédés graphiques, les actions intérieures que des forces données font naître dans les corps sur lesquels elles s’exercent, lorsque ces coqis se réduisent à de simples barres, comme cela a lieu dans les charpentes, ponts métalliques, etc.

On comprend combien ce second problème est important.

Comme la matière n’offre qu’une résistance limitée, chaque fois que des corps doivent demeurer en équilibre sous l’action de certaines forces, il faut les disposer de façon que les actions mutuelles qu'ils exercent les uns sur les autres ne dépassent pas la limite de leur résistance possible. La recherche de ces actions mutuelles, même quaud les corps se réduisent à de simples barres, est souvent audessus des forces de la Statique et exige l’intervention de la théorie

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES. 55 mathématique de l’élasticité. Nous en donnons alors la solution dans le Mémoire qui fait suite à cet Ouvrage; mais, dans un grand nombre de cas (et il ressort du Mémoire auquel nous venons de faire allusion que les meilleures constructions doivent être disposées de façon qu’il en soit ainsi), la Statique seule permet de découvrir les actions dont il s’agit. La Statique ordinaire se prête peu à ce genre de recherches en raison de la longueur des calculs qu’elle exige. Au contraire, la Statique graphique en fournit une solution géométrique simple et des plus faciles à appliquer, surtout lorsqu’il s’agit de forces toutes situées dans un plan ; et c’est ce qui a presque toujours lieu dans les constructions.

Comme la Statique ordinaire, la Statique graphique débute par l’étude des conditions d’équilibre des forces agissant sur des systèmes invariables. De tels systèmes n’existent pas dans la nature; tuais les conditions auxquelles satisfont les forces qui les maintiennent en équilibre doivent, comme on sait, être remplies toujours par quelque système que ce soit (').

REPRÉSENTATION DES FORCES EN STATIODE GRAPHIODE. — Eu Statique graphique un système de forces est représenté par deux figures distinctes : l’une contient les lignes indéfinies suivant lesquelles les forces sont dirigées et agissent, et qu’on appelle leurs lignes d’action; dans l’autre, on porte bout à bout des longueurs proportionnelles aux forces données, de même direction et de même sens que ces forces. On forme ainsi un contour polygonal qui, d’après les dénominations purement géométriques employées jusqu’ici, serait le polygone des lignes représentatives des forces, mais qui, en réalité, n’est autre que le polygone des forces, tel qu’on l’emploie aussi en Statique ordinaire; mais la Statique graphique en tire, comme nous le verrons plus loin, un tout autre parti.

Habituellement, nous représenterons les lignes d’action des forces (*)

(*) En effet, si un système, quel qu’il soit, est actuellement en équilibre, cet équilibre ne cessera pas de subsister si l’on vient à rendre le système invariable; donc les conditions nécessaires et su disantes à l'équilibre des forces agissant sur des systèmes invariables ne cessent pas d'ètre nécessaires lorsque ces mêmes forces viennent à agir sur des systèmes ne remplissant plus cette condition.

SC COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

par les chiffres gras 1, 2, 3, 4, 5, . . et les côtés correspondants du polygone des forces par les chiffres similaires i, 2, 3, 4 , 5,.. . .

Ainsi, dans la fig. 2 (PL /), on peut regarder les lignes munies de flèches et portant les numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, comme les lignes d’action de sept forces, et les sept côtés i, 2, 3, 4i 5, 6, 7 du polygone de ces lignes ( fig . 2), comme les côtés du polygone de ces forces, c’est-à-dire comme donnant les grandeurs et sens de ces forces, tandis que les lignes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en donnent la position.

Remarque. — Dans les deux figures formées l’une par les lignes d'action des forces, l’autre par le polygone des forces, rien n’indique le point d’application des forces. La connaissance des points d’application est, en effet, inutile dans le premier des deux problèmes dont s’occupe la Statique graphique (§ 38) : celui relatif à l’équilibre et à la composition des forces appliquées à un système invariable. On sait qu’on peut, sans modifier l étal de repos ou de mouvement d'un tel système, déplacer les points d'application des forces qui agissent sur lui, le long de leurs lignes d’action respectives ; mais ces déplacements, qui supposent, bien entendu, que les points choisis pour points d’apliration sont liés au système, modifient les actions qui s’exercent à l'intérieur de eelui-ci. Aussi, quand nous nous occuperons de l'étude de ces actions intérieures, c’est-à-dire quand nous arriverons au second des problèmes qui font l’objet de la Statique graphique, nous devrons nous donner, sur chaque ligne d’action, le point d'application de la force dirigée suivant cette ligne.

RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME OU DU TRIAH6LE DES FORCES. — Nous emprunterons à la Statique ordinaire la règle dite du parallélogramme des forces, ou, si l’on veut, du triangle des forces. Elle peut être énoncée ainsi :

La résultante de deux forces dont les lignes d’action se rencontrent : i° passe par leur point d’intersection; 2 0 est égale en grandeur, direction et sens à la somme des deux forces , le mot somme ayant la signification que nous lui avons attribuée au § 3. Soient (fig. 23, PI. VI) \ et 2 les lignes d’action de deux forces ; ces lignes se rencontrent en O. Soient (fig. a3) 1 et 2 les côtés du

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES, polygone de ces deux forces. Leur résultante est égale en grandeur, direction et sens à la ligne ab, qui va de l’origine à l’extrémité du polygone des deux forces; elle est donc (§ 3) égale en grandeur et direction, et opposée en sens à la ligne qui ferme ce contour, ou égalé en grandeur, direction et sens à la somme des deux forces. La ligne d’action de cette résultante est OX parallèle à ab menée du point O.

Corollaire I. — Inversement, l’une quelconque des composantes est égale en grandeur, direction et sens à la différence (§ 8) entre la résultante et l'autre composante.

Ainsi, décomposer une force en deux dont l’une est donnée, c est retrancher la seconde de la première.

Corollaire IL — Pour qu'un système de trois Jorces concourantes soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone de ces Jorces (lequel se réduit ici à un triangle) soit fermé.

Car si ces trois forces sont en équilibre, chacune d’elles est égale et opposée à la résultante des deux autres, ce qui exige, d’après la règle du triangle des forces, que l’une quelconque d’entre elles soit égrlle en grandeur, direction et sens à la ligne qui ferme le polygone des deux autres.

Etant donné un système de i forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan (ou même dans l’espace), si deux de ces forces se rencontrent, on peut réduire le système donné à un système équivalent (*) ne contenant plus que i — i forces. 11 suffit pour cela de remplacer les deux forces qui se rencontrent par leur résultante.

Si, dans ce nouveau système, deux forces se rencontrent encore, on pourra le réduire à un système équivalent de i — a forces, et ainsi de suite; en sorte que si, dans les systèmes successifs qu’on forme ainsi, il y a toujours deux forces qui se rencontrent, on finira par réduire le système à une force unique qui en sera la résultante.

(*) On sait que deux systèmes de forces sont dits équivalents lorsqu’ils peuvent être substitués l’un à l’autre sur un corps solide invariable, sans que l’état de repos ou de mouvement de ce corps en soit affecté.

S’il existe une force unique équivalente à un système de forces données, elle en est la résultante.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES. — Cette circonstance SC présentera toujours si les forces données sont concourantes. La résultante des deux premières 1 et 2 [fig. 21 , PI. VI) est égale en grandeur, direction et sens, à la ligne qui sous-tend l’angle formé par les côtés i et a du polygone des forces [fg. ai) et passe par le point de concours O des forces données. La résultante de celle-ci et de la force 3 est égale en grandeur, direction et sens à la ligne qui sous-tend le contour formé par les trois côtés i, a, 3 du polygone des forces, et passe également par le point O, et ainsi de suite. Donc ;

La résultante d'un système de forces concourantes : i° passe par le point de concours de ces forces; 2 ° est égale à leur somme, c està-dire à la ligne qui va de l ’origine à 1‘ extrémité du polygone des forces.

Lorsque les forces que l’on considère, sans être concourantes, sont toutes situées dans un même plan, les conditions indiquées au § 41 , pour qu’elles admettent une résultante unique, se présentent en général.

Supposons qu'elles se présentent, et soient (A) P„ P„ P P, -„ P,

les i forces données. Supposons que P, et P, se rencontrent, c’està-dire ne soient pas parallèles-, on pourra trouver, par la règle du triangle des forces, leur résultante que nous appellerons P,,. Supposons que P,, rencontre P,, on pourra trouver leur résultante que nous appellerons P, ls ; que P,, t rencontre P,, queP, m soit la résultante de ces deux forces: en poursuivant ainsi, pourvu que chacune des nouvelles forces trouvées rencontre toujours une des forces données, on pourra former la série des forces

Pu, Pin» P|:«, ■••» Pm«t > - • ,fi

dont la dernière est la résultante des forces données; l’avant-dernière P, ms, (t — i) est la résultante des i — t premières de ce système, et ainsi de suite.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

Ces résultantes successives s’obtiennent sans difficulté, si les forces données sont représentées par leurs lignes d’action et leur polygone de forces [ftg- 22 et 22 , PL PI). D’abord, en grandeur et sens, elles sont représentées par les diverses diagonales du polygone des forces, issues de l’origine a de ce polygone; et la résultante finale de toutes les forces données sera par conséquent égale eu grandeur et sens à la ligne qui va de l’origine à l’extrémité de ce polygone, c’est-à-dire qu’e//e sera égale à la somme des forces données (§ 3), tout comme si ces forces étaient concourantes. Alaintenant, pour avoir la ligne d’action (1 2) de la force P,„ il suffit, par le point d’intersection des lignes d'action 1 et 2, de mener une parallèle à la diagonale ( 1 2 ) du polygone des forces.

Pour avoir, de même, la ligne d'action de la force P, , ,, comme celte force est la résultante de P,, et de P,, il suffit de prolonger la ligne d’action (1 2) jusqu’à celle 3 et, par le point d'intersection, de mener une parallèle à la diagonale (1 2 3). En poursuivant, on voit qu’on est amené à la règle suivante :

Pour composer un système de forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan, sauf les restrictions indiquées plus haut relativement au non-parallélisme de certaines de ces forces, construisez un polygone ayant son point de départ à l’intersection des lignes d’action de deux des forces données, ses sommets successifs sur les autres forces données, et ses côtés parallèles aux diagonales issues de l’origine du polygone des forces. Le dernier côté du polygone ainsi tracé est la ligne d’action de la résultante cherchée. Celle résultante est d’ailleurs égale en grandeur, direction et sens à la somme des forces données ; elle est donc entièrement connue.

SOLUTION GÉNÉRALE DU PROBLÈME DE LA COMPOSITION GRAPHIQUE D'UN STSTÉME DE FORCES DISTRIBUÉES D’UNE MANIÈRE QUELCONQUE DANS UN PLAN, DÉDUITE DES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES POLYGONES FUNICU- LAIRES. — Observons maintenant que le polygone ayant pour côtés

les lignes d’action (1 2), (1 2 3), (1 2 3 4), des résultantes

successives n’est autre chose qu’un polygone funiculaire particulier du système des forces données, à savoir : le polygone funiculaire ayant pour pôle l’origine a du polygone des forces et dont

W) COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

les côtés successifs (1 2), (1 2 3), (1 2 3 4), représeptent aussi

(§ 21, Rem. II) les résultantes géométriques des lignes 1, 2; 1, 2, 3; 1,2, 3,4,....

La ligne d'action de la résultante d’un système des forces coïncide donc avec la résultante géométrique, telle que nous l’avons définie au § 21, des lignes représentatives de ces forces.

Mais, du moment où il en est ainsi, nous pouvons faire appel à toutes les propriétés géométriques précédemment établies des polygones funiculaires. Notamment, pour trouver un point de la ligne d’action de la résultante et, par suite, cette ligne tout entière, puisqu’elle est parallèle à la droite qui ferme le polygone des forces, il n’est nullement nécessaire de faire usage du polygone funiculaire relatif au pôle particulier a : tout autre polygone funiculaire nous conduira tout aussi bien au but. Le point d’intersection des deux côtés extrêmes d’un tel polygone sera un point de la résultante cherchée. C’est ainsi que, sur les figures 2 a et 22 (PL III), le polygone A 1 2 3 436 7 8 relatif au pôle O nous fournit, par l’intersection de scs côtés extrêmes, un point 8, qui se trouve nécessairement appartenir à la résultante.

La faculté que nous acquérons ainsi de déterminer la résultante, par l’emploi des polygones funiculaires, outre les avantages évidents qu’elle offre au point de vue de l’exécution matérielle, constitue un résultat scientifique remarquable; car, tandis que la règle énoncée à la fin du paragraphe précédent devient illusoire quand certaines des forces que l’on considère deviennent parallèles, celle que fournit l’emploi d’un polygone funiculaire quelconque est toujours applicable; et comme elle donne la résultante, quelque éloignés que soient les points de rencontre des forces qu’au § 43 nous avons supposées se couper, elle la donnera encore quand certains de ces points ou tous auront passé à l’infini , c’est-à-dire quand certaines forces, ou toutes les forces que nous avons supposées se rencontrer, deviendront parallèles.

Ainsi la méthode nouvelle A laquelle nous arrivons ne comporte plus aucune des restrictions que nous avons faites au début. Elle s’applique indifféremment à tout système de forces parallèles ou non, situées dans un plan , et nous pouvons énoncer la règle tout A fait générale que voici :

Pour composer un système de forces distribuées d 'une nuznière

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COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES. quelconque dans un plan et représentées par leurs lignes d 'action et leur polygone des forces, construisez un quelconque des polygones funiculaires du système; le point d' intersection des côtés extrêmes de ce polygone donnera un point de la ligne d’action de la résultante. Cette ligne d'action est d'ailleurs parallèle à la droite représentant la somme des Jorces données, et la résultante elle-même est égale en grandeur, direction et sens, à cette même somme.

MÊME SOLUTION OBTENUE FAR DES CONSIDÉRATIONS PUREMENT MÉCA- NIQUES. — Essayons d’arriver maintenant à cette règle par des considérations purement mécaniques. Cette nouvelle marche, en nous fournissant la déGnition mécanique des polygones funiculaires que nous n’avous considérés jusqu'ici qu’au point de vue géométrique, achèvera d’en faire comprendre le rôle et l’importance.

Soient données [fg. 24, PI. Fil) les forces représentées par les ligues d’action 11', 22', 33', 44', 55', et par les côtés i, a, 3, 4, 5 du polygone des forces (fig. a4 ) •

Proposons-nous de trouver directement la résultante de ces forces, quel qu’en soit le nombre et quelle que soit la manière dont elles sont distribuées dans le plan.

Pour cela, décomposons la force 11' en deux autres, dont l’une 1 A soit donnée arbitrairement en grandeur, direction et sens. Pour avoir l’autre, par l’origine a du polygone des forces, menons la ligne aÜ égale en grandeur, direction et sens, à 1 A. Comme cette dernière ligne est arbitraire, on voit que le point O est un point absolument quelconque du plan. La seconde composante sera représentée sur le polygone des forces, en grandeur, direction et sens, par la ligne O i a ayant son origine en O et son extrémité au sommet î a ; sa ligne d’action sera une parallèle à O i a menée par 1 . Soit 2 le point de rencontre de cette parallèle avec la force 22'.

Décomposons celte dernière en deux autres : l’une dirigée suivant 21, égale et contraire à la composante de la force 11' dirigée suivant cette même ligne, c’est-à-dire égale et contraire à ü i a. La seconde composante sera représentée en grandeur, direction et sens, par la ligne O a 3 ayant son origine en O et sou extrémité au sommet a 3 du polygone des lignes ; sa ligne d’action sera une parallèle à Oa3 issue de 2. Soit 3 le point d’intersection de cette pa-

02 COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES

rallèle avec la force 33'. Décomposons de même cette force en deux, dont l’une dirigée suivant 32 soit égale et contraire à la composante de 22' dirigée suivant cette ligne, c’est-à-dire égale et contraire à Oa3; la seconde composante sera en grandeur, direction et sens, représentée par 034, et ainsi de suite. Eu poursuivant, ou voit : i° qu’on est amené à tracer sur la ligure if\ tous les rayons issus de O, et sur la ligure 2t un polygone dont les côtés sont parallèles à ces rayons et dont les sommets sont sur les lignes d’action des forces données, en un mot, le polygone funiculaire relatif au pôle O ; et, comme ce point est quelconque, c’est donc un polygone funiculaire quelconque qu’on a ainsi tracé; 2° que le système des forces données est maintenant remplacé par un système équivalent dont toutes les forces sans exception sont dirigées suivant les côtés du polygone funiculaire; 3° que, suivant chacun des côtés intermédiaires de ce polygone, sonL dirigées deux forces égales et contraires qui, par conséquent, se détruisent, en sorte qu’il ne reste en tout que deux forces : l’une dirigée suivant l’un des côtés extrêmes, l’autre suivant l’autre côté extrême du polygone funiculaire. Ces deux forces forment donc à elles seules un système équivalent aux forces données, et il suffit de les composer d’après la règle du triangle des forces pour avoir la résultante de ces dernières. Or cette composition se trouve tout indiquée : les deux forces à composer sont représentées sur la figure 24 par les rayons extrêmes a 0 (dirigée de a vers O' et O b (dirigée de O vers b) . Donc leur résultante sera égale en grandeur, direction cl sens, à la ligne < fui va fie l'origine à i extrémité du polygone des forces données, c est-à-dire à leur somme. Quant à la ligne d’action de la résultante, elle passe par l’intersection des lignes d’action de ses deux composantes, c’est-à-dire par le point d’intersection (i des deux côtés extrêmes du polygone funiculaire; elle est, d’ailleurs, parallèle à la ligne ab. ÎNous arrivons donc ainsi par une voie nouvelle à la règle énoncée au paragraphe précédent.

US PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES POLYGONES FUNICULAIRES DÉDUITES DE CONSIDÉRATIONS MÉCANIQUES. — Cette nouvelle marche conduit à des conséquences intéressantes.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES. 63

D’abord elle nous fait apercevoir avec une entière évidence tous les théorèmes de Géométrie établis au Chapitre II. En effet, puisque, quelle que soit la position du pôle O d’un polygone funiculaire, ses côtés extrêmes se coupent en un point 6 placé sur la ligne d’action de la résultante des forces données, on voit que, si le pôle se déplace, le point d'intersection de ces côtés extrêmes décrit une ligne droite dont la position est indépendante de celle du pôle. Cette droite est parallèle à celle qui ferme le polygone des forces; et ceci est vrai pour deux côtés quelconques d’un polygone funiculaire, aussi bien que pour les deux côtés extrêmes, puisque deux côtés quelconques se coupent en un point de la résultante de celles des forces données qui sont comprises entre ces côtés. Ainsi le point d’intersection de deux côtés quelconques d’un polygone funiculaire décrit une ligne droite indépendante de la position du pôle de ce polygone; c’est le théorème du § 2 1 dont tous les suivants, établis au Chapitre II, sont des corollaires. Ils résultent tous de cet axiome de Statique, que la résultante d'un système de forces est indépendante de l’ordre dans lequel on les compose et qu’elle ne change pas, si on remplace certaines de ces forces par leurs résultantes partielles.

On peut aussi démontrer mécaniquement le théorème fondamental établi au § 20, à savoir : Lorsque le pôle d'un polygone funiculaire se déplace en ligne droite, les côtés de ce polygone ne font que pivoter autour de points fixes , tous placés sur une ligne droite parallèle à celle que décrit le pôle.

Considérons, en effet, deux polygones funiculaires, l’un relatif au pôle O, l’autre relatif au pôle O' d’un système de forces P,,

P„P., Pi, ..-vP-

Soient ( fig- 17, PL IP) AI et 67 le premier et le i* 1 "* côté du polygone funiculaire relatif au pôle O {flg- 17 ); soient A'P et 6 ' 7' les côtés analogues du polygone relatif au pôle O'. 11 s’agit de montrer que la ligne joignant le point d’intersection de AI et de A'1' au point d’intersection de 67 et de 6 ' 7' est parallèle à OO'.

Pour cela, observons que les i premières des forces données, à savoir P,, P,, P,,..., P,-, peuvent (§ -io) être remplacées par deux forces dirigées, l’une suivant AI, l’autre suivant 67.

Soient R 0 et R ; ces deux forces, dont les grandeurs sont représentées sur le polygone des forces par deux rayons issus de O et

Ci COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES,

allant l’un à l’origine de ce polygone, l’autre au sommet ii -+■ i (ici 6y). Appelons Oa et Oz 1 ces deux rayons.

Mais les forces données peuvent de même être remplacées par deux forces dirigées l’une suivant A'1', l’autre suivant 6'7'. Soient R| et R’ ces deux forces dont les grandeurs sont représentées sur le polygone des forces par les deux rayons O' a et O'x 1 .

Donc les deux forces

R , et R ,■

sont équivalentes aux deux forces

R', et Ri

ou, si l’on veut, les quatre forces

R., Ri! — R o. — R’îi

dont les deux dernières sont égales et opposées à R', et R' , forment un système en équilibre, ce qui exige que la résultante de R 0 et de — R’, soit égale et opposée à celle de R, et de — R' ; mais la première de ces deux résultantes passe par le point d’intersection de Al et de A'1'; la seconde, parle point d’intersection de 67 et 6'7'. Donc la ligne qui joint ces deux points d’intersection peut être regardée comme la ligne d’action commune à la résultante de R 0 , — R’, et à celle de R,, — R, . Et comme ces résultantes sont l’une et l’autre représentées sur le polygone des forces par la ligne OO' (puisque l’une est la différence (*) des deux rayons O a et O'a; l’autre, celle de deux rayons Or' et O'x'), leur ligne d’action commune est parallèle à OO', ce qui établit le théorème énoncé.