SOS
Allons maintenant un peu plus loin cl montrons qu'il est impossible, quelque hypothèse qu’on fasse sur les tensions des barres, même eu supposant certaines de ces tensions positives et d’autres négatives, de satisfaire aux conditions d’égale résistance. Pour cela, considérons les valeurs de f, qui annulent chacune des cinq tensions formant les premiers membres des équations ( a5 ) ; on trouve,
en vertu de cosp = - 1 c
pour r, -
- Qi L wp +
pour
»iup a
pour /,
smp
pour / 2
0 , sin fi
l)e là, en supposant i-f-
on déduit le tableau suivant :
t x VARIAIT
TKNSIONS
CONDITION S MiKRKSPONDAM 1 >
de
positive».
nlrallTe*.
par 1 é(|ualion >i pour la potoibilllé de l'égale rê»Otanre.
£ in/3 \ b)
sin/3 \ b )
0, b -s- ■?« sin t î a
c *) -r îfc'i' ^-ïf , r o,
£’(« — l'Jt-fc*,»'- «")-♦- 2 cV — «.
sin t 3 a
sin /à
»IU (i
/i cos ( 3
*i» r ji
A 5 («' — i" y — — îc’i’ — n, 1
' 1 h coi/i
— ib' t" — île i" — ac 1 *’ = o.
SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS
Les équations de la dernière colonne peuvent s’écrire, à cause de c' = b'-h h *,
(ïTl \
— («'-+■ «")(** -+- aA*) = o,
équations toutes impossibles, s' et t" étant deux nombres essentiellement positifs. On serait arrivé au même résultat si l’on avait sup-
, a b -l- a a pose i 4 - b <
Remarque:. — Il n’est pas surprenant que toutes les équations (27) renferment le facteur t! -(- t"; ce fait se produit pour tous les systèmes libres ou assujettis à des conditions n’iniluant que sur leur position. En effet, dans ce cas, l’équation (i 3 ) peut en vertu de celle (c) du § 10, être mise sous l’une des deux formes
ait?/
„ JF
- {t ' + n i-ajr=o.
L’exemple précédent fait bien ressortir l’inconvénient qu’il y a, au point de vue du bon emploi de la matière, à admettre, pour les systèmes de barres, des figures à lignes surabondantes; voici un autre exemple qui rend ce fait plus saillant encore.
Soit [f> g- HS, PI. XX IF) uu système de cinq barres
(a) FD, AF, FB, BD, DC,
dont les cinq dernières sont égales ; ces barres reposent sur trois points fixes et de niveau A, B, C. En raison de la fixité de ces points, les quatre dernières des barres (a) déterminent les sommets F et D, en sorte que la barre FD est surabondante. Je dis qu’il est impossible de faire en sorte que cette barre surabondante travaille à la
DANS LES SYSTÈMES DE BARRES
même pression que les autres sous l'action de deux charges verticales et égales /> appliquées aux sommets F et D. En eflêt, tout étant symétrique par rapport à la verticale du point B, il suffit d’étudier la déformation élastique de la demi-Ggure de droite. Si l’on suppose d’abord que les barres BD et CD se compriment toutes deux, comme elles sont égales, leurs raccourcissements seront égaux eu vertu des formules (ty bis) représentant les raccourcissements dans un système de barres d’égale résistance; donc, dans cette hypothèse, le point D s’abaisserait verticalement et viendrait, après la déformation de la figure, en un point d ; de même, le point F viendrait en f sur la verticale du point F, et, à cause de la symétrie, on aurait
F f— Dr/, d’où FD = fd,
c’est-à-dire que la longueur de la barre FD n’aurait pas changé : donc cette barre subirait une tension nulle, et toute la matière qui la compose serait perdue.
Si l’on suppose que l’une des deux barres BD et CI), la dernière, par exemple, se raccourcit, tandis que la première s’allonge, alors le point D viendra en d'. A cause de la symétrie, la ligne FD restera horizontale. Soit d le point où elle croise la verticale du point I) ; menons D j et ili perpendiculaires à Br/'; l’allongement de BD sera jd'\ l’allongement de FD sera 2 </</'; et comme
on aura, à cause des formules (17) et (17 bis) jd' > dd\
d’où résulterait, <1 fortiori,
id' ></</',
c’est-à-dire qu’un des cAtés de l’angle droit du triangle rectangle idd' serait plus grand que l’hypoténusc, ce qui est absurde. On verra de même que, quelque hypothèse qu’on fasse sur les signes des allongements des barres, il est impossible de faire en sorte que la figure se déforme de manière que toutes les barres travaillent de la même manière. 11 y a donc ici, comme dans l’exemple précédent, intérêt à supprimer la barre surabondante.
SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS
Nous venons de donner des exemples de systèmes à lignes surabondantes qu’il n’est pas possible de constituer en solides d’égale résistance, parce qu’ils ne satisfont pas à toutes les conditions d’égalité ou d’inégalité spécifiées au théorème V'. Nous allons donner maintenant quelques exemples de systèmes satisfaisant à ces conditions, et pouvant, par suite, subir l’égale résistance de la part d'un système de forces données, d’une infinité de manières, c'est-à-dire pour une infinité de > aleurs différentes données aux sections des barres.
Voici d'abord un procédé général permettant de constituer de tels systèmes : considérons un système de barres ne contenant pas de lignes surabondantes, en équilibre sous l’action de forces données; on pourra toujours (théorème IV), d'une manière et d’une seule, le constituer en système d’égale résistance. Supposons qu’il soit tel, et soient te, les sections de ses barres; désignons par (F) et (*!>) les formes géométriques qu’il affecte avant et après sa déformation élastique.
Admettons que la figure (F) soit telle, qu’en y traçant des lignes surabondantes de longueurs n ( -, les longueurs des lignes correspondantes, sur la figure (<!>], soient a,(i -f- «') ou n,(t — t" , l une ou l’autre de ces expressions pouvant se rapporter à tout ou partie des A lignes surabondantes. Cela revient à supposer qu’on satisfait aux k conditions d’égalité du théorème V, en prenant, parmi les a ,'" -1 figures déformées que l’on peut admettre pour (F), celle (<t>); mais je dis qu’en admettant cette figure on satisfait aussi aux conditions A'inégalitn du théorème V, de sorte que la figure (F), avec les k lignes surabondantes qu’on y a tracées, peut, d’une infinité de manières, être constituée en système d’égale résistance à l’égard des forces données.
Pour le démontrer, il suffit d’établir qu’on peut d’une infinité de manières satisfaire aux m — k équations que la Statique fournit entre les m tensions des barres, en donnant à chaque tension le signe qu’elle doit avoir pour que la figure (F) devienne après la déformation élastique. Or on le peut par hypothèse, d’une manière, en supposant aux k barres surabondantes des tensions nullcs, cl aux m — k autres, des tensions fournies par les équations de la
DANS LES SYSTÈMES DE BARRES
Statique; donc on le pourra d’une infinité d'autres manières en supposant aux A' premières des valeurs positives ou négatives [suivant qu'il s’agit de barres allongées ou raccourcies lors du passage de (F) à (4*)], suffisamment petites en valeur absolue pour que les signes des m — h dernières nu soient pas modifiés.
Soit un système de barres formé (Jig. 119, PI. XXI f) des trois triangles isoscèles AFB, FBD, BDC, ce système comportant un point fixe B, et les deux points A et C étant assujettis à se mouvoir sur des lignes horizontales. Ce système contient une ligne surabondante; car, si l’on se donne les trois cotés de chacun, des deux triangles BAF et BDC, ces triangles sont déterminés de forme; ils le sont, d’ailleurs, de position par la nécessité, pour chacun d’eux, d’avoir un de scs sommets en B, et l’autre sur l’horizontale AC; donc les points F et I), et, par suite, la longueur FD sont connus.
Supposons qu'aux deux sommets F et D on applique des forces verticales et égales entre elles p ; tout sera symétrique par rapport à la verticale du point B. Parmi les figures que l’on peut obtenir en donnant aux six lignes
