f- DAC = 3 H- 180 — a
en appelant 8 l'angle invariable GAM.
Donc la projection de W est
L'arc e'r= — p rf^ est à lui-même sa projection.
Si donc on appelle du cet arc TK développé par la roulette pendant le passage de la tige de la position AM caractérisée par l'inclinaison a à celle infiniment voisine caractérisée par l'inclinaison a -f- rfa, on aura
du = d^çsin^ — p[i — sin(8 -h a ^ ?)]^3t.
Soient Xy y ei x -\- dx^ y -h dy les. coordonnées des points M et M'.
Au lieu de d\y il est plus commode d'introduire dx dans la formule précédente. On a
5 = j: — /cosa, c/J = dj? -h /sinarfa. Donc
du = ^sin^ — p doL H-[/ sin a sîn pH- psin(9-i- a — ?)]d%
PLANIMETRE POLAIRE. 49^
OU, en observanl que
. o cos(3 — a)--cos(S-»- a) ^ ,
sinasin8= ^ ^ <■ et 3=aa-h6,
du = dxsm^ — pdoi-i — jcos[(a — i)a h- b] — cos[(a -h i)a-4- 6]! doL
-T-psin[(i — a)3[ -f- 0 — b]d7.
<*.l pour Tare u développé pendant un déplacement fini de la droite AMy par suite duquel Tangle a passe de la valeur olq à celle ai,
41 — f dxsin^ — p(ai — olq)
jsin[(a ■+- i)oLi ■+- b] — sin[(a h- i)ao-4- ^l!
-+ -— I -j sin[(a — i)a|-i- 6] — sin[(a — i)ao-i-^] j
-4- p jcos[(i — a)ao-l-6 — 6]~ cos[(i — rt)xi-t-6 — ^Ij ]•
Pour un tour complet du point M sur la courbe, la droite AM décrit un angle nul ou un nombre entier n de circonférences, en
sorte que
ai = ao-h 2/1 HT,
n étant nul si la tige AM ne fait qu^osciller, c^est-à-dire si elle décrit un angle total nul. Par suite, en remplaçant les différences de sinus et cosinus par des produits, il vient
u = f dxsin^ — 7.nmp sin(a-i- i)nm cos{a-h i){oLQ-h nm)
sin(a — i);iTîy
j /cos(a — i)(oLQ-k- nw) — psin[(i — a)(aQ-i- /iTiT)-^0 — />] [
De là résultent les conséquences suivantes :
a. Si la tige AM ne fait qu'osciller, ce qui arrive toutes les fois que la droite Oa: ne coupe pas la courbe décrite par le point M, on a n = o et par suite, quel que soit a,
(4) u = f dxsm^ ou u = f dx%\Tï{a%-\- b)y
. l'intégrale étant étendue à tout le périmètre de la courbe.
C'est là la formule fondamentale d'Amsler que nous utiliserons.
6. Si la tige AM fait n tours et que a soit entier, la formule (3)
devient, quel que soit cet entier,
( 5 ) M = / rfr sin p -h C,
C étant une constante; car, a étant entier, on a .
siii(a -h i)nm = sin(a — t)nw = o.
Par suite, si a est différent de i et de — i , tous les termes du second membre de (3) sont nuls, sauf les deux premiers, et
C = — ^nwp.
Si a = I , on a
sin(a — î)n
= FIW.
a — I Donc
C = — 2nwp[n- sin(8 — h)\
De même^ si a = — i ,
C = — n-m(TLp -h /).
Ainsi, toutes les fois que a est entier, c^est une simple constante dépendant de l'instrument qu'il fa ut ajouter à l'expression y* ^xsin^ pour avoir l'arc décrit, lorsque la tige AM, au lieu d'osciller, décrit une ou plusieurs fois l'angle de 36o°.
r. Si a n'est pas entier et que la tige fasse un ou plusieurs tours, l'arc u développé par la roulette n'est pas déterminé en ce sens qu'il dépend de l'angle initial ag, c'est-à-dire du point de départ de l'extrémité M de la tige sur la courbe fermée qu'elle décrit.
Nous nous placerons désormais dans le cas de /t = o, appliquant ainsi la formule (4) où l'intégrale est étendue à tout le périmètre de la courbe fermée.
OBJET ET FBIVGIPE DBS IlITÉaBATBUBB D'AHSLEB. — Le but des intégrateurs d'Amsler est de résoudre ce triple problème : Trouver mécaniquement :
1® L'aire d'une courbe plane fermée tracée sur le papier; 2® Le centre de gravité de celte aire?
3® Son moment d'inertie relatif à un axe quelconque situé dans son plan.
PLANIMÉTRB POLAIRE. 493
Soient (^fig* i i4j PI- XXVI^ S l'aire de la courbe donnée, rapportée à deux jtxes rectangulaires Ox, O^; r\ l'ordonnée de son centre de gravité G et I son moment d'inertie par rapport à l'axe Qx supposé placé en dehors de la courbe.
Si l'on connaît l'ordonnée 7| du centre de gravité G par rapport à un axe placé en dehors de la courbe, on le connaît par rapport à tout axe parallèle qui couperait la courbe; de même, si l'on connaît le moment d'inertie I relatif à Taxe Ox, on le connaît (§ 230) par rapport à tout axe parallèle.
L'axe Oj; étant ainsi placé, la ligne matérielle AM considérée au paragraphe précédent ne peut qu'osciller, c'est-à-dire décrire un angle total nul pendant que son extrémité M décrit la courbe, et la formule fondamentale (4) est applicable, quels que soient les coeiBcients a et 6 qui entrent dans l'expression de l'angle ^. Si x^ y désignent les coordonnées d'un point quelconque a pris à l'intérieur de la courbe et que l'on considère le rectangle infiniment petit abcdàoviX, les côtés a6, ac, parallèles aux axes, sont représentés respectivement par dXy dy^ on a
S = ff dy dx, Stï = ffy dy dx, I = JJy^dy dx,
l'intégration double s'étendant à tous les éléments rectangulaires compris dans l'aire. Si l'on intègre relativement à y^ on obtient
(5) ^ = Sydx, Stj = i/7«c^2-, l = \Sy^dx]
où l'intégration simple n'est plus à faire que suivant le périmètre de la courbe, de sorte que, dans ces nouvelles formules ( qu'il gérait aisé de démontrer directement en décomposant Taire de la courbe en bandes parallèles à l'axe des y, de largeur dx et de hauteurs égales aux portions d'ordonnée limitées par le périmètre), les coordonnées :r et j^ sont celles d'un point quelconque M de la courbe elle-même.
Soit AM la position de la droite mobile considérée au paragraphe précédent. En conservant les notations de ce paragraphe,
on a
^ = / sin a,
de sorte que les expressions ci-dessus deviennent
(6) S = //8inaûLc, S = tj — /sin'acfcr, I = -^/sin^occir.
Or
I — copaa . , 3sina — sin3«
('') 5in*a= -» sin'a= ;
D'ailleurs on a évidemment
rintégrale étant étendue à tout le périmètre de la courbe. Donc
S = l f s'inoLcbr,
I — -• S / sin 3oLdj7.
On pourra donc déterminer S, r^, I, en disposant sur l'appareil décrit au paragraphe précédent trois roulettes telles que les angles fj que décrivent leurs axes aient respectivement pour valeurs
(9) p = a (surface),
(ç)') ^ -= 9.7. — 90 OU p — aa -h 90 (ordonnée du centre de gravité),
(9') p — 3a (moment d'inertie).
DISFOSmOHS DES IHTÉaRATEURS D'IMSLER. — La relation ^ = a s<réalise sans difficulté. Il suffit de placer Taxe CZ de la roulettr parallèlement à la tige AM et de relier ces deux lignes invariablement Tune à l'autre; alors elles resteront parallèles dans toutes les positions.
£n ce qui touche les deux autres relations, Amsler, dans son Mémoire de i856, observe qu'il y a bien des moyens de les réaliser.
Parmi ces moyens, il en indique deux : le premier, très simple théoriquement et très ingénieux, serait peut-être d'une réalisation pratique plus difficile que le second.
Aussi ne l'indiquerons-nous que sommairement :
Première dispositioii. — La droite AM {/ig- 62, p. 49*^) est celle dont l'extrémité M porte un style auquel on peut faire parcourir une courbe donnée, pendant que son extrémité A parcourt une droite donnée Ox.
PLANIMÉTRE POLAIRE.
Une ligne CE est assajettie à glisser le long de AM.
Une tige AB^ qu'on maintient constamment dirigée suivant Taxe O^ que doit parcourir le point A, est articulée en ce point à la tige AM, tandis que son extrémité B est articulée à une tige BC, articulée elle-même en C à la tige CE. Enfîn, celle-ci est articulée à une dernière tige EH, dont l'extrémité H est assujettie à glisser le long de CB.
Fig. 6a.
Les tiges AB et BC sont égales, ainsi que celles CE et EH. Il en résulte que, si à un instant quelconque la tige AM fait avec Ox Tangle a, les angles C et H seront aussi égaux à a. Par suite, Tangle CB:r extérieur au triangle isoscèle ABC est 2a.
Il en est de même de Tangle AEH extérieur au triangle ECH ; par suite, l'angle de EH avec Ox est 3a.
D'après cela, si aux deux tiges AM et EH on fixe deux roulettes D| etDs, dont les axes soient respectivement parallèles et invariablement liés à ces tiges, et qu'à la tige CB, supposée prolongée et retournée à angle droit, on fixe une roulette D2 dont l'axe soit d'équerre sur la tige, lorsque la tige OM fait avec Ox l'angle a, les axes des trois roulettes D|, D2, D3 feront bien avec Ox les angles respectifs
(Pour la seconde, ce serait 2 a — 90, si Ton avait retourné d'équerre la tige CB vers la gauche. )
Si donc on observe, comme nous l'avons expliqué à Toccasion du planimètre, les arcs développés par ces roulettes pendant que le point M parcourt une courbe fermée et qu'on désigne ces arcs par
W,, Mt, Ml,
on aura, d'après la formule (5) du paragraphe précédent,
Ui = fsinadXj li^i = /sin (2a + 9o)€2a7, u^ := fslnZoLdx
et, par suite, à cause de (8), pour Taire, le moment statique et le moment d'inertie de la courbe donnée
(9) S = /ai, Si\ = -jUfy I = — (3u| — M,).
Dans la disposition qui précède, il va de soi que tous les glissements indiqués sur la figure théorique (p. 49^) seraient en réalité remplacés par des roulements à Taide de galets:
disposition. — - Un chariot à deux roues {Jiff^ 113, PL JCJCVl) parcourt la droite Ox. Ce chariot porte l'axe vertical A, autour duquel peut tourner le levier AM auquel est invariablement liée une roue V| dont le centre coïncide avec l'axe de rotation A. Cette roue communique, soit à l'aide de dents d'engrenage, soit par simple adhérence avec deux pignons V^ et V3, dont les axes sont portés comme Taxe A par le chariot roulant.
Le diamètre de la roue V| est double de celui de Vs et triple de celui de V3.
Le bras AM porte une roulette D| dont l'axe lui est parallèle et invariablement lié.
Suivant l'un des rayons de la roue V2 et invariablement lié à cette roue, est fixé l'axe horizontal d'une autre roulette D^ ; de même, suivant l'un des rayons de V3, est fixé Taxe horizontal d'une roulette D3.
Les rayons suivant lesquels sont dirigés les axes des deux roulettes sont les suivants : concevons que, le chariot restant fixe, on fasse simplement tourner le bras AM et, par suite, la roue V| avec laquelle il est solidaire, autour de leur axe commun A, jusqu'à ce que AM soit devenu parallèle à Ox.
L'axe de Da est dirigé suivant le rayon de Va qui, à cet instant,
PLANIHÈTRB POLAIRE. 497
est perpendiculaire kOx et Taxe de D3 suivant le rayon de V3 qui, à cet instant, est parallèle à O^.
Ceci posé, supposons que le chariot chemine suivant Ox pendant que le style M parcourt une courbe donnée.
Soit, à un certain instant, a l'angle de AM avec Ox et désignons par ^1, ^2, p3 les angles correspondants des axes des roulettes D,, D2, D3 avec le même axe.
On a évidemment p, = a.
En ce qui touche ^2 ^^ ^39 pour un déplacement intmiment petit du chariot qui fait tourner AM et, par suite, la roue V< d'un angle rfa, les roues V2, Vs'et, par suite, les axes des roulettes D2 et D3, qui sont invariablement liés aux disques de ces roues, tournent respectivement de
ndx et 3^a; ainsi
d^i = ^doL, d^i — 3<fa,
d'où
p2 = aa-hconsl., ^3 = 3 a -t- const.
Mais, par la façon dont on a choisi les rayons suivant lesquels sont dirigés les axes des roulettes, pour a =: o, on a
?ï = 90) P3 = o; donc
On réalise donc bien les relations voulues et, par suite, la connaissance des arcs 2/|, U2, u^ développés par les roulettes, pendant que le style M parcourt une courbe fermée, donne l'aire de la courbe, le moment statique et le moment d^inertie de cette aire.
Remarque. — En modifiant les proportions des roues et les positions des rayons des pignons suivant lesquels sont dirigés les axes des roulettes, on peut ainsi réaliser toutes les relations
P = aa -h 6, supposées au § 1.
OBSEBTATIOH 8UB L'EMPLOI PRATiaUE DE L'OrSTRUHEVT. — Si Us, u^, «3 sont les arcs développés par les trois roulettes, nous avons vu que Taire S, le moment statique S'/j et le moment d'inertie I sont r. 3ji
4g8 NOTE II.
donnés par les formules (9), à savoir
S = /Wi, Sr^=—Ut, I = --M, Ma.
On peut évidemment graduer les roulettes de façon que, si 1/,, U'i, Ui désignent non les longueurs, mais les nombres de tours el fractions de tour lus sur les roulettes, on ait
S = Ml, ST) = aM8, J = Mi-f-bW3,
les constantes a et b dépendant de l'appareil et de l'unité de longueur adoptée.
Ces constantes sont indiquées sur chaque appareil; Tunilé de longueur est généralement le décimètre.
En 1875, Amsler a publié une nouvelle Note sur ses intégrateurs. Dans cette Note, il donne le dessin détaillé de rinstrumenl décrit plus haut avec trois roulettes, et les dessins de deux autres dispositions dont Tune donne les aires, moments statiques et moments d'inertie à l'aide d'une seule roulette, et dont l'autre, un peu simplifiée, donne seulement les aires et moments statiques aussi avec une roulette. La théorie de ces instruments est facile à déduire de ce qui précède et les instructions jointes à chacun d'eux en rendent l'usage facile.
Pour l'appareil à trois roulettes, les coefficients sont
a = 0,6, b = o,4- Pour l'appareil complet à une roulette
Pour l'appareil qui donne seulement les aires et moments statiques
IHTÉ6R01IËTBE DE M. MARCEL DEPBEZ. — M. Marcel Deprez a décrit, en 1872, sous le nom dUn té gro mètre, un appareil fondé sur ie même principe que l'intégrateur d'Amsler (qui lui était alors inconnu), ayant le même objet, mais en différant un peu dans ses
PLANI^MÉTRE POLAIRE. 499
disposilitioDS matérielles. Revenons à \^ fig* ii3, PI, XXVI ^ du second modèle décrit par Amsler, dans son Mémoire de i856. On peut réduire les deux roulettes Dj et D3 à une seule, à la condition de remplacer la roulette supprimée par une roue.
En effet, supposons qu'on monte les deux pignons Va et V3 sur un même axe en remplaçant, par exemple, ce dernier par celui w^ qui lui est égal et qui est monté sur le même axe que celui V2. Ajoutons une nouvelle roue w^ indiquée en traits discontinus, qui engrène avec le pignon w^ figuré aussi en traits discontinus.
Les deux pignons V2 et ^^3 sont calés sur le même axe, lequel est solidaire de l'axe horizontal de la seule roulette conservée Dj.
Supposons de plus que les deux roues V| et (V|, qui ont toutes deux pour axe l'axe de rotation A de la tige décrivante AM,' soient folles sur cet axe et qu'elles portent chacune un trou dans lequel on puisse enfoncer un goujon qui permette de fixer invariablement soit l'une, soit l'autre, à la tige AM. Si l'on fixe la roue V4 en laissant celle (P| folle, rien n'est changé au mouvement du pignon V2 et de la roulette D2. Celle-ci donne donc le moment statique.
Si, au contraire, on fixe la roue w^ en laissant celle V4 folle, alors c'est le pignon (V3 qui sera actionné et la roulette D2 fonctionnera comme fonctionne dans l'appareil d'Amsler la roulette D3. Elle donnera le moment d'inertie.
C'est par ce changement de position de l'un des trois pignons que se distingue l'appareil de M. Marcel Deprez. On en trouve la description aux Annales des Ponts et Chaussées^ tome III, 1872, donnée par M. Ed. Collignon.
AFPUGAnOH DE L'IHTÉ6RATEUR AU CALCUL DES DÉBLAIS ET BEHBLAIS. —
Dans l'étude d'un projet d'une voie de communication, route, chemin de fer ou canal, on a, en général, un certain nombre de tâtonnements à faire, avant d'arrêter définitivement le tracé en plan et le profil en long. Dans chacun des essais que Ton fait, il est important de pouvoir se rendre compte rapidement des cubes de déblais et de remblais que le tracé mis à l'épreuve entraînera. Pour le calcul des surfaces des profils, les ingénieurs se servent depuis longtemps du planimètre polaire. Mais la détermination
5oo
mécanique directe des éléments du mouvement des terres, c'est à-dire des volumes de remblai et de déblai, est beaucoup moins usitée; le planimètre n'y suffirait pas, tandis que l'intégra teur ou planimètre des moments fournit la solution du problème, ainsi que le montre Amsler dans sa brochure de iS^S. Il envisage trois cas qui sont comme trois approximations successives. Nous nous bornerons ici à indiquer la première comme étant la plus pratique et peut-être la plus importante, en ce qu'elle procure très ropide-
Fig. 63.
ment les éléments nécessaires pour décider entre deux tracés lorsque c'est le mouvement des terres qui est déterminant.
Pour plus de détails, nous ne saurions mieux faire que de renvoyer à la brochure même d' Amsler ( * ).
(*) Aruvendung des Jnteg rotors, etc., Application de V intégrateur au calcul des déblais et remblais dans l'étude des chemins de fer, routes et canaux, par AmsIer-LafTon^ à Schaffousc (Zurich, imprimerie OrelI-FUssli et C''% iSjS).
PLANIMETRB POLAIRE. 5oi
Les trois approximations considérées par Fauteur résultent de ceci : dans les profils en travers (^fig* tf3), il remplace la ligne d'intersection bac de chaque profil en travers avec le terrain naturel par :
1° Une droite horizontale DE, (première approximation); 2° Par une droite inclinée bc (deuxième approximation); 3° Par deux droites aè, ac (troisième approximation);
La plate-forme BC en remblai ou B'C en déblai de la voie a naturellement une largeur constante dans tout le tracé. Cependant dans les déblais on peut remplacer la section vraie, comprenant les fossés, par une section équivalente limitée à ThorizontaleBC.
Divisons le profil en long en sections telles, que, dans la longueur d'une section: i® la pente ou rampe ne change pas; 2° qu'il n'y ait que des remblais ou des déblais.
Soit, par exemple, une section en remblai et représentons en plan {fig. 64) son axe AqA;,, les deux arêtes BqB,,, CoC^, équi-
Fig. 64.
distantes de l'axe, qui limitent la plate-forme de la route et les lignes plus ou moins irrégulières DqD;,, EqE/, d'intersection avec le sol.
Considérons le profil en long {fig^ 65) correspondant ^0 A.'^^,, A^, à Véchelle du dessiriy où les hauteurs et largeurs sont à une échelle différente de celle des longueurs et où, par suite, les pentes et rampes sont amplifiées; soit i Tinclinaison de l'axe du profil, mesurée sur le dessin, c'est-à-dire amplifiée.
Pour déterminer la valeur du remblai compris entre les profils eo A'ç et ^/i A),, soit k un point quelconque pris à l'intérieur du con-
5oa
tour Cq A'^ Cfi A'^ formé par : i ® Taxe A'^, A^ de la voie ; 2° la ligne d'intersection Coaen avec le sol; 3° les profils extrêmes e^A'^, c„A\. et (0 un élément d'aire infiniment petit, par exemple rectangulaire, tracé autour du point A*.
Par ce point, menons le profil en travers, c'est-à-dire vertical akA. Comme nous nous bornerons à la première approximation, ce profil sera un trapèze isoscèle BCDE {fig* 63, p. 5oo). Prolongeons les talus DBet EG jusqu'à leur rencontre en S; le lieu des points S sera sur le profil en long {Jig* 65) une parallèle S'^S^, à l'axe de la voie. Représentons le point k sur le profil en travers [fis* ^^) ®^ menons par ce point l'horizontale ^Ary.
Fig. 65.
oip
Le volume de terre projeté sur le profil en long suivantM'élément de surface w, indiqué par des hachures, a pour expression
ç étant l'inclinaison donnée, des talus sur la verticale. La ligne A*S est aussi représentée sur le profil en long par la verticale A" S'. Du point k {Jîg' 65) menons kS\ perpendiculaire à SJjS^,. On aura
COSl cost
en posant^' = A*S'^.
Donc le volume de l'élément projeté en o) est
PLANiaiÉTBE POLAIRE. 5o3
et le volume total du remblai projeté suivant ^o A'^e,j A^, est
Mais la somme indiquée n'est autre que le moment statique de Taire A'^CoCnA.'^ par rapport à la droite S'^^S^,.
Si donc on fait parcourir au style de la tige du planimètre le contour de cette aire, pendant que son autre extrémité parcourt la ligne S'^S^, et qu'on note les divisions u.^^ u^ de la roulette D2 (en se servant du planimètre à trois roulettes) qui sont en face du vernier, au début et à la fin du mouvement, et qu'on fasse la différence w* — «2 = "j o^ 2i"ra (§7)
et le volume est, par suite,
tans:® 1,2 ^ a.
COSl
Ceci est le volume réduit aux échelles du dessin. Mais, si l'échelle des longueurs est i : m et l'échelle commune des largeurs et des hauteurs i : n, le volume vrai sera
tan'i'o I , a X n* m X — —7- u,
cost
Ainsi le seul calcul à faire consiste à multiplier le nombre u :
1** par le facteur — ^ variable d'une des sections à l'autre dans
* cost
lesquelles on a divisé le profil en long; 2" la somme des produits ainsi obtenus pour la longueur totale du projet, par le nombre 1,2 X n^/Ti commun à toutes les sections.
APPUGATIOH AIT MOUVEMiaiT DES TERRES. — Pour le mouvement des terres on a à chercher aussi le centre de gravité du volume de chaque section. Dans les mômes limites d'approximation, on pourrait, pour cet objet, utiliser le planimètre à trois roulettes de la manière suivante.
Par le point A',, (Jig* 65, p. 5o2) du profil en long, menons une
perpendiculaire à S^ S'^^ et rapportons les points k de Paire e© A], €„ A^, à l'axe S'(,S',, pris comme axe des ^ et à celte perpendiculaire prise pour axe des j'. Soient x, y les coordonnées du point A*.
Si $ et T, sont les coordonnées du centre de gravité du volume du remblai qui vient d'être calculé, on aura, ce volume étant proportionnel à 2w^',
et ces équations, telles qu'elles sont, fournissent \ à l'échelle des longueurs et r, à celle des hauteurs, soit la vraie position du centre de gravité sur le dessin sans réduction d'échelle.
Le facteur Swj^ vient d'être déterminé à l'aide de la roulette D2;
on a
So)^ = 0,6 w.
La somme S w^'^ est le moment d'inertie de l'aire plane e© A J, e„ A), par rapport à l'axe Ox, Elle est donc fournie par la roulette Dj. Quant à Swoy, on peut écrire
