NOTIONS RELATIVES A LA STATIQUE ORDINAIRE

m L'ËaUIVALElICE DES FORGES AGISSANT TOUTES EH UN MÊME POINT D'UN G0BP8 aUELGONOUE OU AGISSANT SUR UN SYSTÈME INYARIARLE. — Nous avons vu (§19) que, lorsque des forces agissent toutes en un même point d'un corps quelconque ou lorsqu'elles agissent en divers points d'un système invariable, il n'y a pas de distinction à faire entre les forces en équilibre et les forces supprimables, de sorte que le théorème du paragraphe précédent peut alors s'énoncer ainsi :

THéoRÈME. — Pour que deux systèmes de forces agissant toutes en un même point d^un corps naturel ou des forces agissant d'une manière quelconque sur un système invariable soient équivalents^ il faut et il suffit que l'un d^eux soit équilibré par les forces de Vautre changées de sens.

Remarque L — Ainsi, étant données des forces F agissant toutes en un même point d'un corps quelconque ou en divers points d'un système invariable, trouver des forces F' qui leur soient équivalentes ou trouver des forces — F' qui les maintiennent en équilibre, c'est un même problème.

Remarque IL — En particulier, pour trouver les conditions pour que des forces F appliquées en un même point d'un corps quelconque ou en divers points d'un système invariable admettent une résultante R, il suffit de chercher les conditions pour qu'il existe une force unique — R capable de les équilibrer.

Remarque IIL — Lorsque des forces agissant toutes en un même point d'un corps quelconque ou en divers points d'un système invariable sont en équilibre, toutes ces forces, moins l'une quelconque d'entre elles, admettent une résultante égale et opposée à cette dernière.

Plus généralement, si l'on divise des forces' en équilibre sur un système invariable ou en un point d'un corps quelconque en deux groupes, chaque groupe est équivalent aux forces de l'autre changées de sens.

20 r' SECTION. — CHAI». Il

RAPPEL DE aUELaUES PBINGIPES DE STATiaUE. — Nous emprunterons à la Statique les trois principes suivants :

Règle du parallélogramme des forces. — i^ Deux forces appliquées en un même point d'un corps quelconque admettent une résultante égale à la diagonale du parallélogramme qu'elles déterminent, par conséquent égale à leur somme géométrique (§ 4, Rem. II),

2.^ Pour que deux forces appliquées en deux points d'un système invariable soient en équilibre, il faut et il suffît qu'elles soient égales, dirigées l'une et l'autre suivant la droite qui joint leurs points d'application et de sens contraires.

De là résulte que deux forces F et F' appliquées respectivement en deux points A et B d'un système invariable, dirigées l'une et l'autre suivant la droite AB, égales et de même sens, sont équivalentes (§21).

C'est ce qu'on exprime en disant , qu'on peut porter le point d'application d'une force agissant sur un système invariable en un point quelconque de sa direction.

Principe de la réaction égale et contraire à l'action. — 3*^ Si deux corps A et B, soumis à des forces quelconques, sont assujettis à demeurer en contact par un point, chacun d'eux exerce une certaine action sur l'autre et, de son côté, en éprouve une de la part de celui-ci. Ces deux actions sont égales entre elles, dirigées suivant la même ligne et dé sens contraires. L'une d'entre elles se nomme Vaction et alors l'autre prend le nom de réaction.

On ne change pas l'état de l'un des corps, par exemple du corps A, en enlevant le corps B, pourvu qu'aux forces qui agissent sur le corps A on en adjoigne une exactement égale à l'action qu'il éprouvait de la part de B.

Si les deux corps sont en contact par plusieurs points, ce que nous venons de dire s'applique à chaque point séparément.

Si les deux corps sont en contact par une surface ou une ligne continue, cela est vrai pour chaque élément de la surface ou de la ligne de contact, et, pour pouvoir enlever le corps B sans changer l'état de A, il faut, en chaque élément de cette surface ou de cette

NOTIONS RELATIVES A LA STATIQUE ORDINAIRE. 'Jti

ligne, appliquer au corps A une force égale à la pression que le corps B exerçait sur lui en cet élément.

FORCES ÉLA8TI0UE8. — Considérons à présent un corps unique soumis à des forces quelconques et une surface idéale S de forme quelconque, traversant ce corps et le divisant en deux parties A et B. On pourra, si on le juge commode, étudier ces deux parties comme si c'étaient deux corps distincts assujettis à demeurer en contact tout le long de la surface S, enlever, par exemple, la partie B sans que l'état de A se trouve modifié, pourvu qu'en tous ses points Ton applique des forces égales aux actions que ces points éprouvaient de la part de B.

Observons à présent que, si l'on coupait effectivement le corps en deux suivant la surface S, toute action cesserait entre les deux parties, malgré leur contact; on en conclut que leurs actions mutuelles ne s'étendent qu'à une distance insensible de cette surface et l'on peut, par suite, admettre que les points d'application de ces actions sont sur la surface S elle-même. Ces actions se nomment des forces élastiques et, suivant les cas, des tensions ou des pressions élastiques.

On peut de même concevoir enlevée la partie A, à la condition d'appliquer, aux divers points de la partie B contigus à la surface S, des forces élastiques égales et contraires aux précédentes.

Traçons autour d'un point M de la surface S', sur la partie A par exemple, une petite courbe fermée dont l'aire soit AS. Transportons toutes les forces exercées par B sur A et appliquées aux divers points de cette aire parallèlement à elles-mêmes, au point M et concevons qu'on prenne la résultante t de ces forces. Le rapport

— : se nomme la force élastique moyenne exercée suivant AS par

la partie B du corps considéré, sur la partie A, ou encore la force

élastique rapportée à l'unité de surface. Le rapport — ^ est ainsi

défini en grandeur, direction et sens pour chaque petite portion donnée de surface AS. La limite vers laquelle il tend lorsque l'aire AS décroît indéfiniment en renfermant toujours le point M se

nomm& la force élastique en ce point M rapportée à r unité de surface; ou encore, suivant les cas, la tension ou pression rapportée à l'unité de surface exercée au point M par B sur A.

La tension ou pression exercée en ce point par A sur B serait une force égale et contraire à la précédente. Si la force exercée par l'une des parties sur l'autre, par exemple par B sur A, est dirigée vers l'intérieur de A, c'est une pression; dans le cas contraire, c'est une tension»

Nous regarderons généralement les tensions comme positives et les pressions comme négatives et nous parlerons alors des forces élastiques comme si c'étaient toujours des tensions, sauf à nous rappeler que ce sont des pressions si elles ont une valeur négative. II en sera toutefois autrement dans les problèmes où nous saurons d'avance que les forces élastiques sont, en totalité ou en majeure partie, des pressions.

Si T est la tension positive ou négative au point M, c'est-à-dire

le rapport ^ de la force t exercée sur un élément de surface infiniment petit rfS à l'aire de cet élément, on aura

= T, t^- zdS.

La tension exercée sur un élément de surface est le produit de cet élément par la tension rapportée à l'unité de surface.

GHAB6ES DE RÏÏPTUBE ET DE StCUHITÉ FRATIftUE. — Supposons qu'on prenne le millimètre carré pour unité de surface, qu'on suspende un fil de fer de i™"»i par l'une de ses extrémités et qu'à l'autre extrémité on attache, sans choc, des poids graduellement croissants jusqu'à ce que le fil de fer se rompe. On aura ainsi la charge de rupture d'un fil de fer, par extension. On peut la trouver pour toutes les matières, ainsi que la charge de rupture par compression, de sorte que chaque matière ne peut supporter qu'une tension ou une pression donnée sans se rompre. En aucun point d'un corps, la tension ou pression ne doit dépasser ces limites et, dans la pratique, on reste bien au-dessous d'elles.

En France on admet généralement des charges variant du ~ au