N (II) S
La projection horizontale de la pression N exercée par la partie
de gauche sur celle de droite est constante et égale à la distance
polaire Çq
dx
et par suite, à cause de (11),
N — dx ds q^
('^ ^ ds ^ "r7""Ro" ''
qui indique que : dans un arc d* égale r^ésislance, sons V influence de charges verticales, la projection verticale de la section de Varc est une constante.
Désignons par Sq cette constante qui n'est autre que la section au point le plus élevé ou le plus bas de l'arc; Téquation (10) de-
COURBES FUNICULAIRES. 5l5
viendra
ou, à cause de ds^ = dx^ H- rf/^,
nSo ûte» nSo
OU, si l'on veut mettre en évidence la résistance Ro admise par unité de surface, on a, à cause de ( 12),
^'^^ Il dx^ nSo \dxl
APPUGATION A UH ABG D'ÉftALE BÉSISTUGS SOUS L'ACTION D'UIE GHARaE UHirCBME. — Si le poids propre de l'arc est négligeable, la courbe funiculaire est parabolique. On en a la poussée q^ par la formule (4") du § 4.
Par suite, la pression ou tension N est connue en chaque point, puisque sa projection horizontale constante est q^^ et Ton peut dé-
N terminer la section S en chaque point de façon que ^ = R<).
Si Ton tient compte du poids de Tare, il faut intégrer l'équation ( i3 ) où P se réduit à une constante /?. Posons
i\ étant une constante connue et a une constante indéterminée puisque la section S© au sommet n'est pas connue a priori. Cette constante est évidemment positive. Si l'arc ne porte que son propre poids, on a/? = 0, a = i; on obtient alors la chaînette dite d'égale résistance qu'il ne faut pas confondre avec la chaînette de section constante (§ 5) et qui a été étudiée autrefois par M. Ossian Bonnet. Quel que soit/?, avec les notations (i4)> l'équation (i 3) devient
5l6 NOTE III.
Soitj'= 3 y/a, on aura
ou, en appelant z' la dérivée première de z, d'où
rri/a , \/oL y' =arctangy ou x — = arc tang -- »
en posant jk' = -j^'
La constante d'intégration est nulle, si Ton compte les x à partir du point de la courbe où la tangente est horizontale. On tire de là
/- sin J7 — y — y/a tango: — on dy = \f% y dx,
COSJ^ —
(i6) y = — /'o L cos j? — •
La constante d'intégration est encore nulle si l'on prend l'origine des coordonnées sur la courbe.
Soient {/ig» 67, p. 5i 7) AOA' un arc de la courbe considérée, 2« sa portée AxV et/sa flèche OL On devra avoir j' =/ pour x = a, ou
soit
/ = — To L cos — v^a,
/ = --j-LcoSj^--/;, ou L ces -^-ya = — j^^
ou, en prenant les logarithmes ordinaires, (17) logcos --y//=-*-^-lo
CT fi
Le second membre est connu. On trouve immédiatomcnl, duii>
les Tables de logarithmes, l'angle correspondant -tt- y a.
COURBES FUNICULAIRES. 5l7
Soit 9o cet angle exprimé en fraction de 2bj. On en conclut
(Kn)
lia
ce qui donne la section So à adopter au sommet de l'arc. On a ensuite pour une section quelconque S
S 777 = So, S = So ^ = Sov/i -+-y ,
ds
Fig. 67.
Or de (i5) on tire
j'= y/a tangx^j 1 -H^* = i H- a lang^
qui permettrait de calculer S. Mais il est préférable de tracer la courbe et d'observer que la projection d'une section quelconque S sur la section verticale est constante et égale à Sq.
Si donc So est, à une échelle convenable, représentée par une droite, on trouve immédiatement les droites qui, à la même échelle, représentent toutes les sections.
La compression par unité de surface étant Ro, la compression totale de la section Sq est RqSo. Telle est donc aussi la poussée qo de l'arc.
APPUGATION A UNE ?0ÏÏT2 EN MAÇONNEBIE D'ÉGALE BÉSISTANGE. — Si
Ton admet que le remblai et les surcharges que supporte une voiiie en maçonnerie puissent être remplacés par une surcharge uni-
5i8 NOTE III.
forme /?, les résultats qui précèdent s'appliquent immédiatement. Considérons, comme on le fait d'habitude, une portion de voûte cylindrique ayant une longueur de génératrice égale à l'unité.
Alors, dans les formules qui précèdent, il suffit de remplacer les sections So et S au sommet et en un point quelconque par les épaisseurs des joints en ces points.
Ayant donc déterminé l'angle Oo ^^ observant que II est le poids du mètre cube de maçonnerie et R© la pression qu'on veut admettre par mètre carré, l'équation (17a) donne l'épaisseur Sq à la clef. Dans cette équation p est la charge uniforme qu'on substitue au remblai et à la charge permanente.
Ayant So, on trouvera l'épaisseur S d'un joint quelconque, comme il vient d'être dit.
On substituera à l'intrados théorique celui qui est donné en prenant les épaisseurs par excès.
L'intrados et l'extrados ainsi déterminés approximativement, on vérifiera si effectivement la voûte résistera aux charges réelles qu'elle a à supporter. Sans anticiper sur les développements que nous aurons à donner à ce sujet dans la deuxième Partie de cet Ouvrage, nous pouvons dire que, suivant la méthode de Méry^ qu'on peut simplifier encore, on admet qu'une voûte résiste si Ton peut tracer un polygone funiculaire ou polygone des pressions coupant un certain nombre de joints normaux à l'intrados (suffisamment rapprochés) dans le tiers moyen de leurs longueurs.
On peut, sans inconvénient, aux joints normaux substituer des joints verticaux fictifs, ce qui rend la construction extrêmement simple.
Remarque. — Si l'on voulait considérer le remblai réel limité à une horizontale ou y joindre une surcharge constante, il est clair que la charge totale à ajouter au poids propre de la voûte, au lieu d'être une simple constante, serait une fonction linéaire de j'; et, au lieu de l'équation (i4 bis)^ on aurait à intégrer une équation de la forme
ce qui est facile en posant
dx -^^ dx^ dx ^ dy dy '
COURBES FUNICULAIRES. SlQ
d'où
équation linéaire relative à y^ qu'on peut intégrer. Ayant ^'^ ou y^ exprimé en^ sous la forme
on en tire
const.
Mais les résultais seraient compliqués comme calculs, et, eu égard aux incertitudes qui régnent sur la façon dont se transmettent les pressions dans une voûte, sur le rôle des mortiers, sur les effets du décintrement, etc., ils ne seraient pas plus approchés de la vérité que ceux très simples qui précèdent.
COÏÏBBES HE SUPPORTAHT ttUE DES PBE8SI0HS NORMALES. — Si une
courbe flexible ne supporte que des pressions normales, les équations (2) deviennent, si l'on y fait F, = o, F„ = F,
N = No = const., ^ = F.
Théorème. — LorsquUine courbe funiculaire ne porte que des pressions normales : i^ sa pression ou tension est constante en tous ses points; 2° sa courbure en chaque point est proportionnelle à la force qui agit en ce point {rapportée à V unité de longueur de la courbe).
Corollaire. — La courbe funiculaire ou courbe d'équilibre
répondant à une force normale constante est la circonférence.
Si Tq est le rayon de la circonférence et F =/? la force normale,
on a
No = /?ro,
pour la pression ou tension que supporte l'arc en chacun de ses points, résultat déjà trouvé.
Oao NOTE III.
COURBE D'ÉGALS BÉ8I8TAHGE SOUS L'inFLUOIGE D'UHE PHESSICH HOUULE UlflFGRME. — Considérons les deux systèmes d^équations (2) et (3) et écrivons la première de chacun d'eux, c'est-à-dire les équations d'équilibre en projection sur Taxe des x supposé horizontal et sur la tangente à la courbe. On aura
dx ' ds y dS „
'-dr- = ^' dF=^'-
Supposons une courbe soumise à son propre poids, qui est IIS par unité de longueur de l'arc et à une pression normale p par unité de longueur de l'arc. La projection de la première de ces forces sur l'axe des X est nulle; il en est de même de celle de la seconde sur la tangente à la courbe, en sorte qu'avec le sens convenu de la normale positive
D'ailleurs, la courbe étant d'égale résistance,
N=:RoS.
Donc
^ ds Ko ds
et les équations de la courbe sont
^i - î^ - -H N La seconde donne
en désignant par JN|, la compression aux naissances de Tare. La première donne
ou
COLKBES FUNICULAIRES. 5ll
écjualîon d'où Ton tirerait ~ en fonction de y et, par suite, x en
fonction dey par une quadrature.
Mais le résultat est plus complexe que quand il s'agit de forces verticales et peu propre aux applications.
522 NOTE III BIS
NOTE III bis.
TBAGÉ D'UN ABC DE PABABOUL — Nous avons ëlé conduit souvent à résoudre ce problème élémentaire dont nous rappelons ici la solution : Tracer un arc de parabole connaissant deux points A et B de la courbe ainsi que le point C où elle est rencontrée par le diamètre conjugué à la corde AB.
Première solution. — Soit {ftg* 68, p. SaS) I le milieu de la corde AB, de sorte que IC est le diamètre conjugué à cette corde, diamètre que, pour simplifier le langage, nous regardons comme vertical.
Construisons le parallélogramme AA'BB', dont les côtés verticaux sont égaux à IC et prenons les milieux k el k' des demi-cordes AI et IB.
Ceci fait, divisons chacun des côtés opposés AA' et BB' du parallélogramme en un même nombre de parties égales, nombre d^autant plus grand qu'on veut obtenir plus d'exactitude dans le tracé de la courbe ; on a divisé ici en quatre parties dont les longueurs égales entre elles sont désignées par
I, 2, 3, 4, pour le côté AA' et par
i', 2', 3', 4' pour le côté BB'.
Divisons les deux demi -cordes AI el IB dans le même nombre de parties, soit quatre, à l'aide des verticales tracées en pointillé. Aux milieux des points de division, appliquons des forces verticales
1, 2, 3, 4 pour la partie IB et
pour la partie lA, et, partant du point C, construisons :
ï** Un polygone funiculaire de ces quatre dernières forces sup-
