CONDITIONS D EQUILIBRE DES CORPS. 9I

on peut chercher cette résultante à l'aide du polygone funiculaire et lui appliquer la méthode précédente.

Ainsi soient (Jg. 29, PL VIII)

les lignes d'action de quatre forces représentées sur le polygone des forces {Jig- 29) par les côtés

On demande de décomposer la résultante suivant les trois lignes

d'action

XX', YY', ZZ',

que nous désignerons par les chiffres

Traçons le polygone funiculaire des quatre forces données relatif à un pôle O, en partant d'un point 7 pris sur l'une de ces trois lignes, et formons le contour 7.1.2.3.4.5 en prolongeant le dernier côté jusqu'à son intersection 5 avec la ligne désignée par ce chiffre.

La résultante F des quatre forces données passe par le point de concours S des deux côtés extrêmes de ce polygone, est parallèle à ab et représentée par cette dernière ligne ; son intersection avec T2J esX, en I.

Soit m le point de rencontre des deux autres lignes XX', YY'.

Nous aurons, d'après la règle ci-dessus, à décomposer F suivant ZZ' et \m et celte dernière composante suivant XX' et YY', ce qui revient par le point b à mener une parallèle à I/n; par le point a une parallèle 7 à ZZ', ce qui détermine le point j^; puis, parles extrémités de by^ des parallèles 5 et 6 aux lignes 5 et 6 qui se coupent en X. Les trois lignes ay^ yx, xb sont les composantes cherchées suivant ZZ', YY', XX'.

Mais on peut employer un autre procédé plus commode et, en général', plus exact au point de vue graphique.

Proposons-nous de trouver les trois forces dirigées suivant 5, 6, 7 et faisant équilibre aux forces données. Ces forces seront égales et opposées à celles que l'on cherche.

ga 2* SECTION. — CHAP. V.

Supposons le problème résolu et soient 5, 6, 7 les grandeur des forces cherchées.

Partant d'un point 7 de la ligne ZZ', concevons qu'on trace le polygone funiculaire relatif au pôle O de toutes les forces tant connues qu'inconnues.

Soit 7.1.2.3.4.0.6.7 ce polygone, qui est fermé ainsi que le polygone des forces, puisque le système est, par hypothèse, en équilibre.

Sur le polygone des forces on connaît le contour formé par les lignes I, 2, 3, 4? ainsi que la position des lignes indéfinies 5 et 7, dont la première passe par l'extrémité b du polygone des forces données et est parallèle à 5 ou XX', et dont la seconde passe par l'origine a du même polygone et est parallèle à 7 ou ZZ'. Ce qu'il faut déterminer, c'est la position du côté 6 ou xy qui est parallèle à 6. Cette ligne déterminera les grandeurs 5, 6, 7 des trois forces inconnues.

Du polygone funiculaire on connaît la portion 7.1.2.3.4.5 dont les côtés sont parallèles aux rayons 7.1, 1.2, 2.3, 3.4) 4-^'

Prolongeons, sur le polygone des forces, les lignes 5 et 7 jusqu'à leur rencontre en u et joignons Ou.

Sur le polygone funiculaire prolongeons deux des lignes données, par exemple celles XX' et YY', jusqu'à leur rencontre en m; par ce point menons mn parallèle à ZZ', et prolpngeons 6.7 jusqu'à sa rencontre avec mn en n\ enfin joignons 5n.

Considérons les six lignes qui joignent les quatre points

du polygone funiculaire et les six lignes qui joignent les quatre

points

du polygone des forces; par construction, les cinq lignes

sont respectivement parallèles à celles

xu.yu, xy^ Ox, O7,

et l'on voit qu'aux deux triangles que forment les premières correspondent, dans les secondes, des lignes concourantes. Donc, en

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 93

vertu du corollaire II du § 35, les lignes 5/i et Oa sont parailèles-

De là, la construction suivante :

Donnez aux lignes d'action des forces données les numéros consécutifs

et aux côtés qui les représentent sur le polygone des forces les numéros correspondants

Donnez les trois numéros suivants :

aux lignes d'action des trois forces inconnues.

Partant d'un point quelconque 7 de la dernière de ces lignes, construisez le polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque O des forces données. Soit 7.1.2.3.4.5 ce polygone. Prolongez les lignes données 5 et 6 jusqu'à leur rencontre en m, et menez mn parallèle à 7.

D'un autre côté, par l'origine du polygone des forces, menez une parallèle à 7; par son extrémité une parallèle à 5, et conduisez le rayon issu du pôle et aboutissant au point d'intersection u de ces deux lignes.

De l'extrémité 5 du polygone funiculaire menez une parallèle à ce rayon; cette parallèle coupera mn en un point /i. Joignez /i7, que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre avec YY' en 6, et joignez 6.5; puis, sur le polygone des forces, menez O^ parallèle à 5.6 et Oy parallèle à 6.7; joignez xy. Les trois forces cherchées auront pour grandeurs et pour sens èx, xy etya.

Remarque. — Si les trois lignes données XX', YY', ZZ' concourent au même point m, la ligne ZZ' coïncide avec m/i, le point 7 avec n. Le problème est alors généralement impossible ; car la ligne 5/2, coïncidant dans ce cas avec 5.7 qui ferme le polygone funiculaire, ne sera pas, en général, parallèle à On. Si elle l'est, les deux points 1 et n qui déterminent la ligne 6.7 coïncidant, cette ligne est indéterminée. Ainsi, dans ce cas, le problème est ou impossible ou indéterminé. C'est ce qu'il était aisé de prévoir ; car, si

94 a* SECTION. — CHAP. V.

la résultante des forces données ne passe pas par le point de concours des trois lignes XX', YY', ZZ', on ne saurait l'équilibrer par trois forces dirigées suivant ces lignes, et, si elle y passe^ on le peut d'une infinité de manières.

Les fig. 34 et 34 (^PL IX) résolvent le même problème dans le cas où les forces données 1 , 2, 3, 4 sont parallèles entre elles, en sorte que leur polygone defe forces, dont l'origine est a et l'extrémité 6, se réduit à une ligne droite. Les lignes données sont XX', YY', ZZ' ou 5, 6, 7. La solution est la même qu'au paragraphe précédent, et les notations aussi, en sorte qu'on s'expliquera la figure en reprenant l'énoncé de la règle qui vient d'être établie.

GOBPS ATAHT DEUX POINTS FEŒS, OU REPOSANT SUR aUATRE GOUREES PAR aUATRE POINTS. INDÉTERMINATION DES RÉACTIONS DES APPUIS. — Lorsqu'un corps, comme ceux que nous considérons (§ 51), a {fig- 39, PI. IX) deux points fixes O et O' situés dans le plan contenant toutes les forces, sa position est non seulement déterminée, mais il ne peut pas se dilater librement, puisque la distance OC de deux de ses. points est assujettie à rester invariable, quels que soient les forces ou les effets calorifiques qui tendraient à les modifier.

Donc, l'équilibre doit avoir lieu, quelles que soient les forces agissantes; de plus (§50) les réactions ne doivent pas pouvoir être déterminées par la Statique. C'est ce qu'en effet on vérifie immédiatement. Soit R la résultante des forces directement appliquées. Nous pouvons prendre, sur sa ligne d'action, un point quelconque I et décomposer la force R en deux suivant les lignes 10 et 10'. Ces deux forces représentent les pressions exercées sur les deux points fixes O et O'; le point I étant arbitraire, on voit que ces pressions sont indéterminées.

La même chose aurait lieu si le corps,aulieu d'avoir deux points fixes O et O', était assujetti à s'appuyer sur quatre courbes A, B, C, D. Il devrait alors y avoir équilibre entre les réactions de ces courbes et la force R. Soient AO, BO les normales aux courbes A et B en leurs points d'appui.

Assujettir le corps à s'appuyer en A et B syr ces deux courbes

CONDITIONS D*£QUILIBRB DES CORPS. qS

équivaut (§ o4) à l'assujettir à tourner autour du point d'intersection O des normales AO et BO.

De même l'assujettir à s'appuyer sur les lignes C et D équivaut à l'assujettir à tourner autour du point O', intersection des normales CO' et DO' à ces lignes. Donc le problème est le même que si le corps avait deux points fixes O et O'.

En prenant un point I sur la résultante R des forces directement appliquées au corps et décomposant cette force en deux suivant lO et 10', puis décomposant celle suivant 10 en deux autres suivant OA et OB, puis celle suivant 10' en deux autres suivant O'C et O'D, on aura les pressions sur les quatre courbes; et, comme le point I est pris au hasard, ces pressions sont indéterminées ( *).

POUSSEE D'UN ABC SmPLEllElfT IPPÏÏTÉ. — U est important de bien préciser le mode d'indétermination dont il est parlé au paragraphe précédent.

Supposons {Jig» 4, p. 96) un corps quelconque, par exemple un arc de pont dont les deux extrémités A et B sont fixes.

Soit R la résultante des forces, quelles qu'elles soient, qui lui sont directement appliquées (d'ordinaire, les charges sont verticales et la corde AB est horizontale).

Prenons un point I sur cette force, menons lA et IB et dési gnons par r et r', non pas les composantes de R suivant lA et IB, mais des forces égales et opposées à ces composantes, c'est-à-dire égales aux réactions des appuis A et 6. Soit, sur un polygone des forces {Jig^ 4) <ïè = R; menons par a et 6 des parallèles à AI

(') Il est bon toutefois d'observer que l'indéterinination est ici un peu moins grande que si les points O et O' étaient effectivement fixes. Car alors le point I peut occuper une position quelconque sur la ligne indéfinie suivant laquelle agit la force R, tandis qu'ici il ne peut occuper qu'une portion de cette ligne telle, que la ligne lO tombe dans l'angle AOB et celle 10' dans l'angle G O'D. Autrement, parmi les composantes définitives de R suivant les quatre normales OA, OBy O'C, O'D, il y en a qui ne tendraient pas à faire porter le corps sur ses appuis, et les réactions correspondantes, c'est-à-dire égales et opposées, ne pourraient plus exister, la réaction de chaque surface A ne pouvant être dirigée que dans le sens AO.

96 a* SECTION. — CHAP. V.

et BI, nous formons le triangle aOé, et, puisque les trois forces R, r, r' doivent s'équilibrer, c'est-à-dire que le triangle de ces forces doit être fermé, on aura 60 = r' et Oa = r en grandeur et sens.

Menons, par le point O, la ligne Oco parallèle à la droite AB. Nous pouvons décomposer la force bO = r^ en deux, représentées en grandeur et sens par éco et toO, Tune parallèle à la résultante R que nous appelons r^ (c'est la composante verticale de la réaction, si la résultante R des forces agissantes est verticale), l'autre/' suivant la corde AB.

De même O a = rse décompose en Oco ou/ égale et opposée à/' suivant la corde BA, l'autre o) a parallèle àR et que nous appelons Tf.

Fig. 4.

Fig. 4.

On voit donc que Parc supposé libre est en équilibre sous Faction : i® des trois forces parallèles

2^ des deux forces

''0» R, rL\

ces dernières égales, dirigées suivant la même ligne AB et de sens opposés.

L'arc étant en équilibre, les forces qui le sollicitent satisfont (§ 46) aux conditions d'équilibre relatives aux systèmes invariables; mais les deux dernières y satisfont par elles-mêmes; il faut donc qu'il en soit de même des trois premières. Ainsi,