II. — Intégrateurs d'Amsler

PBOICIPE fltitBAL D'AMBLER. — Soit donnée une courbe fermée G tracée sur le papier (Jig» ii4î -^'« -X^^XVl) et rapportée à deux axes rectangulaires Ox, Oy. Concevons qu^une tige ou ligne matérielle de longueur invariable AM = / se meuve de façon que son extrémité A parcoure l'axe des x^ tandis que son extrémité M décrit la courbe en cheminant de gauche à droite.

PLÂNIUÊTaB POLAIRE. 489

Cette tige est accompagnée dans son mouvement par une roulette dont Taxe Gz parallèle au plan du papier est relié à la tige de la manière suivante :

1** Un point C de Taxe est invariablement lié à la tige, de façon que le triangle ACM soit invariable ;

2® A chaque inclinaison a de la droite mobile AM sur Taxe O^, répond pour l'axe CZ une inclinaison ^ qui est une fonction linéaire de a, de sorte que

ael b étant deux constantes.

Nous ne nous occupons pas, quant à présent, des moyens qui permettent de réaliser matériellement cette relation. Nous la supposons réalisée et nous nous proposons de déterminer Parc total u que développera la roulette en roulant sur le papier pendant que la tige AM fait une évolution complète, c'est-à-dire pendant qu'elle part d'une position pour y revenir. .

A cet effet, considérons deux positions infiniment voisines AM, A'M' de la tige. Soient C^ la position de l'axe de la roulette répondant à la position AM, et I son point de contact avec le papier. Désignons par Ç = OA l'abscisse du point A.

Nous pouvons amener AM en A' M' par une translation AA'= rfÇ qui lui donnera la position A^/n, puis, par une rotation mh!W autour du point m; l'angle mA!W compté positivement de gauche à droite est égal à — rfa.

Pendant que la tige s'est déplacée parallèlement à elle-même, de AMen A'm, l'axe CZ, de son côté, conserve une direction constante en vertu de la relation (i). Il est donc arrivé en cz faisant toujours avec l'axe Ox l'angle p.

Pendant que la tige a tourné autour de A' de Tangle — ûfoc, amenant le point c en C, l'axe c^ a tourné de

(2) — rfp = — a doL.

Soit CZ' sa position définitive.

Nous pouvons concevoir qu'on l'amène de cz en GZ' par une translation égale à cG et une rotation — d^ autour de C.

Le point de contact I de la roulette avec le papier a ainsi éprouvé :

1^ Une translation li parallèle à l'axe des x et égale à d^;

2** Une translation i! égale et parallèle à cC;

\\^ Une rotation égale à l'arc iV décrit du point G' comme centre.

Menons FK perpendiculaire à l'axe CZ jusqu'à sa rencontre en R avec cet axe.

Nous pouvons encore amener la roulette de sa première position à la dernière par une translation IK parallèle à son axe et pendant laquelle elle ne fait que glisser et un déplacement KF perpendiculaire, pendant lequel elle développera un arc de longueur Kl'. C'est donc là l'arc réellement développé; il est égal à la projection du chemin liiV sur une perpendiculaire à l'axe GZ.

La projection de I/= AA'= d\ est évidemment d\ sîn p.

La ligne ii est égale et parallèle à l'arc de cercle cG'; sa grandeur est donc — prfa, en appelant plalongueur invariable GA = c A'.

D'ailleurs cG', et par suite ii étant perpendiculaire à A' c ou à G A, l'angle de il avec IK est égal à l'angle de cz ou de GZ avec GA.

Or l'angle ZGA extérieur au triangle AGD est égal à