CONDITIONS 0*KQUILIBRË DES CORPS

lorsqu'un corps a deux points fixes et qu'on décompose chacune des réaclîons en deux : l'une parallèle à la résultante des forces directement appliquées, l'autre suivant la droite qui joint les deux points fixes, les composantes parallèles à la résultante des forces directement appliquées sont déterminées; les composantes suivant la droite qui joint les deux points fixes sont égales et de sens opposés; mais leur valeur commune ne peut pas être déterminée par la Statique.

Dans les arcs de ponts, les premières sont généralement verticales et se nomment les réactions verticales ; les secondes sont généralement horizontales et leur valeur commune se nomme la poussée de Tare, parce qu'en effet l'arc exerçant, sur ses appuis (culées), des pressions égales et opposées aux réactions /• et r', les composantes verticales de ces pressions sont égales et opposées a /'o et r^ et, par suite, connues; elles tendent à appuver les culées sur leurs fondations; tandis que leurs composantes horizontales égales et opposées à /et/' tendent à les renverser en les faisant tourner autour de leurs bases.

Si, comme dans la figure, l'arc est supporté, c'est-à-dire présente sa concavité vers le bas, ce renversement tendra à se faire vers-le dehors. Si, au contraire, l'arc présente sa concavité vers h; haut (ponts suspendus)^ ce renversement tend à se faire vers le dedans ou vers l'axe du pont.

8UR L'IHDÉTEBMDIATIOH APPABEirTE D£ LA POUSSÉE D'UN ARC. — Dans ce qui précède, nous avons appliqué uniquement les conditions d'équilibre communes à tous les corps (ce qui est permis rigoureusement); mais nous les avons appliquées en supposant l'arc indéformable, c'est-à-dire en opérant sur sa forme naturelle (§ 47) et non sur sa forme finale. Dans ces conditions, je dis que la valeur de la poussée est réellement indéterminée; elle est réellement ce que Con veut, sa valeur dépendant essentiellement de Isl pose de l'arc.

En effet, supposons le point A fixe et le point B reposant librement sur une ligne horizontale a^; l'arc étant supposé rigoureusement invariable, la fixité du point B se trouvera ainsi parfaitement assurée; on satisfera donc à la condition voulue d'avoir les deux 1. 7

qS '-*" SECTION. — CHAP. V.

points A et B fixes; et, comme la ligne a^ ne peut faire naître qu'une réaction verticale, on aurait, si Ton hissiil la pose de Varc de celte façon ^ f = o, par suite /= o. Il n'y aurait donc aucune poussée.

Supposons à présent que, le point A étant toujours fixe, on fasse reposer l'extrémité B non plus sur une ligne horizontale, mais sur une ligne inclinée ^BS. La fixité des deux extrémités A et B de l'arc sera ainsi assurée aussi bien que dans le mode précédent ^ mais cette fois la réaction /•' de la ligne yS normale à cette ligne, étant inclinée, aura une composante /'et, par suite, il naîtra en A une réaction égale et opposée/ (puisqu'on a/ = /'). On a donc ainsi une poussée et, en choisissant convenablement l'inclinaison de la ligne d'appui yBS, on peut faire en sorte que cette poussée ail la valeur que l'on veut.

C'est donc avec raison, si l'on admet la rigoureuse invariabilité du corps, que la Statique fournit, pour la poussée, une valeur indéterminée.

Supposons à présent le corps déformable.

Admettons que l'extrémité A soit fixe et que l'extrémité B puisse librement glisser sur la ligne horizontale a^. Sous l'iofluence des charges verticales qu'il porte, l'arc va se déformer, son sommet va s'abaisser, le point B va s'éloigner plus ou moins de A et l'équilibre ne s'établira que quand ce point sera venu quelque part en p.

Pour le ramener en B, c'est-à-dire à la place qu'il doit occuper d'après les conditions du problème, concevons qu'on y applique en p une force graduellement croissante, dirigée de P vers B. A mesure que cette force grandira, le point p se rapprochera de B et, pour une valeur suffisante el parfaitement déterminée de cette force, il viendra coïncider avec ce dernier.

Or, la présence de la culée ou la fixité de l'obstacle contre lequel s'appuie en réalité l'arc a précisément pour effet de faire naître cette force déterminée qui maintient l'extrémité de l'arc en B, et ce sera là la vraie valeur de la poussée.

Voilà pourquoi cette force est déterminée pour les corps naturels, et c'est d'après les considérations qui précèdent que nous la déterminerons plus loin en faisant intervenir le mode de structure de l'arc et l'élasticité de la matière qui le compose.