CEHTRE DES FORCES PARALLÈLES. SA DÉTERJCHAT10H G RAP HI ODE

Théokème. — Etant donné un système de forces parallèles situées ou non dans un plan, si, sans changer soit les rapports de leurs grandeurs, soit leur parallélisme, on fait tourner chacune d'elles d'un même angle a autour d'un point fixe arbitrairement choisi sur sa ligne d'action, leur résultante ne Jera ellemême que pivoter autour d’un point fixe, indépendant de l'angle a et dont la position dépend uniquement des positions des points ayant servi de pivots aux forces données et des rapports des grandeurs de ces forces .

Ce point est le centre des forces parallèles .

Supposons le théorème démontré pour un système de i forces, je dis qu'il sera vrai pour i -+— i . En ell’et, soient Q la résultante des i premières forces données et 11 la résultante de (,) et de la (i - m)""* que nous nommerons P 1+ , : R sera ainsi la résultante de toutes les forces données.

Faisons tourner chacune de ces forces d’un même angle quelconque autour d’un point fixe, de façon qu’elles ne cessent pas d'être parallèles : par hypothèse, la résultante Q des i premières forces tournera du même angle autour d’un point fixe; mais alors la résultante de Q et de P, +) , c’est-à-dire la résultante R de toutes les forces données, tournera elle-même autour d'un point fixe en vertu de la Remarque II du paragraphe précédent. Donc, si le théorème est vrai pour i forces, il est vrai pour i -+- i.

Etant établi pour deux forces, il est donc vrai pour trois, par suite pour quatre, et ainsi de suite pour un nombre quelconque.

Remarque I. — Lorsque les points fixes autour desquels pivotent

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les diverses forces sont sur une ligne droite, le centre des forces parallèles se trouve aussi sur cette ligne.

Remarque II. — Lorsque les points d'application d’un système de forces parallèles distribuées d’une manière quelconque dans l'espace sont tous dans un même plan P, le centre des forces parallèles est lui-même dans ce plan.

Pour le démontrer, il suffit de supposerque toutes les forces aient tourné d’un même angle, de façon à venir se coucher dans le plan : leur résultante sera alors elle-même dans ce plan-, il en est donc dc même du centre des forces parallèles données qui est un point de cette résultante.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUE DES TORCES PARALLÈLES DANS L'ESPACE. — Cette remarque permet de ramener à un problème de Statique graphique plane la recherche du centre des forces parallèles dans l’espace et, par suite, aussi la recherche de la résultante des forces parallèles dans l’espace; car si on connait le centre d’un système de forces parallèles, la ligne d’action de leur résultante est connue puisqu’elle passe par ce centre et est parallèle aux forces données; la grandeur de la résultante égale à la somme des forces données et son sens sont directement fournis par le polygone des forces.

On pourra, par exemple, se donner les lignes d'action ainsi que le polygone des forces, en projection sur deux plans perpendiculaires. On déterminera les traces des diverses lignes d’action sur l'un des plans de projection; puis on amènera toutes les forces données dans ce plan en les faisant tourner d’un même angle autour de leurs traces. Le centre des forces ainsi déplacées sera un point de la résultante cherchée; la direction de cette résultante est celle des forces données; sa grandeur se trouve sur les deux projeetious du polygone des forces.

Si les forces ainsi ramenées dans un plan admettent une résultante unique, il en sera de même des forces données. Ceci exige, d’après ce qui précède (§ 49), que le polygone des forces ramenées dans un plan, lequel est identique à celui des forces données, ne soit pas fermé.

HO PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES

Si le polygone des forces données est ferme, alors ces forces se feront équilibre ou se réduiront à un couple, suivant que leur polygone funiculaire, après quelles auront été amenées dans un plan, sera fermé ou non.