TÊT
équation d’une ellipse.
ELLIPSE D'INERTIE ET AXES PRINCIPAUX. — ELLIPSE CENTRALE ET AXES CENTRAUX. — Si l’on avait pris deux autres axes de coordonnées rectangulaires Cx et C y, on aurait obtenu une équation de la même forme, c’est-à-dire une équation telle que
b'x ’ -h a'y * — ic'xy — d 1 ,
où a et b eussent désigné les rayons de gyration relatifs aux nouveaux axes, et c le rapport
Supposons qu’on prenne pour axes des x et des y les axes principaux de la courbe.
Pour ces axes on aura c = o, c'est-à-dire
2 P, x;jr, = o.
La courbe (i), rapportée à ces axes, prend la forme b’x 1 -*s a’x’— d’,
DES FORCES PARALLELES
et, en faisant la constante d * = a* b'.
où a et h sont les rayons de gyration relativement aux axes principaux passant au point c, savoir : a le rayon de gyration relatif à l’axe des y, çt b le rayon de gyration relatif à l’axe des x, c’est-à-dire que
a -3pT’
Ui
Remarque. — On donne au moment d’inertie d’une force le même signe qu’à cette force.
Si toutes les forces sont dirigées dans le môme sens, on le prend pour sens positif, et alors le moment d’inertie de chaque force, relativement à un axe quelconque, étant positif, il en est de môme du moment d'inertie de leur ensemble. En ce cas, a' et b' sont essentiellement positifs, et la courbe (a) ou (i) est une ellipse.
Si, au contraire, les forces données ne sont pas toutes dirigées dans le môme sens, il peut arriver que les moments d’inertie du système de ces forces, relativement aux deux axes principaux passant au pointC, soient désignas contraires, c'est-à-dire (pie l’une des quantités a 1 ou b' soit à remplacer par — a’ ou — b'. Ces quantités se trouvant alors de signes contraires, la courbe (t) ou (a) est une hyperbole.
La courbe (a), relative à un point C du plan, est nommée la courbe ou conique d’inertie relative à ce point; scs axes principaux sont appelés les axes principaux d’inertie, ou simplement les axes principaux relatifs à ce même point. Lorsque le point C coïncide avec le centre des forces parallèles, la conique d’inertie relative à ce point prend le nom de conique centrale, et ses axes principaux le nom d’axes centraux du système des forces données.
On voit qu’en chaque point les axes principaux sont tels que, si on les prend par axes des coordonnées x et y, on a
On est certain qu’en chaque point il existe deux axes rectangulaires pour lesquels cette relation est satisfaite.
J U'Wi'i (A.
CARACTÈRE SES DIAMÈTRES COHJDGDÉS DES COHHHJES D’DIERTII. —
Soient {Jig. 96, PL XXI) deux axes rectangulaires Cx' et C y' , passant par un point quelconque G du plan. L’équation de la conique relative au point C peut s’écrire, comme nous venons de le voir,
(l bis) b’'x' 1 -+- a? 1 y' 1 — ic” P y — d 1 ,
où
et d * est une constante.
Prenons un nouvel axe C y" formant avec Cx' un angle 6, et soient x" et y" les nouvelles coordonnées. On aura
(b) y~y sin8, x"zx x'-t-y'cosS,
en sorte que l’équation (i bis), rapportée aux nouveaux axes, sera
a' 1 x”- -f- la"- co s 9 j xf y -+- b’ cos’ 9 — ar'sin 9 | -i-|J’sin’0
— ae'’sin8cos9
La formule (A) du § 142 montre, et il est d’ailleurs évident, que le coefficient dej "* est le carré du rayon de gyration relatif à l’axe Ç y" . Soit 6, ce rayon. Posons de plus
De la formule (b) on déduit
y-AL
siu 9
. , n cos 9
et r, = x, — ’ - >
sinO
d’où
Ay\ =
xf, y, cos 9 ,,
sin8 sinO ’
et
2P ( .r ( 'ri cos 8 2 P/.rJ’
2 P, siu 0
2P i sin9 2 Pî.
DES FORCES PARALLÈLES
ou
ou enfin
u' 1 cns9 siuO
a’’Cos9 — c'VsinO — — c) sin’S.
Donc l’équation (a) peut s’écrire
u' , x"’ — 2 sin’ScJ ^y-t- b ’ y"’ = a~.
Si les axes C x" et Cj " sont deux diamètres conjugués de la conique centrale, le terme en x" y" disparait de cette dernière équation, c’est-à-dire que c, = o.
Ainsi les diamètres conjugués sont caractérisés par la relation
(a) lP,xl}' = 0.
Si les lignes Cx" et C y” sont rectangulaires, la formule (a) caractérise les axes principaux: c’est ce que nous savions déjà.
Remarque. — Si du point dont les coordonnées sont x" et j " on abaisse sur Cx" et C y" des perpendiculaires q et p, on aura
siuO
donc, a* et j \ étant les coordonnées du point d’application de la force P,, et p, et q t étant les distances de ce point aux axes Cx" et Cj", ou aura
> Pi „ qi
et par suite
2P ‘ r ‘- r ‘ = SpB “ P ’ /’■?■•
Donc l’équation (a), qui caractérise les diamètres’ conjugués Cx" et Çj", peut encore s’écrire
WiPili — °-
NOUVELLE DÉFINITION DE LA CONIOUE D’INEBTIE. — Si à chacune des droites Ce (Jig . 97), issues d’un point C du plan, on mène deux
m DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D ORDRE SUPÉRIEUR parallèles RK', K, K’, distantes d9 la droite Ce, d’une longueur égale au rayon de gyration relatif à cette droite, la conique d’inertie définie par l'équation (a) du § 1 13 peut encore être définie l’enveloppe des ligues KK' ou K, K”, . Soit, en effet, Cula direction du diamètre conjugué à la ligne quelconque Ce dans la conique (a), et soient CA. — al et CIÎ — b' les longueurs des demi-diamètres conjugués dirigés suivant Cu et Ce, et 6 leur angle «Ce. En vertu de la définition de la conique (a) (J 113), si /• est le rayon de gyration relatif à l’axe Ce, on a
fi ah
a et b désignant les demi-axes de la conique; mais on a, en vertu d’un théorème bien connu,
d’où
ab : a' A'sinO,
a' b' sin 9
r— ; — a smB,
c’est-à-dire que le rayon de gyration relatif à Ce est la longueur de la perpendiculaire AP abaissée, sur celte ligne, par l’extrémité A de son diamètre coujugué; et comme la tangente en A est parallèle à Ce, on voit que cette tangente coïncide avec la ligne RK', ce qu’il fallait démontrer.
