DÉTERMINATION' GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR

Voici un cas qui sc présente fréquemment, où l’on connaitd’avance les directions de deux diamètres conjugués.

Supposons (Jig. 101, PL XXII ) que des forces données soient deux à deux égales ; supposons, de plus, que les lignes au', a,a\ , a, a',, ..., qui joignent les points d’application des couples de forces égales, soient parallèles à une direction fixe XX', et qu’enfin les milieux des lignes un', a,a.\, a,a\ soient sur uue ligne droite YY'. Nous appellerons cette droite un diamètre du système des forces données.

Si un système de forces parallèles admet un diamètre, le centre G de ces forces est sur ce diamètre (*) . Soit X, X' t une parallèle menée par le point G à la direction des lignes que le diamètre divise en parties égales; je dis que les droites X,X', et Y Y' sont des diamètres conjugués de la conique centrale, c’est-à-dire (§ 144) que, si l’on rapporte cette conique aux axes GX' t et GY', en appelant x,” et y" les coordonnées du point d’application de l’une des forces données, ou aura

En effet, les points d’application a et té de deux forces égales ayant même ordonnée et des abscisses égales et de signes contraires donneront, dans la somme ci-dessus, un total nul ; il en est de même des deux forces égales appliquées en a, et en a\ , et ainsi de suite.

Habituellement on a à étudier les moments d’inertie d’aires limitées par des contours fermés, en supposant, comme on l’a déjà fait à l’occasion des centres de gravité, ces aires matérialisées et pesantes. Le moment d’inertie (ftg. 98, PI. XXI) d’une aire (A),

(*) Cela est évident : car le centre des deux forces appliquées en a et a' est sur ce diamètre; de même, le centre des deux forces appliquées en a , et a\, et ainsi de suite: 4onc le centre de toutes les forces données s’y trouve aussi, en vertu de la Remarque I du § 74.

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DES FORCES PARALLÈLES. l'J9

relativement à un axe OX, est le moment d’inertie des forces que la pesanteur exerce sur cette aire. Dans ce cas, toutes les forces étant dirigées dans le même sens, la courbe centrale est toujours une ellipse qu’on appelle l 'ellipse centrale d’inertie. Ses axes sont les axes centraux de l’aire donnée. Le carré du rayon de gyration relatif à un axe est le quotient du moment d’inertie relatif à cet axe par le poids de l’aire donnée ou par l’aire elle-même, si elle est homogène et de densité i (*).

Pour trouver l’ellipse centrale et pour connaître par suite (§ 1 48) le moment d’inertie de l’aire donnée, relativement à un axe quelconque pris dans son plan, il suffit, d’après ce qui précède, de connaître ses moments d’inertie relativement à trois lignes de directions quelconques passant par son centre de gravité, ou bien les moments d’inertie relatifs à deux de ces lignes que l’on sache d’avance être un système de diamètres conjugués de l’ellipse d’inertie.

Si une aire est décotnposable en plusieurs autres, le moment d’inertie de l’aire totale est la somme des moments d’inertie des aires partielles : il suffit donc de savoir trouver les moments d’inertie de ces dernières .

Si l’aire donnée admet un diamètre rectiligne, cette ligne qui passe par le centre de gravité de l’aire et une parallèle aux cordes qu’elle divise en parties égales, menée par le centre de gravité, forment (§ 149) un système de diamètres conjugués de l’ellipse centrale, en sorte qu’on pourra construire la courbe si l’on connaît les moments d’inertie relatifs à ces deux lignes.

De là on déduit que, si la surface comporte un axe de symétrie, cet axe et sa perpendiculaire, menée par le centre de gravité, sont les axes centraux de la surface.

(*) Plus souvent encore, on définit le moment d’inertie d’un corps: la somme des produits de la massn (et non du poids) de chacun de ses éléments par le carré de sa distance à une droite. On passe de ce moment d’inertie à celui que nous considérons en multipliant le premier par l’accélération g = 9,8088 à la gravité.