FIGURES RÉCIPROQUES DÉDUITES

cond degré, par rapport à laquelle les polyèdres (P) et (P') sont réciproques, a été prise au hasard, et si le plan sur lequel on les a projetés est iui-mème quelconque; mais je dis qu’elle se trouve acquise si la surface, par rapport à laquelle on a fait la transformation polaire, est un paraboloïdc de révolution, et si, de plus, le plan de projection est perpendiculaire à l’axe de ce paraboloïdc.

En ciTct, M. Chasles a démontré en 1829 (Bulletin de Fêrussac ) cette propriété très-simple et facile à vérifier : que la projection, sur un plan perpendiculaire à l’axe d’un paraboloïdc de révolution, de la courbe de contact de ce paraboloïdc avec un cône est un cercle ayant pour centre la projection du sommet du cône.

D’après cola, soient (d) et ( 5 ) deux droites réciproques, relativement à un paraboloïdc de révolution.

Supposons, [>our fixer les idées, que la droite [il) soit extérieure au paraboloïdc, en sorte que (d) est la ligne de contact des deux plans tangents au paraboloïdc menés par [il). Circonscrivons au paraboloïdc un cène ayant son sommet en un point quelconque s de la droite (d) et soit t la trace de celte droite sur le plan de contact. Si nous projetons, sur un plan perpendiculaire à l’axe du paraboloïdc, la courbe de contact et les deux lignes (0) et (il ) , la projection de la courbe sera un cercle ayant la projection du point s pour centre, en sorte que la projection de (d) sera un diamètre (il 1 ) de ce cercle. Soit t' la projection du point t.

Si par le point t 1 on mène des tangentes au cercle, la ligne de eonctact de res tangentes sera la projection ( â ') de (d); donc les droites ( d ') et ( 3 ') sont perpendiculaires entre elles, puisque l’une est un diamètre d’un cercle et l’autre la corde de contact de deux tangentes issues d’un pointdc ce diamètre.

Ainsi, dans la transformation relativement à un paraboloïdc de révolution, deux droites réciproques se projettent à angle droit sur un plan perpendiculaire à l’axe du paraboloïdc.

Par suite, les projections de deux polyèdres réciproques sont des figures telles, qu’à chaque ligne de l’une d’elles correspond une ligne perpendiculaire de l’autre et qu’à chaque système de lignes concourantes de l’une répond, dans l’autre, un polygone fermé. 11 suilitdonc de faire tourner l’une des figures d’un angledroit pour que les deux figures soient des figures réciproques de la Statique graphique. Une fois cette proposition établie, on en déduit immédiate-

DE LA TRANSFORMATION PARABOLIQt'E. S35

ment, comme nous l'avons fait au chapitre XX, les principales propriétés des polygones funiculaires et des ligures réciproques. On pourrait de cette façon exposer très-succinctement les principes de la Statique graphique; mais, bien que cette méthode n’ait rien que de très-élémentaire, nous avons préféré suivre une marcheplus élémentaire encore, mettant les applications usuelles de la Statique graphique à la portée de tous ceux qui ne possèdent, en fait de Mathématiques, que les principes de Géométrie et de Statique enseignés dans les cours professionnels.

SIR LA RECHERCHE DES TENSIONS