CHAPITRE XXIL

COMPOSITION DES FORCES DANS l'eSPACE.

LES rOBGES DE L'ESPACE H'IMIETTER PAS EH ftiHÉBAL DE POLTSOHES runCUIAIBES. — La Dolion du polygone funiculaire, si utile dans la composilion des forces situées dans un plan, n'a pas son analogue* dans l'espace.

Étant donné un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan, on peut toujours trouver une infinité de polygones tels, que les forces données, si on les suppose appliquées aux divers sommets de Tun de ces polygones, le maintiennent en équilibre, si l'on en rend les deux extrémités fixes.

De tels polygones n'existent pas, en général, à l'égard de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace En eifet, s'il en existe un, chacun de ses sommets doit être en équilibre sous l'action de la force qui y est appliquée et des tensions des deux côtés adjacents. Il faut pour cela, d'après la règle du triangle des forces, que la ligne d'action de chaque force et les deux côtés du polygone qui concourent sur cette ligne soient dans un même plan. Si cette condition est remplie, on pourra décomposer chaque force en deux suivant les deux côtés qui y concourent, ce qui remplacera le système des forces données par un système de forces équivalentes, toutes dirigées suivant les côtés du polygone funiculaire. Suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, seront dirigées deux forces qui devront être égales et opposées pour que le polygone demeure en équilibre lorsqu'on en fixe les deux extrémités.

r SECTION. — CIIAF. XXII.

Ainsi il faut : i° que chaque force soit située dans le plan des deux côtés du polygone qui lui sont adjacents; 2^ que les deux composantes des forces données, dirigées suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, soient égales et opposées.

Quand toutes les forces données sont situées dans un même plan, la première de ces conditions se trouve remplie d'elle-même et Ton peut alors d'une infinité de manières satisfaire à la seconde; mais, dans Tespace, la nécessité de satisfaire à la première suflfit pour déterminer un polygone dès qu'un seul de ses côtés est donné, et alors la seconde ne peut pas, en général, être remplie. Ainsi soient î/ig' 58) les forces données

t*l» Pi» t*3> P*» ■ • ••

Ki(î. 58.

Proposons-nous de déterminer, s'il se peut, un polygone funiculaire dont ^q ai soit un des côtés. Si, parles deux lignes a^ ai etP|, on fait passer un plan qui coupe P2 en a^, la ligne a^ aj sera nécessairement le deuxième côté du polygone cherché; si, par celte ligne et par P^, on fait passer un plan qui coupe P3 en as, la ligne a^a^ sera le troisième côté du polygone cherché, et ainsi de suite. Si maintenant on décompose chacune des forces données en deux, suivant les deux côtés qui y concourent, il n'y aura aucune raison

pour que la composante de P| suivanl le côté a|A2 soit égale et opposée à celle de P2 suivant ce même côté, pour que la composante de P2 suivant le côté a2a2 soit égale et opposée à celle de P» suivant le même côté, et ainsi de suite.

On voit donc qu'en général un système de forces, dans l'espace, n'admet pas de polygones funiculaires.

FOLTÊDBE rUHIGULAIBE DE RAHEIHE, 8A GOMPUGinOlL — Rankine a considéré, <à l'égard des forces de l'espace, ce qu'il a appelé des polyèdres funiculaires. Le polyèdre funiculaire de Rankine est fondé sur ce théorème facile à établir : Des forces concourantes, normales aux faces d'un polyèdre fermé et proportionnelles aux aires de ces faces, forment un système en équilibre (*). Mais la conception de Rankine, qui conduit à représenter les forces par des aires et à considérer dans l'espace des figures formées d'une suite de cellules polyédrales accolées comme les cellules d'une ruche, n'a pas eu jusqu'ici d'applications : nous ne nous y arrêterons donc pas (^).

FTBAIUDE FUHIGULAIBE. — Voici une autre extension du polygone funiculaire qui nous semble plus conforme à la nature des choses. Sans y attacher plus d'importance qu'il ne convient, tant du moins qu'on n'en aura pas déduit des conséquences graphiques faciles, nous l'exposerons en quelques mots, d'autant qu'elle nous fournira une démonstration simple du théorème fondamental de la composition des forces dans l'espace.

Nous ferons d'abord ces deux remarques évidentes.

Remarque /. — Une force peut toujours être décomposée en

(*) M. Chasies a démontré ce théorème dès 1829 dans le Bulletin de M. le baron de Férussac.

(') La plus simple de ces figures serait composée des cinq tétraèdres ayant pour arêtes les dix lignes joignant cinq points de l'espace. Ce serait l'analogue de la figure plane, formée par les six lignes joignant quatre points d'un plan.

deux autres, dont l'une passe par un point donné O, et dont Tautre rencontre une droite donnée D.

Car, si C est la trace de la droite donnée sur le plan passant par O et par la ligne d'action F de la force donnée, et qu'on prenne, sur cette dernière ligne, un point quelconque a, on pourra toujours décomposer la force donnée suivant les lignes aO et aC, puisque ces lignes et la ligne F sont dans un même plan.

Remarque IL — On peut toujours décomposer une force F en trois autres : l'une donnée arbitrairement en grandeur, direction et sens; la deuxième passant par un point donné, la troisième rencontrant une droite donnée.

Car, prenant un point a sur la ligne d'action de la force F, on peut d'abord décomposer cette force en deux autres, dont l'une passe par a et soit égale en grandeur, direction et sens à une force donnée; la seconde composante sera alors entièrement déterminée, d'après la règle du parallélogramme des forces. Cette seconde composante pourra, à son tour, d'après la Remarque ci-dessus, être décomposée en deux, l'une passant par un point donné, l'autre rencontrant une droite donnée. La force F sera ainsi décomposée en trois, suivant les conditions indiquées.

Cela étant, soit un système de forces

Plj Pj» ^3» P*î •••? P/»

Ces forces sont représentées sur la Jlg. o8 du § 234, où £*=: 6.

Prenons sur la ligne d'action de la force P| un point quelconque ûTi, et décomposons cette force en trois autres ; l'une suivant une ligne ai ao, arbitraire en grandeur, direction et sens, la deuxième a^ O passant par un point quelconque O de l'espace, la troisième ai «2 rencontrant la ligne d'action de la force P2. Soit a^ ce point de rencontre; décomposons P.^ en trois : l'une suivant a^a^ égaJc et opposée à la composante de P| dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant par O, la troisième rencontrant la ligne d'action de la force P3. Soit a^ ce point de rencontre; décomposons P3 en trois : l'une suivant a^a^ égale et opposée à la composante de Pj, dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant par O, la troisième rencontrant la ligne d'action de la force P4.

On continuera ainsi jusqu'à la dernière force P| qu'on décom-

posera en trois : Tune suivant a/ai.!, égale et opposée à la composante de P/4, dirigée suivant cette lignes la seconde passant par le point O, la troisième rencontrant la ligne arbitrairement donnée aitto.

Nous avons donc remplacé le système des forces données par un système de forces équivalentes, les unes passant par le point O, les autres dirigées suivant les côtés du polygone ao^i^2^3 • • • ciî- Les premières étant concourantes se composent en une seule; celles qui sont dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone sont supprimables comme étant deux à deux égales et opposées; celles qui sont dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone se composent en une seule, puisque ces côtés se rencontrent. Le système des forces données se trouve donc réduit à deux forces, dont l'une passe par le point arbitraire O. Ainsi, nous arrivons à ce théorème fondamental de la Statique :

Théorème. — Des forces distribuées dUine manière quelconque, dans l'espace, peuvent être réduites à deux, dont l'une passe par un point arbitraire.

Si nous considérons la pyramide ayant pour sommet le point O, pour base le polygone UQa^ ci^a^, ..., a/ et qu'on fixe : i" un point de chacun des côtés extrêmes de ce polygone ; 2** le sommet O, la pyramide sera évidemment en équilibre sous l'action des forces données, puisque les forces passant par O et celles dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone sont détruites parla fixité des trois points O, «o» <^i et que les autres forces dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone peuvent être supprimées. Cette pyramide a donc la plus grande analogie avec le polygone funiculaire, et on pourrait l'appeler la pyramide funiculaire relative au point O.

Si le système des forces données est en équilibre, alors les deux forces auxquelles on le réduit doivent être égales et opposées, ce qui exige que la résultante des forces passant par le point O et des deux forces dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone funiculaire soient dans un même plan; en d'autres termes, la pyramide funiculaire sera, dans ce cas, fermée.

Si le point O passe à l'infini suivant une direction quelconque, f. 28

la pyramide devient un prisme et la section du prisme par un plan quelconque (P) est un polygone funiculaire, à savoir : un des polygones funiculaires du système des forces données, projetées sur le plan (P), suivant une direction parallèle à Taréle du prisme.

Nous ne nous arrêterons pas davantage à ces considérations et à ces analogies de la pyramide funiculaire avec le polygone funiculaire, et nous passons de suite à Tétudedes conséquences que l'on peut déduire de la réduction d'un système de forces à deux.

DËrminOlfS. — Soit un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace. Concevons qu'on les transporte toutes en un même point. Les forces ainsi transportées auront une résultante unique qu'on appelle la résultante de translation des forces données, de sorte que la résultante de translation et la somme géométrique d'un système de forces sont une seule et même chose.

Lemme. — Quelle que soit la manière dont on réduit un système de forces à deux, la résultante de translation de ces deux forces est la même que celle des forces données.

En effet, pour réduire un système de forces à deux, on ne fait que composer des forces entre elles et les décomposer suivant la règle du parallélogramme des forces. Si l'on fait, sur les forces transportées, exactement les mêmes compositions ou décompositions que sur les forces prises dans les positions qu'elles occupent réellement, on réduira ces dernières à deux et les premières à deux autres qui leur sont égales et parallèles, et dont la résultante représentera indifféremment la résultante de translation des forces données ou celle des forces auxquelles on les a réduites.

Théorème. — Les deux résultantes, quelles qu'elles soient, d'un système de forces, se projettent sur un plan perpendiculaire à la résultante de translation de ces forces, suivant deux lignes égales, parallèles et de sens opposés, c'est-à-dire suivant deux lignes formant un couple.

En eflet, soient R et ^ les deux résultantes auxquelles on a réduit un système de forces.

Si Ton transporte ces deux forces parallèlement à elles-mêmes en un point de l'espace et qu'on les compose suivant la règle du parallélogramme des forces, on obtiendra la résultante de translation des forces données. Or, si l'on projette les forces ainsi transportées sur un plan perpendiculaire à leur résultante, leurs projections seront évidemment deux forces égales et directement opposées. Donc, avant leur transport, ces forces se projetaient suivant deux forces égales, parallèles et de sens opposés formant un couple.

Théorème. — Lorsque un système de forces n!est réductible ni à une force unique, ni à un couple, on peut toujours le réduire à deux forces, dont l'une ail pour ligne d'action une droite arbitrairement donnée dans l'espace, pourvu que cette droite ne soit pas parallèle à la résultante de translation des forces données; la ligne d'action de la seconde force est alors entièrement déterminée.

En eifet, soit D une droite arbitrairement donnée; Prenons sur D un point quelconque O {fig* S9, p. 436). On peut toujours (§ 268) réduire un système de forces à deux, R et Si, dont l'une K passe par le point O. Observons d'ailleurs que ces deux résultantes ne sauraient être dans un même plan, autrement elles seraient réductibles à une force unique ou formeraient un couple, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Ceci posé, si R coïncide avec la droite donnée D, la proposition est établie ; dans le cas contraire, par R et D faisons passer un plan; si ce plan rencontre ^, soit a le point de rencontre. On pourra décomposer R en deux ; l'une suivant D, l'autre suivant Oa, puis composer cette dernière force avec SI : soit A la ligne d'action de la résultante ; les forces R et <R sont ainsij remplacées par deux autres, dont l'une a pour ligne d'action la droite donnée D ; et l'on voit que la ligne d'action A de la seconde est entièrement déterminée.

Si A est parallèle au plan passant par R et D, on mènera, par

le point O une parallèle à Si. Cette parallèle ne saurait coïncider avec R, puisque Si. et R ne sont pas dans un même plan. Donc, on pourra décomposer R suivant D et cette parallèle ; on composera ensulle cette dernière composante avec A, ce qui est toujours possible lorsque, comme nous le supposons, la droite donnée D n^est pas parallèle à la direction de la résultante de translation des forces données. Car alors les deux forces à composer ne sauraient former un couple, leur somme géométrique ajoutée à la force D devant être égale, en grandeur, direction et sens, à la résultante de translation des forces données.

Remarque /. — A toute droite D de l'espace correspond ainsi, relativement à un système de forces données, une autre droite A et une seule, pourvu que les forces données ne soient réductibles ni à une force unique, ni à un couple et que la droite donnée D

ne soit pas parallèle à la résultante de translation des forces données, conditions que nous supposerons remplies dans ce qui va suivre; et il est clair alors que, réciproquement, à la droite A correspond celle D. Ces deux droites réciproques sont dites conjuguées ou correspondantes relativement au système des forces données. Ainsi, deux droites correspondantes relativement à un système de forces sont deux droites telles que le système de fones soit réductible à deux forces dirigées suivant ces deux droites.

Remarque IL — Deux droites conjuguées, relativement à un système de forces, se projettent sur un plan perpendiculaire à la

résultante de lianslation de ces forces, suivant deux droites parallèles (§ 269).

Théorème. — A deux droites concourantes correspondent deux autres droites concourantes dont le plan passe par le point de concours des premières.

En effet, à la droite A {fig- S9) répond, par définition, la droite R; à celle A répond (§ 270) celle D. Ainsi, aux deux droites t^H et A qui concourent en a correspondent les droites R et D qui concourent en O; et le plan de R et D passe bien par le point a.

Inversement, aux droites R et D concourant en O, correspondent les droites concourantes é{. et A, dont le plan passe par O.

Corollaire J. — A un polygone gauche correspond un autre polygone gauche; si le premier polygone est fermé, le second Test également.

Corollaire IL — A toutes les droites concourant en un point de l'espace correspondent les droites d\in plan passant par ce point. Réciproquement, à toutes les droites d'un plan correspond dent toutes les droites concourant en un point de ce plan.

DiFuiTiOIIS. — Le point où concourent toutes les droites conjuguées à celles qu'on peut tracer dans un plan est ce que nous appellerons le/oj'er de ce plan.

Inversement, le plan qui contient toutes les droites conjuguées à celles qui se croisent en un point de Tespace est ce que nous nommerons le plan focal de ce point.

Ainsi, relativement à un système de forces données^ tout plan traversant l'espace renferme un foyer, et, inversement, parmi tous les plans se croisant en un point de l'espace, il en existe un, et un seul, qui est le plan focal de ce point.

438 4* SECTION. — GHAP. XXII.

Théorème. — Le lieu des foyers (V un faisceau de plans, c'està-dire de plans passant par une droite, est une autre droite, à savoir : la conjuguée de la première.

En effet, le foyer d'un plan est (§272) la trace, sur ce plan, delà droite conjuguée à une droite quelconque D située dans ce plan : donc le lieu des foyers de tous les plans passant par D est la droile A conjuguée de D.

Corollaire, — En particulier, le lieu des foyers d'un faisceau de plans parallèles est une droite.