CHAPITRE XVII
APPLICATION A LA DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS d’orDRE SUPÉRIEUR DES FORCES PARALLÈLES DONT LES POINTS d’aPPLICATION SONT SITUÉS DANS UN MÊME PLAN ET PARTICULIÉREMENT A LA DÉTER- MINATION GRAPHIQUE ET A L’ÉTUDE DES MOMENTS o’iNERTIE DES AIRES PLANES.
DÉraiTIOll ET DÉTEBMDIATIOH 6 SAP BIQUE DES MOMENTS BORDEE SU- FÉRIEUB OUI TOUT L’OBJET DE CE CHAPITRE. — Nous avons déflni (§ 77) les moments des forces parallèles dont les points d’application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, les produits de ces forces par leurs distances à la droite, et nous avons vu que le moment ainsi déflni de la résultante d’un système de forces est égal, si l’on fait certaines conventions sur les signes des moments, à la somme algébrique des moments de ses composantes. Nous avons, de plus, donné au § 139 le moyen de construire graphiquement le moment de la résultante d’un système de forces parallèles dont les points d’application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan. Ainsi, dans les Jig. 93 et g3, les forces données supposées ramenées, comme on peut toujours le faire, dans le plan qui contient leurs points d’application, ont pour lignes d’action
184 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR et pour grandeurs
Le moment de la résultante, relativement à la ligne a|3, de toutes celles qui sont à gauche de a/3 est ab ; le moment de la résultante des forces 1 , 2 , 3, 4i 5, relativement à a[3, serait le segment de que les côtés extrêmes du polygone funiculaire de ces cinq forces déterminent sur la ligne a( 3, et ainsi de suite.
Soient généralement
des forces données ayant pour lignes d’action les lignes 1, 2, 3, 4,...
de la fig. 93 et pour grandeurs les lignes 1 , 2 , 3, 4,...
de la fi g. q3.
Soient
les distances de leurs points d’application à la droite st/3 : si la ligne ba est le moment de la résultante obtenu graphiquement, cette ligne représente aussi la somme des moments des composantes, c'est-àdire que l’on aura
( a ) ba - - P, .r, P, a:, -+- P,-r, -+-... -f. P,x„.
Les fig. 93 et 93 ne fournissent pas seulement le second membre de cette égalité, mais aussi, si on le veut, chacun des termes qui le composent.
Veut-on avoir le terme P,.r, P On prolongera, jusqu’à la verticale a/3, les deux côtés du polygone funiculaire issus du sommet 3'; on interceptera ainsi, sur la verticale a( 3, une longueur 3, qui sera (§ 67) le produit cherché. Supposons qu’on prolonge ainsi jusqu’à la verticale a (3 tous les côtés du polygone funiculaire, on interceptera sur cette ligne des segments
ti* ii, 3,, 4,. 5„ 6,, 7,, 8,,
DES FORCES PARALLÈLES
que nous appellerons
et 1 on aura
Concevons : i° qu’on regarde ces longueurs comme un nouveau système de forces parallèles agissant aux points d’application
des forces données ;
a° Qu’on porte ces forces, en leur assignant des sens différents, suivant que les forces données tendent à faire tourner leurs bras de levier dans un sens convenu ou en sens contraire, sur une verticale quelconque, de façon à former un nouveau polygone des forces analogue à celui représenté sur la Jig. gî ;
3° Qu’on construise un polygone funiculaire relatif à un pôle distant, d’une longueur égale à l’unité, de la verticale dont il s’agit.
La verticale aj3 découpera, sur ce nouveau polygone funiculaire (que nous ne traçons pas pour ne pas compliquer la figure), un segment analogue à ba et que nous appellerons b , a, . On aura
6, a, — P'j.r, P',j*, -t- . . . , ou, en vertu des expressions (b) des forces P,.,
(fl') 6, a, = P.-rJ -4- P,*) -+- P.-rJ -+- . . . ru iP.x,’.
c’est-à-dire que la ligne b t a, représentera la somme des produits des forces données par les carrés des distances de leurs points d’application à la ligne a(3. Cette somme est ce qu’on appelle le moment d'inertie des forces données relativement à cette ligne.
De même que le polygone funiculaire de la fig. 93 donne nonseulement le second membre de l’équation (a), mais encore séparément chacun des termes de ce second membre, de même le nouveau polygone funiculaire dont nous venons d’indiquer le tracé donnerait chacun des termes qui composent le second membre de l’équation (a'). Appelons
ces termes, de façon que
186 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D ORDRE SUPÉRIEUR En les regardant, à leur tour, comme les grandeurs d'un système de forces parallèles agissant aux points d'application des forces données et cherchant graphiquement la ligne représentant le moment de leur résultante, on trouverait une ligne b t a t telle que
ou
b,a, — P,-r} -f. P,xJ -+- PjxJ -u . . . ïP, x’ ,
c’est-à-dire qu'on obtiendrait la somme des produits des forces données par les cubes des distances de leurs points d’application à la ligne a{3. En poursuivant ainsi, on obtiendrait généralement la construction graphique de l’expression
ftl = P,x*-t- P,x,‘. . . -+- P.xJ = iP.xf,
et, en même temps, la construction graphique de chacun des termes composant cette somme. Soient
Qu Qj. Q» Q»
ces termes, de telle façon que
Q, = P,^, Q,=:P,.r*,. Q.rrP.xî.
Si l’on regarde maintenant
Qi, Qî, Q» Q,
comme des forces parallèles agissant aux points d’application des forces données et suivant des directions perpendiculaires à ces forces, soit, surla figure, parallèlement à une ligne horizontale yî, on pourra trouver graphiquement le moment de leur résultante par rapport à cette ligne. Soit p t+t ce moment; si
désignent les distances des points d’application
des forces données à la droite y $ , on aura
pi+. — Q./i -t- Qiji H- • • . ■+■ Q..r« ou
(*!+■ = Pi*î y> ■+• p> x*,y> ■ ■ + P.xJ r. = ïP ,*}yi.
DES FORCES PARALLÈLES. 187
En continuant à opérer sur les forces, dans la nouvelle direction qui vient de leur être donnée, comme on a opéré sur elles dans leur direction première, on trouverait successivement, et par des constructions graphiques, les quantités
pt-n = IP /***. = ïPi-rf y!.
IH+I— SP.-rî/î;
Cette quantité p l+ j est ce qu’on peut nommer un moment de l’ordre k-\- l des forces données. Dans la pratique, on ne fait guère usage que des moments des deux premiers ordres. Ceux du premier ordre sont de la forme
ïP
ce sont les moments statiques ou les moments des forces données relativement à une droite afi, tels que nous les avons déGnis au § 77. Ceux du second ordre sont de l’une des deux formes
IP,X/ OU iPjJvy'y.
Le premier est le moment d'inertie relativement à la droite a(3. Ainsi l’on nomme moment d’inertie d’un système de forces parallèles dont les points d’application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, la somme des produits de ces forces par les carrés des distances de leurs points d’application à la droite. On donne au moment d’inertie d’une force le signe de cette force.
Si on pose
ïPjx/ =±.r"Z P„
»• est une longueur que l’on nomme le rayon de gj ration du système des forces données relativement à la droite a{3.
Remarque. — On voit que la construction graphique, des moments des divers ordres, et, en particulier, celle des moments statiques et des moments d’inertie, n 'offre aucune difficulté et découle d’une façon très-remarquable de l’emploi du polygone des forces et du polygone funiculaire.
Lorsque les forces données, au lieu d’ètre en nombre Gni, sont inGnimcnt voisines, les polygones funiculaires sont remplacés par des courbes. On devra dans ce cas, si l’on veut opérer graphique-
188 DÉTERMIN ATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D ORDRE SUPÉRIEUR ment, remplacer les forces données par un nombre fini de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir approximativement tenir lieu des forces données ou bien chercher l'expression analytique du moment à déterminer et construire ensuite cette expression.
Nous donnerons plus loin quelques exemples pour indiquer la marche à suivre; mais auparavant nous allons faire une étude plus complète des moments d'inertie si usités dans les applications de la Mécanique aux constructions.
DES MOMENTS D'INERTIE RELATIFS A DES AXES PARALLÈLES OD CON- COURANTS. — On comprend qu'entre les moments d’inertie d’un système de forces donné, relativement aux différents axes que l’on peut tracer dans le plan de leurs points d'application, il doit exister certaines dépendances.
Ces dépendances sont très-utiles à connaître : nous allons les exposer succinctement, en nous bornant au cas où toutes les forces sout de même sens.
Théorème I. — Le rayon de gyration d'un système de forces relativement à un axe quelconque est égal à t hypoténuse d'un triangle rectangle ayant, pour côtés de l'angle droit : i 0 le rayon de gyration relativement à un axe parallèle à celui que l'on considère et passant par le centre des forces parallèles données ; 2 ° la distance entre ces deux axes.
En effet, soient [fi g . 95, PI. XXI ) x, les distances des points d’application des forces données à un axe ZZ'; soient x' ces mêmes distances à un axe Z, Z’, parallèle à ZZ' et passant par le centre G Üés’ forces parallèles données; cnGn soit a la distance entre ces xlcux axes. On aura
d’où
lP,x? = ïP.fxy -ha)'— ï P;xJ 1 -f- ï P, a* -t 2 IP, y, a ou, en mettant en facteur la constante a,
2P/X*= lP,x;> -f- tv T P, — lal ;
mais , en vertu du théorème sur les moments des forces parallèles,
DES FORCES PARALLÈLES
SP, x\ — o ; car cette quantité est égale à SP,, multiplié par la distance du centre des forces parallèles à Z, ZT, : or cette distance est nulle puisque Z, Z', passe parce centre. Donc
ïP,x’ , iP,^’
~TpT ~ a ^TpT’
c'est-à-dire que le carré du rayon de gyration relatif à ZZ f est égal au carré du rayon de gyration relatif à Z,Z', plus le carré de la distance entreZZ'etZ|Z',, ce qui démontre le théorème énoncé.
Théorème II. — Si, sur les diverses lignes issues d'un point quelconque d'un plan, on porte des longueurs inversement proportionnelles aux rayons de gyration relativement à ces lignes, le lieu des extrémités de ces longueurs est une ellipse.
Soient {fi g- 94, PL XXI) C un point quelconque du plan ; Cj/, Cj' deux axes de coordonnées rectangulaires et C u une droite quelconque formant un angle a avec l’axe Cx / .
Le moment d’inertie d’une force P,, relativement à la droite Cu, est, en désignant par xi et y les coordonnées de son point d’application ,
P /(jr t cos a — j-j sin a)*,
et le moment d’inertie de toutes les forces données relativement à Cu sera
iPi (/i cos a — x| sin a)’.
Si donc on appelle r le rayon de gyration relatif à cette ligne, on aura
f’ZPj = lP/(yî cos a — x| sin a)’ ou
^IP, — ïPy’cos’a -+- IPjxi’sin'a — 2 1 P,x' ri sin a cos a, et en posant
a , ’lP, = lP / *i\ A’ 1 IP, = ïPtfi’, c"îP i =ïP i xjy,
(A) r* — b " cos’ a -H a' 1 sin’ a — 2 c’ 1 cos a sin a.
Portons sur Cu une longueur
ÇW&T*»
vaÆ-.V
190 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR d (Haut une constante que l’on peut choisir arbitrairement. Si x' et y' désignent les coordonnées du point M, on aura
, d , d ■ x — - cos a, y = - sin a.
Si on tire de là les valeurs de cos a et de sin a et qu’on les porte dans l’équation (A), r* disparaitra en facteur commun; et il viendra
(i) + — •xd'xij’—d',
où a! et b' sont les rayons de gyration relatifs aux axes des y' et des x' et c" le rapport
