CHAPITRE VI

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS LIBRES OU NON FORMÉS UE BARRES INFLEXIBLES, ARTICULÉES. RECHERCHE GRAPHIQUE DES TENSIONS DES BARRES.

TENSION D’ON FIL. — TENSION OD PRESSION D'UNE BARBE. — Considérons d'abord (Jig- 36, PI. IX) un fil ab tendu en ses deux extrémités par deux forces f elf, dirigées suivant ab , égales et opposées, maintenant par conséquent le fil en équilibre.

Chacune de scs parties, telle que ma, est également en équilibre; or cette partie est soumise à deux forces : t° la force y agissant en a\ 2 ° l’action que la partie mb du fil exerce sur la partie ma. Cette action se nomme la tension exercée par la première portion du fil sur la seconde.

La tension du fil équivaut nécessairement à une force f", égale et contraire à / , puisqu’elle maintient ma en équilibre.

Inversement la partie ma exerce sur mb une tension y 1 ", égale et contraire àf, puisque mb est en équilibre sous l'action des forces

f et/'"-

Ainsi, en tout point m d’un fil tendu par deux forces égales et contraires agissant en ses extrémités, on peut considérer deux tensions : celle que la portion du fil placée à gauche de m exerce sur celle de droite et inversement. Ces deux forces sont égales et opposées, elles sont les mêmes dans toute i étendue du fil et égales en valeur absolue aux forces agissant en scs deux extrémités.

La même chose aurait lieu évidemment si a/>, au lieu d’étre un fil, était une barre rigide. Dans le cas d’une barre ab (Jig . 37, PI. IX), rien n’empècherait de considérer aussi deux forces/ et égales et opposées, et agissant de façon à comprimer la barre au lieu de la tendre. En faisant alors une section en m, on voit que la partie mb exerce sur ma un effort/" égal et contraire à/et qui tendrait à comprimer cette portion de la barre; de même la portion ma exercerait sur mb une force J m égale et contraire à f ou à J", et qui tendrait à comprimer la partie mb. Ces actions se nomment non plus des tensions, mais des pressions. La pression, comme la Lcnsion, est la même en valeur absolue dans toute l’étendue d’une barre en équilibre.

ÉHOHCÉ DD PROBLÈME A RÉSODDRE. — Le problème général qui fait l’objet de ce Chapitre est celui-ci :

On donne une figure plane de la nature de celles que nous avons étudiées au Chapitre III. On en regarde les divers côtés comme des barres rigides (*); en ses sommets on applique un système de forces

Rien nVmp.chc que celles des barres qui sont tendues soient remplacées par des fils flexibles.

situées dans le plan de la figure et la maintenant en équilibre; ces forces comprennent les poids des barres supposées décomposés chacun en deux composantes appliquées aux deux extrémités de la barre.

La figure étant en équilibre, chacune de ses parties est en équilibre et notamment chacune des barres qui la composent.

Concevons (Jig . 20, Pl. F) que l’on coupe toutes les barres, telles que D, D,, D„. . . qui aboutissent en un sommet q , excepté l’une d’elles pq ou A. L’équilibre ne sera pas troublé par ces sections, pourvu qu’on applique au point q des forces fictives égales aux tensions ou pressions exercées sur ce point par chacune des barres coupées.

On peut de môme concevoir coupées toutes les barres, telles que B, B,,..., autres que pq aboutissant en p, pourvu qu’à chacune d'elles on substitue une force fictive représentant sa tension ou pression.

Si l’on compose entre elles toutes les tensions appliquées en p , ainsi que les forces qui pourraient être directement appliquées en ee point, on aura une force unique que nous appellerons f. De même la résultante de toutes les forces (tensions ou autres) appliquées en q sera une certaine force f.

Nous ne connaissons a priori ni la force y, ni la force mais comme la barre pq est maintenue en équilibre par l’action de ces deux forces, nous sommes certains qu’elles sont égales entre elles, dirigées toutes deux suivant la ligne pq et de sens opposés. Leur grandeur commune représente la tension de la barre pq et leur sens indique si cette barre est tendue ou comprimée : c’est la grandeur et le sens de ces forces f et f qu'on se propose de chercher pour chacune des barres A composant la figure.

Itemarqup. — Tant que le problème de la détermination des tensions ou pressions d’un système de barres n’est pas résolu, on ne sait pas si une barre donnée sera tendue ou pressée.

Nous parlerons habituellement de toutes les barres comme si elles étaient tendues, sauf à rectifier ce langage, une fois obtenue la solution du problème, qui nous apprendra quelles sont les barres ellectivement tendues et quelles sont celles comprimées.

CAS PARTICULIER DES POLYGONES ARTICULÉS. — 1» Polygones articulés libres. — Considérons d’abord le cas simple d'un polygone fermé composé de barres articulées entre elles aux divers sommets du polygone. En chacun de ces sommets est appliquée une force. On demande de déterminer : i° les conditions pour que ces forces puissent maintenir le polygone en équilibre; a® les tensions des côtés du polygone lorsque l’équilibre existe.

Si le polygone formait un système indéformable ou invariable, les conditions d’équilibre des forces qui le sollicitent seraient celles indiquées au § 48; il faudrait et il suffirait que le polygone de ces forces et leurs divers polygones funiculaires fussent fermés ; mais, comme les forces agissent ici sur un polygone qui est déformable dès qu’il contient plus de trois côtés, ces conditions cessent en général d'être suffisantes.

Pour découvrir toutes les conditions qui sont ici nécessaires et suffisantes, nous observerons que, si le polygone est en équilibre, chacun de ses sommets est séparément en équilibre sous l’action de la force qui y est appliquée et des tensions des deux barres qui y aboutissent, et qu’inversement, si chacun des sommets est en équilibre sous l’action de la force extérieure et des tensions qui le sollicitent, le polygone tout entier est en équilibre.

Ainsi tout le problème consiste à chercher les conditions pour que chaque sommet soit séparément en équilibre.

Soit {fi g- 2i, PI. y II) le polygone donné :

Soient

les lignes d’action des forces qui le sollicitent, les grandeurs de cos forces étant représentées par les côtés

du polygone des forces { fig . a4).

8ti ÉQUILIBRE DES SYSTEMES PLANS ARTICULÉS.

Pour que le sommet 1 du polygone donné soit en équilibre, il faut que la résultante des tensions des deux côtés 1 2 et 1 6, supposés coupés près de leur extrémité commune 1, soit une force égale et opposée à la force appliquée suivant la ligue d’action I 1'. Donc, si par les extrémités de la ligne t du polygone des forces on mène des parallèles aux côtés 1 2 et 1 0 du polygone donné, les lignes O i a et O i 6 ainsi obtenues donneront les grandeurs des tensions des côtés 1 2 et 1 6 de ce polygone. La première sera dirigée de i a vers O, la seconde de O vers 1 6 . Ces forces' sont donc de sens opposés aux sens que marquent les llèclics placées suivant les lignes issues de O. Ces flèches indiquent le sens des composantes de la force 11' suivant les côtés 16 et 12, c’est-à-dire le sens des /tressions que la force 1 1' exerce sur ces côtés, tandis que ce que nous cherchons ici, ce sont les réactions que ces côtés opposent à l’action de la force 1 1 ' pour la tenir en équilibre, réactions égales et opposées aux composantes de 11'.

Passons maintenant au sommet 2. Pour qu’il soit en équilibre, il faut que la résultante des tensions des côtés 21 et 23 soit une force égale et opposée à celle qui est dirigée suivant la ligne 22' et représentée par le côté a du polygone des forces ; mais la tension suivant 21 est déjà représentée sur le polygone : elle est égale au rayon O i i et dirigée de O vers i a, c’est-à-dire qu’elle est (§ 39) égale et opposée à la tension du côté 1 2 agissant au sommet 1 . Donc la tension, suivant le côté 23, sera représentée par le rayon Oa3 et dirigée de a 3 vers O. Cela exige que le côté 23 soit parallèle à ce rayon. On verrait de mèinc que tous les côtés suivants du polygone donné doivent être parallèles aux rayons issus deO, c’està-dire que ce polygone doit être un des polygones funiculaires des forces qui agissent sur scs sommets. Moyennant cette condition, les sommets successifs i, 2, 3, i, 5 sont en équilibre, et les rayons issus du pôle O mesurent les tensions des côtés successifs du polygone donné; mais quand on arrivera au dernier sommet 6, comme les tensions des deux côtés 61 et 6o qui y aboutissent sont connues l’une et l’autre et figurées au polygone des forces par les rayons 6 i O ou aO et 065 ou 04, il faut que la force agissant suivant la ligne 66' soit égale à celle qui ferme le polygone des sept autres forces données.

Ainsi, pour qu’un système de forces puisse maintenir en équi-

libre un polygone fermé formé de barres articulées , il faut et il suffit : i° que le polygone de ces forces soit fermé; a° que le polygone fermé sur lequel elles agissent soit un quelconque de leurs polj gones funiculaires.

Ces conditions remplies, les ray ons issus du pôle de ce polygone funiculaire représentent les tensions de ses divers côtés.

Remarque I. — On voit que les forces données doivent avoir leur polygone des forces fermé, ainsi qu’un de leurs polygones funiculaires, à savoir : le polygone sur les sommets duquel elles agissent ; par suite (§ 48) tous leurs polygones funiculaires sont fermés et elles satisfont aux conditions d'équilibre de tout système de forces agissant sur un solide invariable. C’est ce qui doit être, car on sait (§ 38) que les conditions nécessaires et suffisantes à l’équilibre des solides invariables ne cessent pas d’ètre nécessaires pour des forces agissant sur des systèmes déformables. Seulement alors elles ne sont plus suffisantes, et l’on voit, en effet, qu’ici elles ne sont pas suffisantes ; car, si elles sont remplies par un système de forces, ces forces ne peuvent pas maintenir en équilibre des polygones fermés quelconques, mais seulement leurs divers polygones funiculaires.

§ 61 bis.

2° Polygones articulés snspendns. — Considérons maintenant ( fi g. 24) un polygone non fermé •

et suspendu par ses deux extrémités à deux points fixes A et B. En scs sommets appliquons des forces quelconques :

ir, 22', 33', 44', 55'

et cherchons : i° les conditions pour que ces forces le maintiennent en équilibre; a 0 les tensions qu’elles déterminent sur ses divers côtés ; 3° les pressions exercées sur les points fixes A et B.

Nous pouvons rendre le polygone libre à la condition d appliquer suivant le côté A 1 une force égale à la tension que la fixité du point A produit sur ce côté et, suivant le côté BS, une force

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS ARTICULÉS, égale à la tension produite par la fixité du point B. Les forces agissant ainsi suivant les côtés À 1 et BS peuvent être considérées comme appliquées au point de concours 6 de ces côtés et composées entre elles : soit 66' leur résultante.

Le problème consiste maintenant à trouver les conditions d’équilibre du polygone fermé et libre 1 2 3 4 S 6 1 soumis aux forces

dont la dernière est inconnue.

Or il résulte du paragraphe précédent que ces forces doivent remplir les conditions d’équilibre des forces agissant sur un système invariable, et que le polygone fermé sur lequel elles agissent doit être un de leurs polygones funiculaires. S’il en est ainsi, une portion quelconque de ce polygone fermé sera évidemment un des polygones funiculaires des forces appliquées en scs sommets. Ainsi la portion Al 23 45 B sera un des polygones funiculaires des cinq forces données ; les rayons issus du pôle de ce polygone funiculaire et aboutissant aux divers sommets du polygone des forces données indiqueront les tensions des divers côtés du polygone funiculaire; en particulier, les rayons extrêmes Oa et Ob indiquent les tensions des côtés extrêmes Al et B3 du polygone funiculaire, et, par suite, les pressions exercées sur les points fixes A et B. Ainsi, étant donné un système de forces quelconques, se faisant ou non équilibre, tout polygone funiculaire de ce système de forces étant considéré comme formé de barres articulées est en équilibre sous l’action de ces forces, si l'on en fixe les deux extrémités. Aucun autre polygone ne jouit de celte propriété.

Remarque /. — C’est cette propriété qui a fait désigner les polygones dont il s’agit sous le nom de polygones funiculaires. Ce sont de tels polygones qui forment les câbles des ponts suspendus, et le nom générique de polygone funiculaire (en allemand seil-polygon, polygone formé de fils ou de cordes) appartient plus spécialement aux polygones dont les côtés, au lieu d’être formés de barres rigides, seraient formés de fils flexibles et inextensibles. Pour qu’on puisse substituer des fils aux barres, il faut que les divers côtés du polygone soient tous tendus, qu’aucun ne soit comprimé. C’est ce qui n’a pas lieu pour la ftg. 24, par exemple.

Là, au contraire, tous les côtés sont comprimés.

On substitue parfois, dans ce cas, le nom de polygone des pressions à celui de polygone funiculaire, parce que ce polygone est employé pour le calcul des pressions des voûtes en maçonnerie; mais nous emploierons toujours le terme générique de polygone funiculaire, que tous les côtés soient tendus ou tous comprimés, ou quelques-uns tendus et d'autres comprimés.

Remarque II. — Plus le nombre des forces est considérable, plus le nombre des côtés des polygones funiculaires est grand; si les forces se rapprochent indéfiniment les unes des autres, les côtés des polygones deviennent de plus en plus petits et à la limite les polygones se transforment en courbes qu’on nomme, suivant le cas, courbes funiculaires ou courbes des pressions.

PROPRIÉTÉ MÉCANIQUE FONDAMENTALE DES nGURES RÉCIPROQUES. —

Avant d’aborder, dans sa généralité, le problème qui fait l’objet de ce Chapitre, nous résoudrons une question préliminaire à laquelle nous ramènerons ensuite ce problème.

Soit donnée une figure de la nature de celles que nous considérons. Supposons qu’aux deux extrémités de chacune des lignes ou barres composant la figure et suivant la direction de cette ligne on applique deux forces égales et opposées.

Ces forces deux à deux égales et opposées formeront évidemment un système en équilibre et cela quelles que soient les grandeurs communes aux deux forces dirigées suivant chaque barre.

Proposons-nous de déterminer, s’il se peut, ces grandeurs de façon que chaque sommet de la figure soit séparément en équilibre sous l'action des forces qui en sont issues.

Il faut et il suffit pour cela que le polygone des forces issues d’un quelconque des sommets soit fermé. Donc, si le problème posé est possible, il existera un système de lignes correspondant aux lignes de la figure donnée et tel, que les lignes correspondant à l’un quelconque des nœuds de cette figure forment un polygone fermé.

Mais nous avons montré au § 34 que, toutes les fois qu’il est pos-

sible de trouver un tel système de lignes, on peut eonstruire un

diagramme réciproque de la figure donnée.

Ainsi toutes les fois que le problème posé est possible, la figure donnée admet une figure réciproque. Il est d'ailleurs évident qu’in- \erscmenl, si la figure donnée admet un diagramme réciproque, le problème posé admet une solution, puisqu’il suffit de prendre les forces appliquées suivant les lignes de la figure donnée proportionnelles aux côtés correspondants du diagramme réciproque, pour que de chacun des sommets de cette figure émanent des forces en équilibre.

Le problème posé est donc identique à celui de la construction du diagramme réciproque d’une figure donnée. 11 est possible et déterminé, impossible ou indéterminé dans les cas spécifiés aux §§ 3i et 3o.

SOLUTION GRAPHIQUE DU PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA RECHERCHE DE8 TENSIONS D’UN SYSTÈME DE BARRES. — Considérons maintenant (fi g- Oi, PL XIII) une figure quelconque.

En ses divers sommets, appliquons un système de forces : 1, 2, 3, maintenant la figure en équilibre, et proposons-nous de

trouver les tensions que ces forces déterminent sur les divers côtés de la figure.

Que la figure donnée soit déformable ou non, les forces qui y sont appliquées satisfont (§ 39) aux conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un solide invariable. Donc i° leur polygone des forces est fermé (ce polygone est indiqué par des lignes doubles sur la figure 64 ) ; a 0 leurs polygones funiculaires sont également fermés.

Traçons un de ces polygones funiculaires, par exemple celui qui est indiqué sur la Jig. 6t par des lignes poinlillées et qui est relatif au pôle O [fig- 64).

Appelons (F) la figure donnée et (F,) la figure complète composée de (F), du polygone funiculaire dont nous venons de parler et des lignes d’action des forces données, lesquelles réunissent les sommets du polygone funiculaire aux sommets de (F).

Je dis que si, comme nous le supposons, la figure primitive (F) est en équilibre sous l’action des forces données, la nouvelle figure (F,) admet au moins une figure réciproque, c’est-à-dire (§ 62) que l’on peut au moins d’une manière appliquer suivant scs divers côtés des forces égales et contraires maintenant ses divers sommets séparément en équilibre.

En effet, puisque les forces données maintiennent par hypothèse la figure primitive (F) en équilibre, chacun de ses sommets est séparément en équilibre sous l’action de ces forces et de deux forces égales et contraires dirigées suivant chacune de ses barres, à savoir : les tensions que les forces données déterminent dans ces barres.

Maintenant, en chacun des sommets du polygone funiculaire, appliquons une force égale et opposée à la force extérieure passant en ce point; chacun des sommets du polygone funiculaire sera (§ 61 ) séparément en équilibre sous l’action de la force qui s'y trouve ainsi appliquée et des tensions que cette force détermine dans les deux côtés adjacents du polygone. Donc chacun des sommets de la figure complète (F,) est séparément en équilibre, et cette figure admet au moins un diagramme réciproque.

Inversement, si la figure complète (F,) admet un diagramme réciproque, le système des forces données sera en état de maintenir la figure donnée (F ) en équilibre et de déterminer, dans scs diverses barres, des tensions représentées par les lignes correspondantes du diagramme réciproque. En ellét, la ligure (F,) admettant une figure réciproque, si l’on applique, suivant chacune de ses lignes, deux forces égales et contraires et égales aux lignes correspondantes du diagramme réciproque, chacun de ses sommets sera (§ 62) séparément en équilibre. Donc, si l’on conçoit que l’on coupe toutes les lignes 1, 2, 3,... et qu’on détache la partie inférieure de la figure, la partie restante (F) sera en équilibre sous l’action des forces dirigées suivant les lignes dont il s’agit. Ces forces sont d’ailleurs égales aux lignes correspondantes i, a, 3 du diagramme réciproque, c’est-à-dire aux forces données. Donc les forces données maintiennent la figure (F) en équilibre, et les lignes du diagramme réciproque de (F t ) pourront représenter les tensions que ces forces déterminent dans les barres de la figure (F). S’il n’existe qu’un seul diagramme réciproque, on sera certain

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS ARTICULÉS, que les lignes de ce diagramme représentent effectivement les tensions des barres données. S’il existe une infinité de diagrammes réciproques du diagramme (F,), cela indique qu'on peut, d’une infinité de manières, décomposer les forces données suivant les lignes de la figure (F); chaque diagramme réciproque indique un mode de décomposition possible, c’cst-à-dirc que les lignes de chacun de ces diagrammes indiquent un système de tension que les forces données peuvent produire sur les barres de la figure (F). Parmi tous ces systèmes de tensions, quel est celui qui se produira elfectivement ? C’est ce que la Statique seule ne saurait préciser. Elle laisse subsister ici une indétermination tout à fait analogue à celle que nous avons rencontrée au § 58 dans la recherche des réactions des appuis, et cette indétermination s’explique de la même manière. Toutes les fois que les tensions d’un système de barres ne dépendent que de la forme de la figure géométrique formée par ces barres, et non de leurs sections cl de la nature des matières dont elles sont composées, la Statique suffit à les trouver*, mais si les tensions dépendent de la section des barres et de leur matière, la Statique ne fournit entre elles que les seules relations qu’elle peut fournir, à savoir : celles qui ne dépendent que de la forme géométrique de la figure formée par les axes des barres; les autres sont du ressort de la Physique mathématique.

Un exemple très-simple le fera bien comprendre.

Supposons (fig. 40, PI. IX) qu’on veuille soutenir un point P par deux barres O a et 06, scellées dans un mur. On demande de déterminer les tensions que ce poids exerce sur les barres.

Il suffira évidemment, pour cela, de décomposer le poids P en deux forces J\ et J\, suivant les directions des barres; ces deux composantes fourniront la solution du problème; la barre Oa subit une tension f t , la barre O 6 une pression f,. La solution est ici indépendante de la nature des matières dont les barres sont composées et de leurs sections. C’est pourquoi la Statique fournil la solution du problème.

Supposons maintenant [fig- fl , PL IX) que le poids P soit soutenu par trois barres, On, Oi, Oc. Comment se répartiront les tensions entre ces barres? La Statique laisse le problème indéterminé; car on peut, d’une infinité de manières, décomposer la force P, suivant les trois directions On, 06, Oc. Parmi tous les modes de ré-

partition des forces, il est impossible de dire celle qui se produira tant qu’on ne donnera pas les sections des barres et leurs coefficients d’élasticité. Une fois ces éléments donnés, il appartient à la Théorie mathématique de l’élasticité de les mettre en œuvre pour compléter les renseignements fournis par la Statique.

Maintenant quelles sont, d’une manière générale, les figures planes dont les tensions peuvent être déterminées à l’aide des seules ressources de la Statique graphique? La solution précédente nous permet de répondre très-nettement à cette question.

DISCUSSION DE LA SOLUTION PRÉCÉDENTE. — Supposons d'abord (f> g- 64, PI. XIII ) la ligure donnée (F), libre dans son plan.

De ce que (§63) la figure complète (F, ) admet au moins un diagramme réciproque toutes les fois que la figure donnée (F) est en équilibre, et vice versd, on déduit que les conditions d’équilibre des forces agissant sur la figure (F) sont identiques aux conditions géométriques que doit remplir la ligure (F,) pour admettre un diagramme réciproque. Or ces dernières conditions ont été indiquées au § 37.

Figures libres et indéformables. — i° Quand la figure donnée est indéformable, trois conditions sont nécessaires et suffisantes pour que la figure (F,) admette une figure réciproque dans laquelle le polygone réciproque des lignes 1, 2, 3,... est donné: d’où l’on peut déduire que, pour qu’un système de forces maintienne en équilibre une figure indéformable, il faut et il suffit que ces forces satisfassent à trois conditions : c’est ce que nous savons déjà, d’après la théorie du § 48; et, de plus, en rapprochant les conditions d’équilibre des forces agissant sur des systèmes invariables trouvées au § 49 des conditions purement géométriques pour que la figure (F,) admette une figure réciproque trouvées au § 37, on voit qu’elles sont identiques. Mais il résulte de plus de la théorie géométrique du § 37 que, ces conditions remplies, la figure (F,) admet un seul diagramme réciproque ou une infinité, suivant que la figure donnée est strictement indéformable ou à lignes surabondantes; d’où nous pouvons déduire que, si une figure plane indéformable est libre dans son plan, pour que la Statique permette de déterminer les

tensions de scs barres, il faut et il suffit qu elle ne contienne pas de lignes surabondantes; en d'autres termes, il faut et il suffit qu elle soit strictement indéformable.

Figures libres et déformables. — a° Quand la ligure donnée est déformable de k manières (Ar étant zéro pour la figure strictement indéformable), alors il faut (§ 37) /. -t— 3 conditions géométriques pour que la ligure ( F, ) admette une ligure réciproque. Donc, pour qu'un système de forces maintienne en équilibre une figure déformable de k manières différentes, il faut et il suffit que ces forces satisfassent à k -+- 3 conditions.

Ces conditions remplies, le théorème géométrique du § 37 nous apprend que la figure (F,) n’admet qu’un seul diagramme réciproque, ce qui siguitic que les tensions de toutes les barres sont déterminées.

C’est ce qu’il est aisé de vérifier directement. En effet, une ligure déformable de k manières devient strictement indéformable si l'on y ajoute k nouvelles barres, et alors, pour qu’elle soit eu équilibre, il faut et il suffit que les forces qui la sollicitent satisfassent à trois conditions. Ces conditions remplies, les tensions de toutes ces barres sont, d’après ce que nous venons de voir, entièrement déterminées.

Mais, pour que la figure ne cesse pas d’ètre en équilibre, si l’on supprime les k barres qu'on vient de lui adjoindre, il faut que les tensions de ces barres soient milles, ce qui donne lieu à k nouvelles conditions entre les forces extérieures, soit en tout k -h 3 ; et ces k -h 3 conditions remplies, les tensions de toutes les barres sont déterminées.

Donc, en résumé, pour que la Statique suffise à déterminer les tensions d 'un système de barres formant une figure plane libre dans son plan, il faut et il suffit que celle figure soit déformable, ou strictement indéformable, mais qu elle ne contienne aucune ligne surabondante.

FIGURES ltOH LIBRES. — Supposons maintenant une figure déformable de k manières soumise, dans scs déplacements, à i conditions pouvant consister en ce que des points sont fixes ou assujettis

à se mouvoir sur des lignes données, ou à conserver entre eux des distances fixes.

Il résultera de ces sujétions » réactions d’appuis ou forces inconnues qu’il faudra adjoindre aux forces données pour pouvoir regarder la figure comme libre.

Si i est égal à 3, on pourra disposer des /. 4 - 3 forces indéterminées que fournissent les réactions des appuis pour satisfaire aux A 3 conditions nécessaires ( § 3T ) pour que la figure (F,) admette une figure réciproque et une seule.

Si i est inférieur à A -t- 3, on pourra disposer des i réactions indéterminées pour satisfaire à i des conditions dont il s'agit; les forces données devront être telles que les A —f— 3 — i autres conditions soient remplies d'elles-mêmes, puisque, par hypothèse, ces forces maintiennent le système en équilibre.

Si i est supérieur à A -H 3 , après avoir disposé de A 3 des i réactions pour remplir les conditions voulues, il restera encore i — (A -+- 3) réactions indéterminées et que la Statique ne permettra pas de déterminer.

L'indétermination augmenterait encore si la figure donnée contenait des lignes surabondantes, puisque alors elle existerait même si toutes les réactions des appuis étaient définies.

Donc, en résumé :

Pour que la Statique graphique puisse dater miner les tensions d’un système de barres situées dans un plan et en équilibre sous l'action de forces situées dans ce plan, ainsi que les réactions des appuis si le sjstème n’est pas libre, il faut et il suffît : i° que ces barres forment une figure déformable ou strictement indéformable; a° que si elle est déformable de h manières (À étant nu! dans le cas des figures strictement indéformables), elle soit soumise, dans ses déplacements, à au plus A -H 3 conditions.

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES