TRACE D UN ARC DR PARABOLE

posées représentées par le polygone des forces BB', en prenant le point k' pour pôle. Je dis qu'on obtiendra ainsi un polygone GA passant par le point A;

2" Un polygone funiculaire des quatre premières forces supposées représentées parle polygone des forces A A' en prenant le point A* pour pôle. Je dis qu'on obtient le polygone CB passant par le point B.

Fiç. 68.

La parabole cherchée est inscrite dans le polygone complet ACB, les points de contact étant en A et B et aux points du polygone déterminés par les verticales pointillées.

Pour justifier ces assertions, concevons qu'à la suite des forces 4', 3', 2', i' on porte à partir de B et de bas en haut les forces I, 2, 3, 4 toutes égales entre elles. Appelons B" l'extrémité (non représentée) de la ligne ainsi obtenue. Il est clair que les rayons polaires issus de k' et qui aboutiraient aux divers points de division des forces ainsi portées sur BB" sont respectivement parallèles aux rayons correspondants issus de A* et aboutissant au point de division de AA'.

De là on conclut que les deux polygones funiculaires AG et GB que l'on a tracés forment ensemble le polygone funiculaire de pôle A'' d'un système de huit forces égales qui seraient portées sur la verticale B'BB" (*). Or je dis que ce polygone funiculaire passe

(') On aurait pu le tracer ainsi : le mode adopté est un peu plus commode; il est imité d'une disposition souvent employée par Eddy.

5'Ai NOTK III BIS.

par les trois points donnés A, C, B. En effet, le lieu des pôles des polygones funiculaires des charges B'BB'', passant par les deux points \ et B, est (§ 43, Th. Ifl) une parallèle à AB menée par le milieu de B'BB'' (puisqu'ici toutes les forces sont égales), c'està-dire par le point B. C'est donc la droite AB elle-même.

Le lieu des pôles des polygones de ces mêmes forces, dont le premier côté passe par A et le côté du milieu par C, est de même une parallèle à AC menée par le milieu de la portion du polygone des forces répondant à la portion AC du polygone funiculaire, c'eslà-dire par le milieu de BB'. Or une parallèle à AC menée par le milieu de BB' rencontre IB en son point milieu A'\ C'est donc bien là le pôle du polygone funiculaire relatif aux huit charges égales entre elles considérées, et passant par les points A, C, B. Si Ton regarde à présent la charge totale B'B" comme uniformément répartie suivant AB, la courbe funiculaire de pôle A"' correspondante sera (§ 4o bis) inscrite dans le polygone, aux points déGnis par les verticales pointillées et aux points A et B.

Cette courbe passera donc aussi par les points A, B, C. Nous savons d'ailleurs que c'est une parabole à axe vertical; c'est donc la parabole cherchée et elle peut être ainsi tracée avec une très grande exactitude.

Remarque, — On arriverait aussi au résultat en prenant, au lieu des points A* et A*', le point I milieu de AB pour pôle commun aux deux portions de polygone AC et CB; mais à la condition de doubler les lignes AA' et BB', c'est-à-dire de remplacer le parallélogramme ABA'B'par un parallélogramme ayant toujours ABpour un de ses côtés et ayant 2IC pour côté vertical.

Deuxième solution. — On peut, si on le préfère, faire le tracé en n'utilisant que les propriétés géométriques élémentaires de la parabole.

Soit toujours I (/ig' 69) le milieu de la corde AB, de sorte que IC est le diamètre conjugué à cette corde. Si, sur le prolongement de IC, on prend CJ =^ IC, les droites AJ et BJ sont les tangentes à la courbe en A et B.

Par le milieu i de AJ, élevons une perpendiculaire à celle ligne jusqu'à sa rencontre en i' avec le diamètre IC. La droite A/' passera par le foyer; caria tangente AJ est bissectrice de Tangle <3 A 1'

TRACÉ D*UN ARC DE PARABOLE. ÔaS

que forme le ra^on vecteur A/' allant au foyer et une parallèle A^ à l'axe de la courbe.

De même si, par le milieu y de BJ, on mène une perpendiculaire à cette ligne jusqu'à sa rencontre en y' avec le diamètre IC, la ligne By' passe par le fojer.

On a donc ainsi le foyer F par Tintersection des deux droites A/'etBy'.

Fig. 69.

En menant par F une parallèle au diamètre IG, on a Taxe de la courbe. Soit a le point où cet axe coupe la tangente AJ en l'un des points donnés A et soit a' la projection du point A sur Taxe. Le sommet S est le milieu de ao! ,

Et, si Ton prend SE = SF, la perpendiculaire DED' à l'axe menée par le point E est la directrice.

Par suite, si l'on mène une droite quelconque PQ parallèle à DD'et à une distance arbitrairement choisie PD, puis, que du foyer comme centre, avec PD pour rajon, on décrive un arc de cercle, on déterminera deux points P et Q de la courbe. Si, par ces points, on mène des parallèles aux droites S/î, SA', qui joignent le sommet au milieu des demi-cordes PK et K(), on obtient les tangentes PT et QT' aux points P et Q.

On peut ainsi déterminer autant de paires de points qu'on le désire et les langenles en ces points.