DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR

RECHERCHE DES MOMENTS D'INERTIE ET DE U COURBE CENTRALE D'INERTIE. — Nous avons déjà vu (§ 141 ) que, quand ou a un nombre limité de forces, leur moment d’inertie relatif à un axe quelconque se trouve graphiquement, sans difficulté, en faisant usage du polygone des forces et du polygone funiculaire. Par suite, on peut trouver graphiquement les éléments nécessaires au tracé de laconique centrale.

Lorsque les forces données sont en nombre illimité, comme cela a lieu pour les forces de la pesanteur agissant sur les divers points d’une surface plane supposée matérialisée, les procédés graphiques permettent encore de trouver approximativement les moments d’inertie. 11 suffit de remplacer les forces données en nombre illimité par un nombre fini de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir, approximativement, tenir lieu des forces données.

Dans ce cas, on fait souvent usage aussi du Calcul intégral pour déterminer l’expression analytique des moments d'inertie, sauf à construire ensuite ces expressions par les procédés du calcul graphique.

Si p est la densité au point m de l’aire (A) rapportée à deux axes rectangulaires, le moment d’inertie de cette aire est

l — f fpy'djrdj-,

son aire est

« — / fpd-rdy, et le rayon de gyration r est

Si la surface est homogène, le moment d’inertie de la bande ajj* 7 $ ( fi g- 98, Pl. A XI), de hauteur dy, est

p.all.y'/fy .

a(Z est une fonction de y, définie par le contour qui limite l’aire donnée (A). Si

»P=/Cr).

DES FORCES PARALLÈLES

le moment d'inertie de l’aire donnée sera

?fr'f(y) d y<

son poids étant

ef/{x) d xi

le rayon de gyration sera donné par

~ SfKr)dy'

la densité p disparaît.

On peut parfois remplacer le Calcul intégral par la règle suivante : Soit» la distance à OX du centre de gravité de l’aire (A). Le théorème des moments donne

— SS^r dxd ï-

Considérons un cylindre ayant pour base le périmètre de l’aire donnée ( A) et ayant ses génératrices normales au plan de cette aire, ce cylindre étant limité par un plan passant par OX et incliné à 45 degrés sur le plan donné. Soit », la distance à OX de la projection sur le plan ( A) du centre de gravité du cylindre. Le volume de l’élément cylindrique ayant pour base dx dy sera ydx dy, son poids pydxdy ; son moment py'dxdy. Donc le théorème des moments donnera

»■ I S ?y dx d y = S fpy ' dr d x-

Multipliant membre à membre les deux dernières égalités «a supprimant le facteur J J pydxdy commun aux deux membres, il vient

d’où

•w. //p drd y = S J? y 1 dxd y<

SSpy ,dr d y— r , SJf dxd y

Ainsi le rayon de gyration cherché est la moyenne géométrique entre les distances » et », . M. Bresse donne ce procédé dans son Cours de Résistance des matériaux professé à i Ecole des Ponts et Chaussées .

20â DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR

RECTANGLE HOMOGÈNE. — Appliquons-lc à la recherche du moment d’inertie d’un rectangle homogène YY'ZZ' ( Jig . 102, PL XXII), relativement à l’un de scs côtés, au côté YY' par exemple. Soient YY' = a, Y' Z' = b.

On a, pour la distance r du centre de gravité du rectangle à l’axe YY',

Maintenant élevons en Z et Z' des perpendiculaires ZZ, , Z'Z’, jusqu’à leur rencontre en Z, et Z',, avec un plan incliné à 45 degrés, mené par YY'. Nous formerons un prisme : son centre de gravité sera sur la ligne gg' joignant les centres de gravité des triangles YZ,Z et Y'Z’,Z'. La projection g, g\ de cette ligne sera à une distance de Y Y'

Donc

r’=z un.

Le Calcul intégral fournirait le même résultat; car, en considérant une bande apa'js' de hauteur dy, distante de y de la ligne YV, son moment d’inertie sera aj ' dy, et le moment d’inertie du rectangle sera

Donc le carré du rayon de gyration, égal au moment d’inertie divisé par la surface ab du rectangle, sera

Avant le rayon de gyration de l’aire d’un rectangle relativement

DES FORCES PARALLELES

à l’nn de scs côtés, on en déduit immédiatement celui qui est relatif à une parallèle YY' (ftg- 103, PI. XXII ) à ce côté, passant par le centre du rectangle. Ce dernier sera donné {§ 1-42) par la formule

d’où

De même, le rayon de gyration relatif à un axe Z, Z',, perpendiculaire au précédent et passant par le centre du rectangle, serait

Ces résultats se déduiraient aussi facilement du Calcul intégral. Il est évident que les axes de symétrie du rectangle sont les axes principaux d’inertie (§ 1S1). Donc l’ellipse centrale du rectangle a ses axes dirigés suivant Y', Y", et Z, Z\ , et les grandeurs de ses demi -axes a b ,

sont et — - ; son équation sera donc

fl’ b 1

TRIANGLE. — Pour avoir le rayon de gyration d’un triangle ABC {fi g- 104, PL XXII) relativement à l’un de ses côtés, à BC par exemple, nous remarquerons que la distance r, du centre de gravité du triangle au côté BC est

en appelant h la longueur de la perpendiculaire AP abaissée, du sommet A, sur le côté BC. Élevons en A une normale au plan du triangle et prenons sur celle normale une longueur AA' égale à AP. Le centre de gravité du tétraèdre ayant pour sommets B, C, A et A'

201 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR (§ 102) est au milieu O de la ligne IJ qui joint les milieux des arêtes opposées UC et AA'. La projection de O sur le plan du triangle sera, par suite, au milieu de la médiane AI. Donc

et, par suite, le rayon de gyration r sera

'= yiwt

yü’

c’est ce que le Calcul intégral indiquerait aussi. Soit,ene(Tet, liC — b la longueur du côté BC. Considérons la bande a{ i al js' de hauteur dy , distante dc> de la ligne BC. On aura

Donc le moment d’inertie de la bande a (3 a' (3' est «P X djr Xjr'= ~ (A — y)y'dy.

et le moment d’inertie du triangle

Ajr»

Le rayon de gyration étant r, on aura donc

AA t AA 1 2 12 ’

d’où

Sachant trouver le moment d’inertie d’un triangle relativement à un de ses côtés, on en déduit [fig- 105, PI. XXIII) son moment d’inertie relatif à un axe de direction quelconque Bu passant par

DES FORCES PARALLÈLES

un de scs sommets; car ce moment d’inertie est, suivant les cas, la somme ou la différence des moments d’inertie des deux triangles BAD et BCD, relativement à l'axe Bu qui est un de leurs côtés.

Si l’on veut maintenant trouver le moment d’inertie d’un triangle ABC, relatif à un axe quelconque xx 1 , on cherchera son moment relatif à un axe parallèle Bu, [fessant par un sommet B du triangle. On en déduira, par le théorème du § 142, le moment d'inertie relatif à un axe parallèle à Bu et passant par le centre de gravité G du triangle.

Enfin, de là et par le même théorème, on déduira le moment d’inertie cherché.

Si l’on veut trouver l’ellipse centrale d’un triangle ABC, il suffit de remarquer qu'une médiane AI [fig- 106, Pl. XXIII) étant une ligne diamétrale conjuguée au côté BC, qu’elle divise en deux parties égales, les lignes GA et GX, passant par le centre de gravité du triangle et dont la dernière est parallèle à BC, sont des diamètres conjugués de l’ellipse centrale (§ loi ).

Donc on n'aura qu’à chercher les moments d’inertie relatifs à ces deux lignes, pour tracer l’ellipse centrale.

Le carré du rayon de gyration relatif à BC étant - . , le carré du

rayon de gyration relatif à une parallèle à BC menée par le centre de gravité du triangle sera (§ 142)

Le carré du rayon de gyration du triangle ABC, relatif à la médiane AI, est double du carré du rayon de gyration relatif à AI du triangle

AIC. Ce dernier, en appelant k la longueur de la perpendiculaire

abaissée de C sur la médiane, est : le premier est donc — •

On a ainsi les éléments nécessaires au tracé de l’ellipse centrale. Si le triangle est isoscèle, les lignes GA et GX étant perpendiculaires sont les axes de l’ellipse centrale. Si b est la hase et h la hauteur du triangle, les carrés des deux rayons de gyration principaux

i06 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR seront

Si le triangle est équilatéral, une médiane quelconque est axe principal, ce qui exige que l’ellipse centrale se réduise à un cercle. C’est-ce qui a lieu aussi pour un po^ gone régulier quelconque, de même que pour un cercle ou un anneau circulaire.

HISSE ET COORÛTOfcitLIPXreïïE. GERCEE ET ANNEAU CIRCULAIRE. — Soit t JLg. 108, /'J, XXI II) une ellipse dont le grand axe AA' = a a et lé petit axe 1115' — ; ib. Prenons une zone a[3a'j3', de hauteur dy, m distante de y de l’axe AA', et de longueur *3 = ix. Son moment

d'inertie relatif à l’axe AA' est

* 2 xydf,

$t le moment d'inértio <1<) l’aire de l’ellipse sera

i vfxy'dy.

, L’équstion de l’ellipse est

On satisfait à cette équation, quel que soit l’angle 6, en posant

x : — a cos — i

y — b si n

c/y = - b cos - M , 2 2

et l’expression du moment d’inertie devient

• C 9 0 ah 1 C .

" ab l I cos * - sin* - dO — — v- I sin* 0 dÿ.

L’intégrale doit être prise entre -h ir et — n .

DES FORCES PARALLÈLES

sin’G =

i — cos 5 6

J' sin'Ô a

6 sin 2 fl

sin* B dB ~ ir.

Donc le moment d’inertie relatif à l’axe AA' est

et le rayon de gyration

irait*

V na*

On trouverait de même que le moment d’inertie relatif à l’axe 1515' est

ira 1 b

et le rayon de gyration correspondant, - a.

Comme les axes principaux de l’ellipse donnée sont nécessairement les axes centraux de l’ellipse centrale, cette ellipse sera semblable à la proposée et semblablement placée, et ses axes seront égaux aux demi-axes de la proposée.

Soit maintenant un anneau compris entre deux ellipses semblables et semblablement placées, dont l’une ait pour demi-axes a et b et l’autre ma et mb , m étant un nombre que nous supposons plus petit que l’unité.

Le moment d’inertie de^ l’anneau, relativement à l’axe 2 a, a pour expression

irait* itm*ab*

r. ah*

20« DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D’ORDRE SUPÉRIEUR L’aire (le l’anneau étant

itab[ i — m*).

Je rayon de gyration sera

V f = - d i 4 - ni*.

De même, le rayon de gyration relatif à l’axe ib sera

11 résulte de là que l’ellipse centrale sera semblable aux ellipses données, semblablement placée, et scs axes principaux seront

- V i -4- m’ et - v i 2 2

Jieman/ue. — Le moment d’inertie d’un cercle de rayon R, relatif à un diamètre quelconque, sera, d’après l’expression (a) ci-dessus, où l’on fait fl = à=R,

tr R*

le rayon de gyration est — • L’ellipse centrale est un cercle de rayon moitié de celui du cercle donne.

L’ellipse centrale d’une couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayons R et m R est un cercle de rayon

ÉTUDE DES FORCES PARALLÈLES, ETC