CHAPITRE XXIV
MOMENTS RELATIFS A UN AXE DE FORCES DISTRIBUÉES d'une manière QUELCONQUE DANS l'eSPACE.
Nous venons de faire la composition des forces distribuées d*une manière quelconque dans Tespace, comme nous avons fait précédemment celle des forces parallèles ou situées dans un plan, sans faire usage des moments. Cependant nous allons exposer ici brièvement la théorie des moments des forces relativement à un axe, comme nous avons exposé plus haut la théorie des moments relativement à un point ou relativement à un plan. De même que ces derniers, les moments relatifs à un axe se ramènent aux moments relativement à un point; par suite, leur construction graphique ne souffre aucune difiiculté (§ 118).
On appelle moment df une force relativement à une droite ou relativement à un axe le produit de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à la droite par la plus courte distance entre la ligne d'action de la force et la droite.
Celte plus courte distance est dite le bras de levier de la force relativement à la droite.
On considère le moment d'une force relativement à une droite comme positif ou comme négatif, suivant que, pour un observateur placé suivant l'axe, la force tend à faire tourner son bras de levier dans un sens convenu, ou en sens contraire.
On voit, d'après cela, qu'on peut encore définir en grandeur el en signe le moment d'une force relativement à une droite, le moment de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à la droite, relativement au point d'intersection de ce plan et de la droite.
Remarque /. — Le moment d'une force relativement à uni» droite, comme le moment d'une force relativement à un point, est indépendant de la position qu'on attribue au point d'applicatiou de la force sur sa ligne d'action.
FORGES DISTRIBUÉES DANS l'eSPACE. 44S
Remarque IL — Le moment d'une force relativement à une droite située dans un même plan avec la ligne d'action de cette force est nul ; et, réciproquement, si le moment d'une force relativement à une droite est nul, cette droite est nécessairement située dans un même plan avec la ligne d'action de la force.
Soit un système de forces concourantes; projelons-les sur un plan perpendiculaire à une droite quelconque (L). Le moment de la résultante des forces projetées, relativement au point d'intersection de la droite (L) avec le plan de projection, est égal à la somme des moments relativement au même point, des forces projetées. Mais ces derniers moments ne sont autres que les moments des forces données relativement à la droite (L); et comme la projection, sur un plan de la résultante d'un système de forces concourantes n'est autre que la résultante des forces projetées, le moment de cette dernière relativement au point d'intersection de la droite (L) avec le plan de projection est aussi égal au moment delà résultante des forces données relativement à cette droite. Donc : le moment, relatwement à une droite j de la résultante d'un système de forces concourantes est égal à la somme des moments de ces forces relatwement à cette droite,
Dans la réduction (§268) à deux d'un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace, on ne fait que trois sortes d'opérations ; i° composer entre elles des forces concourantes, ou décomposer une force en deux autres qui concourent en un point de sa direction ; 2" déplacer les points d'application de certaines forces sur leurs lignes d'action. Aucune de ces deux opérations n'altérant, d'après ce qui précède, la somme des moments des forces primitives, on a ce théorème :
Théorème. — Quand on réduit à deux un système de forces distribuées dUine manière quelconque dans l'espace, la somme des moments des deux résultantes relativement à un axe quelconque est égale à la somme des moments des forces primitives relativement à cet axe.
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Soit donné un plan quelconque ; traçons-y une droite quelconque D. Nous pouvons toujours, sous les réserves indiquées (§ 269), ramener un système de forces à deux, dont Tun ait la droite D pour ligne d'action. Soit A la ligne d'action de la seconde résultante ; le foyer F du plan donné est (§ 272) son intersection avec la ligne A. Or une droite quelconque, située dans ce plan et issue du point F, est située dans un même plan avec chacune des deux droites D et A ; donc (§ 279) le moment relativement à cette droite de chacune des deux résultantes dirigées suivant D et A est nul. Il en est, par suite, de même de la somme des moments des forces données relativement à la droite dont il s'agit : ainsi, étant donné un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace et un plan quelconque, il existe, dans ce plan, une infinité de droites telles que la somme des moments des forces données relativement à chacune de ces droites soit nulle. Ces droites concourent toutes en un point F. Ce point est ce que nous avons appelé le foyer du plan relativement au système de forces données. Môbius l'appelait le point nul (nul punct) du plan, expression justifiée par la propriété que nous venons d'indiquer.
Réciproquement, étant donné un point F de l'espace, par ce point il passe une infinité de droites telles que la somme des moments d*un svstème de forces relativement à ces droites soit nulle. Ces droites sont toutes situées dans un plan que nous appelons le plan focal du point F relativement aux forces données.
C'est par ces propriétés des moments des forces que M. Cremona définit le foyer et le plan focal (qu'il nomme pâle ei plan polaire). Nous avons vu qu'on peut établir leurs propriétés sans faire usage des moments. On pourrait aussi les définir géométriquement en dehors de toute considération mécanique ; car les droites D et A sont celles dont Chasies et M. Mannheim ont tiré un si grand parti dans l'étude géométrique du mouvement des systèmes invariables. Nous ne pouvons, à cet égard, que renvoyer aux Mémoires de M. Mannheim et à son Traité de Géométrie cinématique, ainsi qu'aux travaux nombreux publiés par et depuis Plucker sur les complexes linéaires.
FORCES DISTaiBt'ÈES UANS l'kSPACB. 447
GOHDinONS D'ÉainUBBE ET D'ÉaUIVALENGE EXPRIMâElS A L'AIDE DES MO- MENTS. — Pour que des forces soient en équilibre, il faut et il suffit que les deux résultantes auxquelles on peut les réduire soientégales^ dirigées suivant la même ligne et de sens opposés, ce qui exige que les sommes des projections de ces deux forces sur trois axes rectangulaires arbitrairement choisis et les sommes de leurs moments relativement à ces axes soient nulles, et, comme les sommes des projections et des moments des deux résultantes sont les mêmes que celles des forces qui les fournissent, on a :
Théorème I. — Pour que des forces quelconques appliquées à un solide invariable soient en équilibre, il faut et il suffit que les sommes de leurs projections sur trois axes rectangulaires arbitrairement choisis soient nulles, ainsi que les sommes de leurs moments relativement à ces axes.
De là et des principes relatifs à l'équivalence (§ 21) résulte immédiatement :
Théorème II. — Pour que deux systèmes de forces appliquées il un solide invariable soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient mêmes sommes de projections sur trois axes rectangulaires arbitrairement choisis et mêmes sommes de moments relativement à ces axes.
Remarque, — Si les conditions du Théorème I pour un sjstème de forces ou celles du Théorème II, pour deux systèmes de forces, sont remplies à l'égard d'un système d'axes de coordonnées, elles le sont à l'égard de tous les axes de l'espace.
COMPOSITION DES COUPLES ET DES FOBCES EN CÉNËRAL. — Convenons de représenter le moment d'une force par rapport à un axe par une longueur portée sur cet axe dans un sens tel qu'un observateur placé suivant cet axe, la tête du côté duquel on a porté la longueur
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représentative du moment, voie la force tourner son bras de levier dans un sens convenu, par exemple de gauche à droite.
D'autre part, on comptera positivement sur chaque axe les moments portés sur cet axe dans un sens convenu et négativement ceux qui sont portés en sens conlraire.
La somme algébrique des moments d'un système quelconque de forces relativement à un axe est ainsi elle-même représenléc par une longueur définie en grandeur et sens portée sur cet axe.
La somme des moments des deux forces d'un couple relativement à un axe se nomme le moment du couple relativement à cet axe.
Le moment d'un couple relativement à un axe perpendiculaire à son plan est égal à la somme des moments des deux forces du couple relativement au point où Taxe perce le plan. 11 est donc constant (§ Ho), quelle que soit la position de Taxe et égal au produit de la force du couple par son bras de levier.
La longueur qui le représente se nomme V axe du couple. Wnsl, l'axe d'un couple est une droite perpendiculaire au plan du couple, égale, à une échelle convenue, au produit de la force du couple par son bras de levier ou, si l'on veut, à l'aire du parallélogramme défini par les deux forces du couple et dirigé dans un sens tel que, si on le place, par exemple, au milieu du bras de levier, un observateur placé suivant sa direction, les pieds sur le plan du couple, voie celui-ci entraîner son bras de levier, dans le sens des moments positifs, soit de gauche à droite suivant nos conventions habituelles.
On observera d'ailleurs que Taxe d'un couple est une droite définie en grandeur, direction et sens, mais non en position. On peut le placer dans une position quelconque.
De la définition même des moments d'une force relativement à un axe et de ce qui précède, résulte le théorème suivant :
TnKoiiÈME IIL — Le moment d'un couple relativement à un axe quelconque est êgaly en grandeur, direction et sens, à la projection sur cet axe de l'axe du couple.
Théorème IV. — Pour que deux systèmes de couples soieni équivalents, il faut et il suffit que leurs axes aient mêmes sommes géométriques.
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En effet, deux systèmes de couples sont deux systèmes de forces auxquels nous pouvons appliquer les conditions générales d*équi valence fournies par le Théorème II; mais deux systèmes de couples, quels qu'ils soient, ont des sommes de projections nulles cl, par suite, égales, sur n'importe quels axes. Donc, pour que deux systèmes de couples soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient mêmes sommes de moments relativement à trois axes; ou, en vertu du théorème III, que les sommes des projections de leurs axes sur trois axes rectangulaires soient les mêmes, ce qui exige que leurs axes, dans l'espace, aient mêmes sommes géométriques.
Ainsi, pour vérifier si deux systèmes de couples sont équivalents, on portera bout à bout les axes de chacun d'eux, on formera ainsi deux polygones; l'équivalence a lieu si les droites qui ferment ces deux polygones ont même grandeur, même direction et même sens, ou encore, on porte les axes de chaque système à partir d'un même point de l'espace; on les compose comme si c'étaient des forces, et les résultantes obtenues doivent être les mêmes pour les deux systèmes de couples.
Corollaire I. — Pour que deur couples soient équivalents , il faut et il suffit que leurs axes soient égaux, parallèles et de même sens : il faut donc et il suffit que les couples soient placés dans des plans parallèles, qu^ils tendent à faire tourner leurs bras de levier dans le même sens et que leurs moments (produits de la force par le bras de levier) soient égaux.
Corollaire II. — Un couple est, d'après ce qui précède, entièrement défini par son axe, et toutes les modifications qui ne changent pas son axe peuvent être faites sans que le couple cesse d^étre équivalent à lui-même. Ainsi ;
Corollaire III. — On peut déplacer un couple dUine manière quelconque dans son plan ou dans un plan parallèle, modifier en mrme temps arbitrairement sa force ^ pourvu qu^on modifie le bras de levier de façon que le produit de la force par le bras de levier reste invariable.
Corollaire IV. — Tout système de couples est réductible à un J. a()
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couple unique ayant pour axe la somme géométrique des axes des couples composants.
Corollaire V. — On peut décomposer un couple en plusieurs autres ; il suffit pour cela de décomposer son axe en plusieurs autres lignes dont il soit la somme géométrique.
En parliculler, un couple peut être remplacé par trois couples dont les plans coïncident avec trois plans coordonnés donnés, et ayant pour axes les projections de Taxe du couple donné sur les axes de coordonnées. Par suite, un système quelconque de couples peut être remplacé par trois couples dont les axes sont dirigés suivant trois axes de coordonnées rectangulaires ou obliques.
Théorème V. — Tout système de forces est réductible à une force unique S égale à leur résultante de translation en un point O arbitrairement choisi de V espace et à un couple unique qui prend le nom de couple résultant de la translation.
En effet, chaque force peut être (§ H6) transportée au point O pourvu qu'on lui adjoigne le couple dû à cette translation. Toutes les forces ainsi transportées se composent en une seule égale à leur somme géométrique, et tous les couples en un seul, ayant pour axe la somme géométrique des axes des couples composants.
Corollaire I. — i° La projection de la force urâque S sur un axe quelconque Ox issu du point O est égale à la somme des projections des forces données sur cet axe; 2^ la projection de l'axe r du couple résultant sur un tel axe est égale à la somme des moments, relativement à cet axe, des forces données,
La partie 1® est évidente; la partie 2" résulte des conditions d'équivalence même. La force S et le couple d'axe F formant un système de forces équivalent au système des forces données, la somme de leurs moments, relativement à un axe O^, est égale à la somme des moments des forces données relativement à cet axe. Mais le moment de la force S par rapport à Taxe Ox est nul, puisque celte force rencontre Taxe, et la somme des moments des deux forces du couple relativement à Taxe Ox est la projection, sur cet axe, de l'axe F du couple.
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Corollaire IL — Considérons trois axes de coordonnées;
soient
les sommes des projections d'un système de forces quelconques
sur ces axes^ et
les sommes des moments de ces forces relativement à ces mêmes axes.
Les forces données sont équivalentes à trois forces A, B, C et à trois couples ayant pour axes les longueurs L, M, N.
Car, si l'on réduit les forces données à une force unique S passant par Torigine des coordonnées et à un couple correspondant d'axe r, la force S pourra être décomposée en trois forces dirigées suivant les axes de coordonnées et le couple en trois couples ayant leurs axes dirigés suivant ces mêmes lignes. Mais, en vertu du corollaire I, les composantes de S sont précisément A, B, C et celles de F sont précisément L, M, N.
NOTE I. — DIMENSIONS DES PIÈCES d'uNE CONSTRUCTION. 447
