IMUENSIONS DES PIÈCES D*L'XE CONSTRUCTION

qu'on a tentés, elle n'a, au contraire, pas pu être rompue. Ainsi, sous un effort de 9^^,i4> elle a résisté à 4oo ooo épreuves et, sous lin effort de ■j'^^, o3, à 600000.

On doit conclure que |x est compris entre 9''^,i4 et la''^, 90.

Wôhler, opérant sur un essieu en fer, a obtenu les résultats suivants : •

Valeur de la tension ma&ima Nombre

•par mni* de répétitions

due à la charge répétée. ayant amené la rupture.

25 i,5oo,()oo

\ On n'a pas obtenu la rupture après ( 48 millions d'épreuves.

MODULE D'&ASTIGITÉ FOÏÏR DES EFFORTS DE 8£N8 OPPOSÉS. — Supposons maintenant qu^au lieu de charges et de décharges appliqutes successivement au corps on le soumette à des forces élastiques alternativement égales et de sens opposés en chacun de ses points. Pour cela, concevons, par exemple, une poutre AB {Jig. 60, p. 4^8) appuyée en ses deux extrémités et dont la fibre moyenne soit verticale. En son milieu Co attachons :

1** Un fil horizontal passant sur une poulie portant à son extrémité un plateau M pouvant recevoir des poids;

2° Un autre fil symétrique du précédent est terminé par un plateau semblable W .

Plaçons un poids P dans le plateau M; la poutre fléchira et prendra la forme ACB ; puis enlevons ce poids et plaçons-le dans le plateau M'; la poutre prendra la forme symétrique ACB.

Reportons ensuite le poids dans le plateau de droite, puis dans celui de gauche, de façon à faire exécuter à la fibre moyenne de la poutre une série de flexions alternées ACB, AG'B.

Les forces élastiques maxima se produisent dans la section Cq et les fibres extrêmes de cette section (fibres supposées à égale distance de la fibre moyenne) supporteront des actions égales et de sens opposés; si une de ces fibres supporte une tension Rmax dans la

position AC6, elle supportera dans la position symétrique une pression R'max exactement égale à cette tension, en sorte que Rmax = IV max.

Si le poids P est suffisamment faible, l'expérience prouve qu'on pourra répéter les oscillations indéfiniment sans déterminer la rupture; mais, si Ton prend le poids P graduellement croissant, on arrivera à des valeurs pour lesquelles un nombre suffisant de répétitions déterminera la rupture.

Fig. 60.

Pour chaque valeur de P, il est aisé, par les formules que nous avons données (§ 208 et suivants), de calculer les tensions et pressions (de valeurs égales) déterminées dans les fibres extrêmes de la section Cq.

Si [jl' est la valeur de cette tension pour une charge P' telle qu*ane charge plus faible ne produise pas la rupture, même répétée indéfiniment, tandis qu'une charge plus forte la produit après un nombre suffisant d'épreuves, cette force [x' joue dans l'expérience actuelle le même rôle que celle [jl dans l'expérience où les forces agissaient toujours dans le même sens. Elle marque en quelque sorte la limite d^ élasticité de la matière lorsqu 'elle est soumise à des efforts égaux et de sens alternés. Nous l'appellerons le module d^ élasticité relatif à de tels efforts.

L'expérience prouve qu'il est très inférieur à celui [jl relatif aux efforts de même sens. Pour le fer, |x' est les o,5 à 0,6 seulement de |x.

DIMENSIONS DES PIÈCES D'uNE CONSTRUCTION. 4^9

DÉFDIITIOV DU MODULE DE 8ÉGUBITÉ THÉOBiaUE. — i° Pour une pièce ne supportant qu'une charge permanente, nous appellerons module de sécurité théorique une force élastique telle que des tensions inférieures à cette force (si peu que ce soit) ne déterminent pas la rupture de la pièce, quelle que soit la durée de leur action, tandis qu^ine tension légèrement supérieure la détermine immédiatement.

Ce module n'est donc autre que le module de la rupture immédiate p et la sécurité d'un ouvrage ne portant qu'une charge permanente est théoriquement assurée, si, en aucun de ses points, la tension n'est supérieure à p.

2® Si une pièce supporte des charges temporaires pouvant être indéfiniment répétées, avec ou sans charge permanente, il se produit en chacun de ses points des forces élastiques variables avec les surcharges. Nous appellerons/ max et/min les valeurs absolues extrêmes de ces forces élastiques rapportées à l'unité de surface et exprimées avec les mêmes unités que les forces élastiques [x et p (ici, pour fixer les idées, en kilogrammes par millimètre carré) lorsqu'elles sont constamment de même sens.

Lorsqu'elles sont tantôt d'un sens, tantôt d'un autre (tantôt pressions, tantôt tensions) nous désignerons par/maxle maximum en valeur absolue de la plus grande des deux espèces de forces, et pary^max le maximum en valeur absolue de l'autre. Ainsi, si la plus grande des deux espèces de forces élastiques par unité de surface qui peuvent se produire en un 'point est de 10*^8^ que ce soit une tension ou une pression, et que la plus grande de l'autre espèce soit de 6^8^ on fera/max = 10,/' max = 6.

Nous appellerons module de sécurité théorique une force élastique telle que si /max lui est inférieure si peu que ce soit, les répétitions de la surcharge, quel qu'en soit le nombre, ne puissent pas déterminer la rupture, tandis que si /max lui est légèrement supérieure, un nombre suffisant de répétitions la déterminera.

6o NOTE I.

EXPBESSIOR DE LAnNHABDT POUR LE MODULE DE 8ÉGUBIT£ THÉOEIHUE Rr DANS LE CAS D'EFFORTS DE SENS CONSTANTS. — Nous désignerons par Rf la force élastique qui représente ce module. Considérons d'abord le cas où, par suite de Faction des surcharges, les forces élastiques ne changent pas de sens au point que Ton considère.

Le module cherché R^est fonction des forces élastiques extrêmes /max, ymin qui peuvent se produire et de certains coefficients constants dépendant de la matière que l'on considère.

Cette fonction ne peut être établie qu'empiriquement.

A est effet, observons que la force /min est nécessairement comprise entre zéro et/max. Dire que/min = o, c'est dire que les tensions sont nulles chaque fois que la surcharge cesse d'agir. Alors le module R^ coïncide, par définition même, avec le module d'élasticité |Ji, tel qu'il a été défini au § 1.

Dire que/ma\ =/min, c'est dire que la force élastique au point considéré reste toujours la même. C'est le cas d'une charge permanente sans surcharge. Alors R^ coïncide avec le module de rupture p d'après la définition i'' ci-dessus. Ainsi :

Pour/ min = o, on doit avoir R^ = [jl.

Pour/min =ymax, on doit avoir R^= p.

Dans le cas général où la force élastique /conservant son signe varie entre /min ct/max, Launhardta proposé de représenter le module de sécurité théorique R^ (q»'il appelle le module de résistance au travail, arbeits-festigkeit) par la formule empirique

' ' yinax

On voit que, dans les deux cas extrêmes que nous venons de considérer, elle est exacte. Dans les cas intermédiaires, elle représente, avec une approximation très remarquable, les résultats dts expériences faites par W'ohler sur une barre d'acier pour laquelle

p == 8o''6,4i par mm'^ (module de rupture immédiate), [JL = 36"*^, 56 par mni^ (module d'élasticité).

On trouve pour diverses valeurs du rapport*^

/min ^ max *

DIMENSIONS DKS PIKCES D UNE CONSTRUCTION.

MU

Par les expériences de Woliler.

Par lu formule de Launhardl..

On voit, parla formule (1), que R^esl supérieur à |jl^ toutes les fuis que /min >> o; d'où cette conséquence extrêmementremarquable : s^ilja une charge permanente, les forces élastiques développées par cette charge et des surcharges répétées peu{>ent dépasser le module d'élasticité sans qu'il en résulte de rupture, quel que soit le nombre des répétitions de la surcharge.

EZPBE8SI0H DE WETRAUGH DU GO^ITICIEHT DS SÉSUBITi THÉORiaUE P0U2 DS8 EFFORTS EXTBtlKCS D£ SENS OPPOSÉS. — Su|)posons à présent que les forces élastiques qui peuvent naître dans une section soient de sens opposés, c'est-à-dire puissent être tantôt des tensions, tantôt des pressions. Appelons, comme il a été dit plus haut, /max et y'niax les valeurs maxima des deux espèces de forces, /max désignant la plus grande des deux, de sorte que, si la tension maxima <|ui se produit est supérieure à la pression maxima, /max désignera la première et /'max la seconde et inversement.

La force /'max est nécessairement comprise entre zéro et /max.

Pour /'max = o, nous rentrons dans le cas examiné plus haut où /min = o. Ainsi, pour /'max = o, on doit avoir R/ = [jl.

D'autre part, dire que /max =/'max, p'est dire que la barre est soumise à des efforts de grandeur invariable et de sens alternés. En ce cas, on a par déiinition (§ 1) R^ = jjl'.

Dans les cas intermédiaires, Wevrauch a propos^*, pour représenter Rf, la formule

' ^ ' ' ' /ma \

On voit que, si les modules \k et jjl', c'est-ik-dire les limites d'élasticité de la matière répondant le premier à des efforts toujours de même sens, le second à des efforts égaux et de sens alternés étaient les mêmes, Raserait indépendant de /max et/' max; mais c'est ce qui n'a pas lieu, comme le montre la simple expérience d'un bâton

qu'on cherche à rompre à la main (§ 1) et les expériences de Wôhler montrent, en efiet, que [tJ est voisin des o,6 de p. et peut descendre

jusqu'à o,5[x= ^.

MODULE OU GHABftfi DE SÉGUBRÉ PRATiaUE EK fttlÉEAL. — Dans la pratique, on n'admet comme tension limite R qu'une fraction —de la tension de sécurité théorique, soit

de sorte que :

i^ Pour les pièces soumises à des eflbrts de même sens (tensions ou pressions),

2^ Pour les pièces soumises à des efforts extrêmes de sens contraires,

En Allemagne, on prend le coefficient de sécurité — = -•

M. Knût Styfle, directeur de l'École polytechnique de Stockholm

a établi, par de nombreuses expériences, que le rapport ° du mo-

dulc de résistance à la rupture immédiate au module d'élasticité varie entre ïtï et -j^ et que, dans le cas le plus défavorable, il descend à ^.

MODULE DE SÉCURITÉ PBATIOUE DU FER. — Le module p de la rupture immédiate par extension tarie beaucoup avec les qualités du fer. Navier donne des chiffres compris entre Sp,/} et 5o,i.

Weyrauch, dans son Ouvrage cité plus haut, donne les résultats suivants :

DIMENSIONS DES PIÈCES D'vNE CONSTRUCTION. 463

Fers ronds et carrés (d'après Kirkaldy, de 3^ , 8 à 43 , 3", moyenne 4o,20.

Fers ronds (d'après Wôhler), de 37,3 à 45,3; moyenne 4* > i-

Fers cornières, de 29 à 43; moyenne 38, 5o.

Pour des fils de fer, de 5o à 80, suivant le diamètre ; moyenne 60.

Tôle (d'après Kirkaldy), de 32 à 38; moyenne 35,^0.

D'autres auteurs trouvent de 23 à 3^.

Si l'on admet comme résultat moyen des expériences de Wohler

p = 40, ao, [ji = 21 ,90, - = -^j on aura :

Pour des pièces travaillant toujours dans le même sens,