CHAPITRE VII

PnOJECTtO.NS ET MOMENTS DES FORCES SITUÉES DANS UN PLAN .

ÉQUIVALENCE ENTRE LE ROLE ANALYTIQUE DES PROJECTIONS DES FORCES ET LE ROLE GRAPHIQUE RU POLYGONE DES FORCES. — Nous venons d’exposer la théorie complète de la composition des forces situées dans un plan sans recourir aux projections et aux moments dont la Statique ordinaire fait un si grand usage. Nous pourrions, à la rigueur, nous passer entièrement de ces éléments; mais, outre qu'il serait puéril de se priver volontairement d’instruments de recherche aussi précieux, il nous parait utile d’exposer la théorie des moments et celle des projections des forces, ne fût-ce que pour bien montrer que les règles analytiques qu’elles fournissent pour l’équilibre et la composition des forces sont équivalentes aux règles graphiques que nous venons d’établir. En ce qui touche les projections, cette équivalence est en quelque sorte manifeste.

Nous avons vu que la résultanted’un système de forces distribuées dans un plan est égale en grandeur, direction et sens à la somme de ces forces, c’est-à-dire à la droite qui va de l’origine à l’extrémité du polygone des forces. Donc (§ 6) :

La projection sur un axe quelconque de la résultante d'un système de forces situées dans un plan est égale à la somme des projections de ces forces sur le même axe.

Ce dernier énoncé fournit, aussi bien que l'emploi du polygone des forces, la grandeur et le sens de la résultante d’un système de forces.

Car, étant donné un système de forces, on peut trouver leurs projections et, par suite, les sommes de leurs projections sur deux axes Ox, Or (Jig- 42, PI- IX) qui se coupent. Ces sommes représentent : l’une OA, la projection de la résultante sur l’axe üx; l'autre, OB, sa projection sur l’axe O y. Or, connaissant en gran-

dcur et sens les projections d’une ligne sur deux droites qui se coupent, on peut construire cette ligne en grandeur, direction et sens. Il suffit, par l’extrémité A de sa projection sur Ox, d’élever une perpendiculaire à cette droite; par l'extrémité B de sa projection sur Oj, d’élever une perpendiculaire à O y. La ligne qui va de O au point d’intersection G de ces deux perpendiculaires représente, en grandeur, direction et sens, la résultante cherchée. Au point de vue graphique, cette construction, qui consiste à chercher les projections de toutes les forces données sur deux axes, à construire les lignes représentant les sommes de ces projections sur chaque axe, à les porter à partir de leur point d'intersection O suivant OA et OB, à élever les perpendiculaires AC et BC, serait incomparablement moins commode que celle que fournit l’emploi du polygone des forces; au point de vue analytique, c’est, au contraire, le théorème des projections qui est d’un emploi plus commode.

Ainsi, si les forces données sont

représentent les angles que ces forces, prolongées dans le sens de leur action, font avec l’axe Ox prolongé dans le sens convenu Ox; si R est la grandeur de la résultante de ces forces et 0 l’angle qu elle fait avec Ox, le théorème des projections appliqué aux axes Ox et Oj' donnera

( Rrosü P, cosa, ->- P, dis a, 4 - . . . ■+- P„ cosa„, j R sin8 -- P, sina, -f- P, sim, P, sina,,.

En divisant ces équations membre à membre, R disparaît, et l’on obtient une équation qui fournit l’angle 0. Si on les ajoute après les avoir élevées au carré, comme

sin’6 -t- cos’ 8 = ■ ,

on obtient une équation d’où l’angle 0 disparait et qui fournit la grandeur de la résultante R.

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES

DËmrnoH et construction graphique du moment d’uni force. —

On appelle moment d’une force F ( Jig . 43, PL X) autour d’un point C ou par rapport au point C le produit de celte force par la longueur de la perpendiculaire abaissée du point C sur sa ligne d'action. Cette perpendiculaire CP est ce qu'on nomme le bras de levier de la force F autour du point C. Le moment est compté positivement ou négativement, suivant que la force tend à faire tourner son bras de levier dans un sens convenu pris pour sens des moments positifs ou en sens contraire.

Pour construire le moment par rapport au point Cd’uneforcc dont la ligne d’action est F, et dont la grandeur est représentée parla ligne ah = f ( Jig . 43), prenons un point O à une distance de f égale à l'unité de longueur; joignons ce point aux extrémités a et h dey"; puis, par un point quelconque I de F, menons des parallèles 1D et 1F. à O a et Oh.

Ces lignes une fois tracées, pour avoir le moment de F par rapport au point quelconque C, il suffit de mener par ce point une parallèle à F. Le segment xy que détermine sur cette parallèle l’angle DIE représente le moment cherché. En effet, les triangles I X) et O ah étant semblables, leurs bases sont entre elles comme leurs hauteurs.

Donc

xy CP

d’où

xj =/X CP.

Remarque. — Si le point O était à une distance II dey, la proportion ci-dessus deviendrait

d’où

CP

7 Tl’

xy =