CHAPITRE IX

PROJECTIONS ET moments des fouces fauallej.es dans l’espace.

Nous allons indiquer ici, comme nous l’avons fait pour les forces situées dans un plan, comment la Statique ordinaire résout, à 1 aide de la théorie des moments, le problème de la composition des forces parallèles dont nous venons de donner la solution graphique h l’aide des polygones funiculaires.

Lemme. — La projection sur un plan de la résultante d’un système de forces parallèles coïncide avec la résultante des projetfions de ces forces sur le même plan.

Son un système de forces parallèles distribuées d’une manière quelconque dans l’espace

Po P., P,,..., P..

Concevons que les forces données soient représentées par des longueurs portées dans les sens voulus sur leurs lignes d’action respectives. Projetons ces longueurs sur un plan et soient

p '.> Pj> p; p;

eurs projections; nous pourrons considérer ces lignes comme de nouvelles forces. Soient 11 la résultante des forces données et R' la résultante de leurs projections. Il s’agit de montrer que R' est la projection de R. Pour cela, prolongeons les forces données jusqu’à

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES. H1

leurs rencontres avec le plan de projection et regardons-les comme appliquées en ces points ; leurs projections formeront un nouveau système de forces parallèles appliquées aux mêmes points; les intensités des forces projetées sont proportionnelles à celles des forces données, le rapport des premières aux dernières étant le cosinus de l'angle aigu a que la direction de celles-ci fait avec le plan de projection; on peut donc faire coïncider les forces données avec leurs projections en faisant tourner les premières d’un môme angle a autour de leurs points d’application et réduisant chacune d’elles dans le rapport cosaît. Dans ce mouvement, la résultante des forces données tournera (§ 74) du môme angle autour de sa trac»? sur le plan de projection et sa grandeur sera réduite dans le rapport cosa : i, c’est-à-dire qu’elle viendra coïncider avec sa projection. Cette projection est donc la résultante des forces projetées.

MOMENT D’ÜNE FORCE RELATIVEMENT A ON PLAN. — Dans l’étude des forces parallèles, on appelle moment d’une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance de son point d’application au plan.

On remarquera que le moment d’une force, relativement à un plan, a un tout autre caractère que le moment d’une force autour d'un point, que nous avons considéré dans l’élude des forces situées dans un plan. Celui-ci dépend essentiellement de la position de la ligne d’action de la force et nullement de celle de son point d'application ; celui-là, au contraire, ne dépend que de la position du point d’application et non de la direction de la ligne d’action de la force.

D’après cela, étant donné un système de forces parallèles, faisonsles tourner d’un môme angle autour de leurs points d’application, de façon à les rendre parallèles à une droite O y arbitrairement tracée dans le plan (P) par rapport auquel on prend les moments; puis projetons-les sur un plan perpendiculaire à (P), mené par la droite Oj'; enfin prenons les moments des forces projetées et de leur résultante autour d’un point quelconque O de Oj'.

Le moment de l'une quelconque des forces données par rapport au plan (P) est évidemment, en valeur absolue, égal au moment de sa projection autour du point O; car les forces se projettent en

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vraie grandeur et leurs distances au plan (P) sont égales aux distances de leurs projections au point O: convenons de prendre les signes des moments de nos forces relativement au plan (P), de façon que ces signes soient les mêmes que ceux des moments de leurs projections autour du point O, en sorte que ces deux moments seront, pour chaque force, égaux à la fois en grandeur et en signe.

Le moment autour du point O de la résultante des forces projetées est égal à la somme des moments de ces forces (§ 70). Cette dernière somme est, d’après ce qui précède, égale à la somme des moments des forces données relativement au plan (P); de plus, la résultante des forces projetées étant, d’après le lemme du paragraphe précédent, la projection de la résultante des forces de l’espace, son moment relatif au point O est égal au moment relatif au plan (P) de cette dernière résultante. Donc :

Théorème. — Le moment de la résultante d'un système de forces parallèles par rapport à un plan t/uelcom/uc est égal à la somme des moments de ces forces par rapport à ce plan.

détermination ANALYTIQUE du CENTRE des forces parallèles. —

D’après cela, soieut

un système de forces parallèles.

Considérons trois plans se coupant deux à deux à angle droit, suivant des lignes O x, O y, O z.

Soient

les distances respectives des points d’application des forces données aux trois plans yOz, zOx, xOj-, et soient {, », f les distances à ces mêmes plans du centre des forces parallèles. Si R est la résultante] des forces données, le théorème des moments appliqué successivement aux trois plans, donnera les équations

Pi*. -+- PjX, 4- P,x, -4- ... 4- P.x, = IP/*/,

PiXi ■+• Pi/> + PrT» ■+■ • • • 4- P„J. = ÏP, Xi,

P, z, -h P ,z, 4- P, S) 4- ... 4- P. s» — ïPiS„

Ri = Rï =

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES

en désignant par £ les sommes algébriques qui forment les seconds membres de ces équations. Ces sommes sont connues ; Il l’est également, puisque

(a) R — P, 4- P, 4 -. ..4- P„= ïP„

où £ est la somme algébrique des forces donuées. Donc les équations (i) font connaître les distances ij, », £ du centre des forces parallèles aux trois plans donnés, c’est-à-dire la position de ce point dans l’espace. Ce procédé, au point de vue analytique, est très-simple; au point de vue graphique, celui que nous avons donné au Chapitre précédent est en général infiniment meilleur.

Si toutes les forces sont situées dans un même plan, par exemple dans le plan xOj, alors z, = o, z, = o, . . . , z„ = o. La dernière équation (i) donne alors £ = o, c’est-à-dire que le centre des forces parallèles est aussi situé dans ce plan, ce que nous savions (§ 74), et sa position est définie par scs distances J et » aux deux droites O)' et Ox, de même que les points d’application des forces données sont définis par leurs distances x, et J, à ces droites. Il résulte de là que les plans zOy et zOx perpendiculaires au plan xOr qui contient les forces données ne jouent plus aucun rôle, mais seulement leurs traces Oy et Ox sur ce plan. Voilà pourquoi le produit P, x,, moment de la force P, relativement au plan zOy, peut, dans ce cas, prendre le nom de moment de la force P, relativement à la droite Oy intersection du plan zOy avec le plan qui contient toutes les forces. De même le produit P.- y,-, moment de la force P,- relativement au plan zOx, prendra le nom de moment de cette force, relativement à la droite Ox.

En général, quand des forces parallèles sont toutes situées dans un plan, on appellera moment de l’une de ces forces par rapport à une droite du plan son moment par rapport à un plan mené par cette droite perpendiculairement à celui qui contient les forces. On peut donc énoncer le théorème suivant comme cas particulier de celui qui fait l’objet du paragraphe précédent : Le moment de la résultante d’un système de forces parallèles, contenues dans un plan, par rapport à une droite du plan, est égal à la somme des moments de ces forces par rapport à cette droite.

m DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ.

ÉQUIVALENCE ENTRE LE ROLE ANALYTIQUE DES PROJECTIONS ET DES MOMENTS ET LE ROLE ORAPHIQUE DU P0LT60NE DES TORCES ET DU POLT- 00 NE FUNICULAIRE. — On voit que le théorème des moments permet de déterminer analytiquement la position du centre des forces parallèles, comme le polygone funiculaire permet de le déterminer graphiquement.

De même le théorème des projections tient analytiquement lieu du polygone des forces, lequel se réduit toujours à unit ligne droite dans le cas des forces parallèles.

Pour qu’un système de forces parallèles soit en équilibre, il faut analytiquement : i° que les sommes de ses projections, sur deux plans parallèles à ces forces et se coupant, soient nullcs; a” que les sommes de leurs moments relativement à ces plans soient nullcs ; et graphiquement : i°que le polygone de ces forces soit fermé; a° qu’un des polygones funiculaires de ces forces ramenées dans un plan (§75) soit également fermé.