POLYÈDRES RÉCIPROQUES

Théorème. — Etant donné un polyèdre, on peut toujours trouver un second polyèdre tel que les sommets de chacun de ces deux polyèdres soient, relativement à un système de forces données, les foyers des faces de l^ autre, et qu^en outre les arêtes des deux polyèdres soient conjuguées : ces deux polyèdres sont dits réciproques.

En effet, soit (P) un polyèdre : menons les plans focaux de ses différents sommets. Ces plans, par leurs intersections mutuelles, déterminent un second polyèdre (P'). Je dis d'abord que les arêtes de ce second polyèdre sont conjuguées de celles du premier; car, si (A) est une arête du polyèdre donné, dont a et 6 sont les extrémités, les plans focaux de a et 6 seront, par construction, deux faces du second polyèdre, et l'intersection de ces plans sera une arête de ce second polyèdre. Or, d'après le théorème du § 273, cette arête est conjuguée de celle (A).

Maintenant, les arêtes des deux polyèdres étant conjuguées, les arêtes conjuguées aux côtés d'une face plane du polyèdre donnée concourent en l'un des sommets du nouveau polyèdre, en sorte que ces sommets sont bien les foyers des faces du polyèdre donné.

Remarque /. — Si m, /i, p représentent le nombre des arêtes, le nombre des sommets et le nombre des faces planes du polyèdre donné, on a, d'après un théorème d'Euler,

Si /n', /i', p' sont les nombres analogues pour le second polyèdre,

on a

/M ^ 71, n = TW, p ^ p\

4io 3* SECTION. — CiIAP.XX.III.

d'où, comme cela doit être,

Remarque II, — Deux polyèdres réciproques sont inscrits cl circonscrits l'un à l'autre.

Théouème. — Les projections de deux polyèdres réciproques^ relativement à un système de forces, sur un plan perpendiculaire à sa résultante de translation, sont des figures planes réciproqu**.s (').

Car ces projections ont (§ 269) leurs côtés correspondants parallèles; d'ailleurs à tout système d'arêtes concourantes de l'un des polyèdres réciproques correspond, dans l'autre, un polygone plan fermé; donc à tout nœud de l'une des figures projetées correspond, dans l'autre, un polygone fermé.

Corollaire. — Toute figure plane susceptible d^étre regardée comme la projection d\in polyèdre admet une figure réciproque.

Celte manière d'envisager les figures réciproques de la Statique graphique est due à M. Cremona. Elle conduit facilemeDl aux principales propriétés de ces figures.

Ainsi, considérons une pyramide ayant pour base un polygone plan fermé. Son polyèdre réciproque sera une seconde pyramide avant pour base le polygone fermé, réciproque des arêtes émanant du sommet S de la pyramide donnée, et pour sommet le foyer de la base de cette pyramide.

Si l'on projette ces deux pyramides, on aura deux figures réciproques {Jig' lo et i5, PL III )^ formées chacune d'un polygone fermé et de rayons partant des sommets de ces polygones. Si les

(») Quand, dans ce qui va suivre, nous parlerons de projections de figures réciproques, il sera entendu que la projection aura toujours lieu sur un plan perpendiculaire à la résultante de translation du système de forces relativement auquel les (igurcs sont réciproques.

POLYÈDRES RÉCIPROQUES. Ht

pyramides se réduisent à des tétraèdres, on aura la figure formée par les six lignes qui joignent quatre points d\in plan et sa réciproque {/Ig' 13 et i3, PL III).

Considérons une pyramide ayant son sommet en O et pour base un polygone fermé gauche. Sa projection sera un polygone fermé et des rayons issus d'un point O {fig. 22, PL VI). Cherchons la réciproque de cette pyramide.

La réciproque des arêtes émanées dn point O sera un polygone plan fermé P situé dans le plan focal de O. Les réciproques des côtés du polygone gauche formeront (§271) un autre polygone gauche dont les côtés passeront par les sommets du polygone P; car, si A et A' sont deux arêtes consécutives issues de O, le côté du polygone gauche situé dans le plan de ces deux arêtes aura pour conjuguée une droite passant par l'intersection des conjuguées de A et de A' : donc la réciproque sera formée d'un polygone plan et de lignes passant parles sommets de ce polygone. Si nous la projetons, le polygone plan fermé P se projettera suivant un polygone fermé P' et les côtés du polygone gauche se projetteront suivant des lignes partant des sommets de V. Les côtés de P' seront d'ailleurs parallèles aux rayons issus de O, et les autres lignes seront parallèles au polygone fermé de la figure. On voit donc que la réciproque se projettera suivant uû système de forces et le polvgone funiculaire de ces forces relativement au pôle O {fig* 22, PL VI).

Considérons maintenant un polygone gauche fermé dont les sommets soient unis à deux points O et O' de l'espace. Les figures réciproques des arêtes émanées de O et O' sont deux polygones plans P et P' situés dans les plans focaux des points O et O' et les réciproques des côtés du polygone gauche sont les droites qui joignent les sommets correspondants de P et P':donc, en projetant les deux polyèdres, on aura, d'une part, un polygone fermé et les ra\ons issus de deux points O et O', et d'autre part un système de lignes et leurs polygones funiculaires relatifs aux pôles O et O'. On

ii2, 4° SECTION. — CHAP. XXllI.

voit d'ailleurs de suite que les points d'intersection des côtés correspondants de deux'polygones funiculaires doivent être tous placés sur une droite parallèle àOO'; car, dans l'espace, les côtés correspondants des polygones P et P' se coupent tous sur la ligne d'intersection des plans de ces polygones, laquelle ligne est conjuguée de celle 00' (Jig- 16 et i6, PL IV). Nous retrouvons ainsi une des propriétés des polygones funiculaires.

Considérons enfin une portion quelconque de surface polyédrique, une sorte de calotte polyédrique dont le bord soit un polygone gauche fermé P. Joignons les sommets de ce polygone à un point O de l'espace. Cherchons la réciproque de la figure ainsi formée.

La réciproque du polygone gauche P est un autre polygone gauche fermée (§ 271); les réciproques des lignes issues de O el aboutissant aux divers sommets de P forment un polygone plan II dont les sommets sont sur les côtés de $, en sorte que la réciproque de cette première partie de la figure se compose du polygone plan n des divers sommets duquel partent les lignes formant les côtés d'un polygone gauche $.

MaintenantHoute arête L de la surface polyédrique aboutissant en un sommet du bord P admettra pour réciproque une ligne <^, partant d'un des sommets de 9. On aura donc une série de lignes 4^, partant des sommets de ï; de ces lignes 4^partiront de nouvelles lignes, réciproques de celles qui, dans la figure proposée, rencontrent les lignes L, et ainsi de suite. Si l'on projette la figure donnée et sa réciproque, la première se projettera suivant une figure comme celle 64 (PL JCIII)^ où O est la projection du poiiit O de l'espace et où la projection P' du bord P de la surface polyédrique donnée est indiquée par des lignes doubles.

La figure réciproque se projettera suivant une figure comme celle 64 {PL XIII). La projection II' du polygone plan II est indiquée en pointillé : ce sont les lignes réciproques de celles issues de O, dans X^fig. 64. Les lignes partant de H' sont les projections des côtés du polygone $; elles sont réciproques de celles indiquées en doubles lignes sur la fig. 64 : les autres lignes de la figure peu-