CHAPITRE XX

POLYÈDRES RÉCIPROQI ES.

Théorème. — Etant donné un poljèdre,on peut toujours trouver un second polyèdre tel que les sommets de chacun de ces deux polyèdres soient, relativement à un sy stème de forces données, les foy ers des faces de l'autre, et quen outre les arêtes des deux poly èdres soient conjuguées : ces deux polyèdres sont dits réciproques.

En efl'ct, soit ( P) un polyèdre : menons les plans focaux de ses différents sommets. Ces plans, par leurs intersections mutuelles, déterminent un second polyèdre (P'). Je dis d’abord que les arêtes de ce second polyèdre sont conjuguées de celles du premier ; car si { A ) est une arête du polyèdre donné, dont a et h sont les extrémités, les plans focaux de a et b seront, par construction, deux faces du second polyèdre, et l’intersection de ces plans sera une arête de ce second polyèdre. Or, d’après le théorème du § 172, cette arête est conjuguée de celle ( A).

Maintenant, les arêtes des deux polyèdres étant conjuguées, les arêtes conjuguées aux côtés d’une face plane du polyèdre donnée concourent en l’un des sommets du nouveau polyèdre, en sorte que ecs sommets sont bien les foyers des faces du polyèdre donné.

Remarque I . — Si ni, n, p représentent le nombre des arêtes, le nombre des sommets et le nombre des faces planes du polyèdre donné, on a, d’après un théorème d’Euler,

Si m'. n', p' sont les nombres analogues pour le second polyèdre, on a

m' — n, n' — m, p' — p , d’où, comme cela doit être,

POLYÈDRES RÉCIPROQUES. 227

Remarque II. — Deux polyèdres réciproques sont inscrits cl circonscrits l'un à l’autre.

Théorème. — Les projections de deux polyèdres réciproques , relativement à un syteme de forces, sur un plan perpendiculaire à sa résultante de translation, sont des figures planes réciproques { *).

Car ces projections ont (§ 173) leurs côtés correspondants parallèles; d’ailleurs à tout système d’arètes concourantes de l’un des polyèdres réciproques, correspond, dans l’autre, un polygone plan fermé; donc à tout nœud de l’une des ligures projetées correspond, dans l’autre, un polygone fermé.

Corollaire. — Toute figure plane susceptible d’étre regardée comme la projection d'un polyèdre admet une figure réciproque.

Cette manière d’envisager les figures réciproques de la Statique graphique est dueà M. Crcmona. Elle conduit facilement aux principales propriétés de ces figures.

Ainsi considérons une pyramide ayant pour base un polygone plan fermé. Son polyèdre réciproque sera une seconde pyramide ayant pour base le polygone fermé réciproque des arêtes émanant du sommet S de la pyramide donnée, et pour sommet le foyer de la base de cette pyramide.

Si l’on projette ces deux pyramides, on aura deux figures réciproques {ftg- 13 et 1 5, PI. 111), formées chacune d’un polygone fermé et de rayons partant des sommets de ccs polygones. Si les pyramides se réduisent à des tétraèdres, on aura la ligure formée par les six lignes qui joignent quatre points d’un plan cl sa réciproque 13 et t3, PL III).

Considérons une pyramide ayant son sommet en O et pour base un polygone fermé gauche. Sa projection sera un polygone fermé

(*) Quand, dans ce qui va suivre, nous parlerons do projections de figures réciproque», il sera entendu que la projection aura toujours lieu sur un plan perpendiculaire il la résultante de translation du système de forces relativement auquel les figures sont réciproques.

m POLYÈDRES RÉCIPROQUES.

cl des rayons issus d’un point O (Jig. 32, Pt. F 1). Cherchons la

réciproque de cette pyramide.

La réciproque des arêtes émanées du point O sera un polygone plan fermé P situé dans le plan focal de O. Les réciproques des côtés du polvgouc gauche formeront (§ 170) un autre polygone gauche dont les cotés passeront par les sommets du polygone P; car, si A et A' sont deux arêtes consécutives issues de O, le côté du polygone gauche situé dans le plan de ces deux arêtes aura pour conjuguée une droite passant par l’intersection des conjuguées de A et de A': donc la réciproque sera formée d’un polygone plan et de lignes passant par les sommets decc polygone. Si nous la projetons, le polygone plan fermé P se projettera suivant un polygone fermé P' et les côtés du polygone ganchc se projetteront suivant des lignes partant des sommets de P'. Les côtés de P 7 serout d’ailleurs parallèles aux v rayons issus deO, et les autres lignes seront parallèles au polygone • fermé de la figure. Un voit donc que la réciproque se projettera suivant un système de lignes et le polygone funiculaire de ces lignes relativement au pôle O (Jig. 22, PI. F'I).

Considérons maintenant un poly gone gauche fermé dont les sommets soient unis à deux [joints O et O' de l’espace. Les figures réciproques des arêtes émanées de Oet O’ soûl deux polygones plans P et P* situés dans les plans focaux des points O et O' et les réciproques des côtés du polygone gauche sont les droites qui joignent les sommets correspondants de P et P': donc, en projetant les deux polyèdres, on aura, d’une part, un polygone fermé et les rayons issus de deux points O et O', et d’autre part un système de lignes et leurs polygones funiculaires relatifs aux pôles O et O'. On voit d’ailleurs de suite que les points d’intersection des côtés correspondants de deux polygones funiculaires doivent être tous placés sur une droite parallèle à OU'; car, dans l’espace, les côtés correspondants des polygones P et P' se coupent tous sur la ligne d’intersection des plans de ces polygones, laquelle ligne est conjuguée de ce lie OO' (Jig. 17 et i y, Pt. IF r ). -Sous retrouvons donc aiusi le théorème établi au § 32.

POLYÈDRES RÉCIPROQUES

Considérons enfin une portion quelconque de surface polyédrique, une sorte de calotte polyédrique dont le bord soit un polygone gauche fermé P. Joignons les sommets de ce polygone a un point O de l’espace. Cherchons la réciproque de la figure ainsi formée.

La réciproque du polygone gauche P est un autre polygone gauche fermé $ (§ 170) ; les réciproques des lignes issues de O et aboutissant aux divers sommets de P forment tin polygone plan II dont les sommets sont sur les côtés de î (§ 170), en sorte que la réciproque de cette première partie de la figure se compose du polygone plan II des divers sommets duquel partent les lignes formant les côtés d'uu ' polygone gauche T.

Maintenant toute arête L de la surface polyédrale, aboutissant en un sommet du bord P, admettra pour réciproque une ligne partant d’un des sommets de •? (§ 170). On aura donc une série de lignes ^partant des sommets de ï; de ces lignes .Ç partiront de nouvelles lignes, réciproques de celles qui, dans la figure proposée, rencontrent les lignes L, et ainsi de suite. Si l’on projette la figure donnée cl sa réciproque, la première se projettera suivant une figure comme celle 64 (PI. XIII), où O est la projection de O et où la projection l v du bord P de la surface polyédrale donnée est indiquée par des lignes doubles.

La figure réciproque se projettera suivant une figure comme celle B i (PI. XIII). La projection II' du polygone plan II est indiquée en pointillé : ce sont les ligues réciproques de celles issues de O, dans la Jîg. 6 4- Les lignes partant de II' sont les projections des côtés du polygone l S ; elles sont réciproques de celles indiquées en doubles lignes sur la Jig. 64 : les autres lignes de la figure peuvent évidemment être considérées comme les lignes d’une ossature plane en charpente, et alors les lignes réciproques du polygone P' peuvent être regardées comme les lignes d’action de forces agissant sur cette charpente et ayant pour grandeurs les côtés du polygone P'. Ces forces admettent alors le polygone pointillé II' pour polygone funiculaire relatif au pôle O; et comme la figure formée par la charpente, les lignes d’action des forces qui la sollicitent et les côtés du polygone funiculaire admet une figure réciproque, les forces dont il s’agit maintiennent la charpente en équilibre et les ligues de la figure

POLYÈDRES RÉCIPROQUES, réciproque indiquent un mode de tension des barres de la charpente. Nous n’insisterons pas davantage sur celte nouvelle manière d’envisager les figures réciproques de la Statique graphique, après la théorie complète et élémentaire que nous en avons donnée dans le cours de ect Ouvrage.