CHAPITRE XIX

COMPOSITION DES FORCES DANS l’eSPÀCE.

LES FORCES SE L'ESPACE H ‘ADMETTENT PAS EN GÉNÉRAL DE POLTGONES FUNICULAIRES. — J.a notion du polygone funiculaire, si utile dans la composition des forces situées dans un plan, n’a pas son analogue dans l'espace.

Etant donné un système de forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan, ou peut toujours trouver (§61 bis) une infinité de polygones tels, que les forces données, si on les suppose appliquées aux divers sommets de l’un de ces polygones, le maintiennent en équilibre, si on en rend les deux extrémités fixes.

De tels polygones n’existent pas, en général, à l’égard de forces distribuées d’une manière quelconque dans l’espace. En ellèt, s’il en existe un, chacun de ses sommets doit être en équilibre sous l’action de la force qui y est appliquée et des tensions des deux côtés adjacents. 11 faut pour cela, d’après la règle du triangle des forces, que la ligne d’action de chaque force et les deux côtés du polygone qui concourent sur cette ligne soient dans un même plan. Si cette condition est remplie, on pourra décomposer chaque force en deux

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suivant les deux cotes qui y concourent, ce qui remplacera le système des forces données par un système de forces équivalentes, toutes dirigées suivant les côtés du polygone funiculaire. Suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, seront dirigées deux forces qui devront être égales et opposées pour que le polygone demeure en équilibre lorsqu’on en fixe les deux extrémités.

Ainsi il faut : i° que chaque force soit située dans le plan des deux côtés du polygone qui lui sont adjacents; a° que les deux composantes des forces données, dirigées suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, soient égales et opposées.

Quand toutes les forces données sont situées dans un même plan, la première de ces conditions se trouve remplie d'elle-mèmc et l’on peut alors d’une infinité de manières satisfaire à la seconde; mais, dans l’espace, la nécessité de satisfaire à la première suffit pour déterminer un polygone dès qu’un seul de scs côlés est donné, et alors la seconde ne peut en général pas être remplie. Ainsi soient (Jig- 111, PI. -VA III) les forces données

Proposons-nous de déterminer, s’il se peut, un polygone funiculaire dont soit un des côtés. Si, par les deux lignes <7 0 <i, et P„ on fait passer un plan qui coupe P, en la ligne a, a, sera nécessairement le deuxième côté du polygone cherché; si, par cette ligne et par P,, on fait passer un plan qui coupe P,en <i a , la ligne <i,«, sera le troisième côté du polvgonc cherché, et ainsi de suite. Si maintenant on décompose chacune des forces données en deux, suivant les deux côtés qui y concourent, il n’y aura aucune raison pour que la composante de P, suivant le côté a, n, soit égale et opposée à celle de P, suivant ce même côté; pour que la composante de P, suivant le côté <i,n, soit égale et opposée à celle de P, suivant le même côté, et ainsi de suite.

On voit donc qu’en général un système de forces, dans l’espace, n’admet pas de polygones funiculaires.

POLYÈDRE FUNICULAIRE DE RANCUNE, SA COMPLICATION Ranckine a

considéré, à l’égard des forces de l’espace, ce qu’il a appelé des

SiO

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polyèdres funiculaires. Le polyèdre funiculaire de Ranckinc est fondé sur ce théorème facile à établir : Des forces concourantes , normales aux faces d 'un polyèdre ferme et proportionnelles aux aires de ces faces, forment un système en équilibre (*). Mais la conception de Ranckinc, qui conduit à représenter les forces par des aires cl à considérer dans l'espace des ligures formées d’une suite de cellules polj cdrales accolées comme les cellules d'une ruche, n’a pas eu jusqu’ici d’applications : nous ne nous y arrêterons donc pas (**).

PYRAMIDE FUNICULAIRE. — Voici une autre extension du polygone funiculaire qui nous semble plus conforme à la nature des choses. Sans y attacher plus d’importance qu’il ne convient, tant du moins qu’on ti en aura pas déduit des conséquences graphiques faciles, nous l’exposerons en quelques mots, d'autant qu’elle nous fournira une démonstration simple du théorème fondamental de la composition des forces dans l’espace.

Nous ferons d’abord ces deux remarques évidentes.

Remarque I. — Une force peut toujours être décomposée eu deux autres, dont l’une passe par un point donné O, et dont l’autre rencontre une droite donnée D.

Car, si C est la trace de la droite donuée sur le plan passant par O et par la ligue d’action F de la force donnée, et qu’on prenne sur celte dernière ligne un point quelconque a, on pourra toujours décomposer la force donnée suivant les lignes aO et nC, puisque ces ligues et la ligne F sont dans un même plan.

Remarque 11 . — Ou peut toujours décomposer une force F en trois autres : l’une donnée arbitrairement en grandeur, direction et sens; la deuxième passant par un point donné, la troisième rencontrant une droite donnée.

(*) M. Chasles a démontré ce théorème dès 1829 dans le Bulletin de M. le baron de Férussac.

(••) La plus simple de ces figures serait composée des cinq tétraèdres ayant pour arêtes les dix lignes joignant cin«i points de l’espace. Ce serait l’analogue de la figure plane, formée par les six lignes joignant quatre points d’un plan.

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Car, prenant un point a sur la ligne d’action de la force F, on peut d’abord décomposer cette force en deux autres, dont l’une passe par a et soit égale en grandeur, direction et sens à une force donnée; la seconde composante sera alors entièrement déterminée, d’après la règle du parallélogramme des forces. Cette seconde composante pourra, à son tour, d’après la Remarque ci-dessus, être décomposée en deux, l’une passant par un point donné, l’autre rencontrant une droite donnée. La force F sera ainsi décomposée en trois, suivant les conditions indiquées.

Cela étant, soit un système de forces

Ces forces sont représentées sur la fi g. 111 ( PL XXI II) où i — 6.

Prenons sur la ligne d’action de la force P, un point quelconque n, , et décomposons cette force eu trois autres : l’une suivant une ligne (i|«„ arbitraire en grandeur, direction et sens, la deuxième a t O passant par un point quelconque O de l’espace, la troisième «, «„ rencontrant la ligne d’action de la force P,. Soit a, ce point de rencontre ; décomposons P, en trois : l’une suivant o,a, égale et opposée à la composante de P, dirigée suivant cette ligne , la deuxième passant par O, la troisième rencontrant la ligne d’action de la force P«. Soit a, ce point de rencontre; décomposons P, en trois : l’une suivant a,n, égale et opposée à la composante de P, dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant par O, la troisième rencontrant la ligne d’action de la force P, .

On continuera ainsi jusqu’à la dernière force P ; qu’on décomposera en trois : l’une suivant ai égale et opposée à la composante de P,! , dirigée suivant cette ligne, la seconde passant p:.r le point O, la troisième rencontrant la ligne arbitrairement donnée «, a 0 -

Nous avons donc substitué, au système des forces données, un système de forces équivalentes, les unes passant par le point O, les autres diiigées suivant les côtés du polygone aoa,a i a, . . .a,. Les premières étant concourantes se composent en une seule (§ 42] ; celles qui sont dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone se détruisent comme étant deux à deux égales et opposées ; celles qui sont dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone se composent en une seule, puisque ces côtés se rencontrent. Le sys-

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lème des forces données se trouve donc réduit à deux forces, dont l’une passe par le point arbitraire O. Ainsi, nous arrivons à ce théorème fondamental de la Statique :

Théorème. — Des forces distribuées d'une manière quelconque dans l’espace peuvent être réduites à deux , dont i une passe par un point arbitraire.

Si nous considérons la pyramide ayant son sommet en O, et pour base le polvgonefl 0 fli a,as....,fl,- et qu’on fixe : i° un point de chacun des côtés extrêmes de ce polygone; a° le sommet O, la pyramide sera évidemment en équilibre sous l’action des forces données, puisque les forces passant par O et celles dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone sont détruites par la fixité des trois points O, «o, fl, et que les autres forces dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone se détruisent deux à deux. Cette pyramide a donc la plus grande analogie avec le polygone funiculaire, et on pourrait l’appeler la pyramide funiculaire relative au point O.

Si le système des forces données est en équilibre, alors les deux forces auxquelles on le réduit doivent être égales et opposées, ce qui exige que la résultante des forces passant par le poiut O et des deux forces dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone funiculaire soient daus un même plan; en d’autres termes, la pyramide funiculaire sera, dans ce cas, fermée.

Si le point O passe à l'infini suivant une direction quelconque, la pyramide devient un prisme et la section du prisme par un plan quelconque (P) est un polygone funiculaire, à savoir, un des polygones funiculaires du système des forces données, projetées sur le plan (P), suivant une direction parallèle à l'arête du prisme.

]\ous ne nous arrêterons pas davantage à ces considérations et à ces analogies de la pyramide funiculaire avec le polygone funiculaire, et nous passons de suite à l’étude des conséquences que l’on peut déduire de la réduction d’un système de forces à deux.

Théorème. — On peut toujours réduire un système de forces à deux, dont l'une ait pour ligne d action une droite arbitraire-

COMPOSITION' DES FORCES DANS L'ESPACE

ment donnée dans l'espace; la ligne d'action de la seconde est alors entièrement déterminée.

En effet, soit D une droite arbitrairement donnée. Prenons sur D un point quelconque O {fig- 109, PI. XXIJI). On peut toujours (§ 168) réduire un système de forces à deux : R et Si dont l’une R passe par le point O. Par R et D faisons passer un plan qui rencontre Si en a. On peut décomposer R en deux, l’une suivant D, l’autre suivant Oa. On peut composer cette dernière force avec A: soit A la ligne d’action de la résultante; les forces R et A sont ainsi remplacées par deux autres, dont l'une passe par la droite arbitrairement donnée D ; et l’on voit que la ligne d’action A de la seconde est entièrement déterminée.

Remarque. — A toute droite D de l’espace correspond ainsi, relativement à un système de forces données, une autre droite A et une seule, et il est clair que, réciproquement, à la droite A correspond celle D. Ces deux droites réciproques sont dites conjuguées ou correspondantes relativement au système des forces données.

Théorème. — A deux droites concourantes correspondent deux autres droites concourantes dont le plan passe par le point de concours des premières .

En effet, aux droites Si et A (Jig- 109) qui concourent en n, correspondent les droites R et D qui concourent en O ; et le plan de R et D passe bien par le point a.

Inversement, aux droites R et D concourant en O, correspondent les droites concourantes A et A, dont le plan passe par O.

Corollaire I. — A un polygone gauche correspond un autre polygone gauche ; si le premier polygone est fermé, le second l’est également.

Corollaire II. — A toutes les droites concourant en un point de l’espace, correspondent les droites d'un plan passant par ce point. Réciproquement, à toutes les droites d’un plan correspondent toutes les droites concourant eu un point de ce plan.

221 COMPOSITION DES FORCES DANS L’ESPACE

DÉFINITIONS. — Le point où concourent toutes les droites conjuguées à celles qu'on peut tracer dans un plan est ce que nous appel lerons le foyer de ce plan.

Inversement, le plan qui contient toutes les droites conjuguées à celles qui se croisent eu un point de l’espace est ce que nous nommerons le plan focal de ce point.

Ainsi, relativement à un système de forces données, tout plan traversant l’espace renferme un foyer, et, inversement, parmi tous les plans se croisant en un point du l’espace, il en existe un, et un seul, qui est le plan focal de ce point.

Théorème. — Le lieu des foyers d’un faisceau de plans passant par une droite est une autre droite , à savoir : la conjuguée de la première.

En elfet, le foyer d’un plan est 171 ) la trace sur ce plan de la droite conjuguée à une droite quelconque D située dans ce plan : donc le lieu des foyers de tous les plans passant par D est la droite û conjuguée de D.

Corollaire. — En particulier, le lieu des foyers d’un faisceau de plans parallèles est une droite.

DÉFINITIONS. — Soit un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l’espace. Concevons qu’on les transporte toutes en un même point. Les forces ainsi transportées auront une résultante unique qu’on appelle la résultante de translation des forces données. * 1

Lcmme. — Quelle que soit la manière dont on réduit un système de forces à deux, la résultante de translation de ces deux forces est la même que celle des forces données.

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En cflet, pour réduire un système de forees à deux, on ne fait que composer des forces entre elles et les décomposer suivant la règle du parallélogramme des forces. Si l’on fait sur les forces transportées exactement les mêmes compositions et décompositions que sur les forces prises dans les positions qu’elles occupent réellement, on réduira ces dernières à deux et les premières à deux autres qui leur sont égales et parallèles, et dont la résultante représentera indifféremment la résultante de translation des forces données ou celle des forces auxquelles on les a réduites.

Théorème. — Deux droites conjuguées, relativement à un tème de forces, se projettent sur un plan perpendiculaire à la résultante de translation de ces forces, suivant deux lignes parallèles.

En effet, on peut (§ 169) concevoir les forces données réduites à deux, dirigées suivant les deux lignes conjuguées I) et A que l’on considère. Si l'on transporte ces deux forces parallèlement à ellesmêmes en un point de l’espace et qu’on les compose suivant la règle du parallélogramme des forces, on obtiendra la résultante de translation <les forces données. Or, si l'on projette les forces ainsi transportées sur un plan perpendiculaire à leur résultante, leurs projections seront évidemment deux forces égales et directement opposées. Donc, avant leur transport, ces forces se projetaient suivant deux forceségales, parallèles cl de sens opposés formant un couple.

Les lignes d’action des deux forces du couple, c’est-à-dire les projections des droites conjuguées D et A, sont donc parallèles.

POLYÈDRES RÉCIPROQUES

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