II

On verra, comme ci-dessus, que les deux dernières sont les tensions ou pressions des barres de mêmes numéros. Le quadrilatère doit être parcouru dans l'ordre où nous avons écrit les côtés; car, 8 étant, d'après ce qui précède, une pression, les forces 8 à appliquer eny et a sont répulsives ; la première a donc le sens aj\

Il résulte de ce sens du polygone que les barres 11 et 12 sont pressées.

On continuera de la sorte sans difficulté en prenant successivement les nœuds c, A, <i, g obtenus en parcourant successivement les étrésillons et contre-étrésillons.

Arrivé au nœud e^ on connaît par les déterminations faites sur les nœuds d et g les pressions des barres 18 et 19. Donc, au Heu que, pour chacun des nœuds antérieurs, on avait deux tensions inconnues, ce qui a permis de constituer les polygones fermés relatifs à ces nœuds, ici on n'en a qu'une, celle de la barre 21 . Le nœud e comprend les quatre côtés

3, 18, 19, 21, qui, sur la figure réciproque, doivent former un quadrilatère.

Trois des réciproques,

sont déjà placées sur celte figure; donc, pour qu^au nœud e réponde un polygone fermé et, par suite, pour que la figure proposée admette réellement, comme nous l'avons annoncé, une figure réciproque, il faut qu'en joignant les deux extrémités du contour polygonal formé par les trois lignes ci-dessus désignées on obtienne une ligne qui puisse constituer la réciproque de 21, c'est-à-dire qui lui soit parallèle.

En d'autres termes, si l'on joint l'extrémité de 3, c'est-à-dire le sommet 3.4, à l'extrémité de 19, on obtient une ligne 21 qui devra se trouver d'elle-même être parallèle à 21 , faute de quoi la figure réciproque que nous nous proposons de tracer n'existe pas.

Mais je disque cette condition sera remplie d'elle-même. En

effet, par hypothèse, les forces qui agissent sur l'ensemble de la

charpente sont en équilibre. D'autre part, par les opérations faites

sur les nœuds

nous avons exprimé que les forces agissant sur chacun de ces divers nœuds forment autant de polygones fermés, c'est-à-dire sont séparément en équilibre. Donc, les forces restantes, c'est-à-dire celles qui agissent sur les deux nœuds e et /, sont, de leur côté, en équilibre. Mais, si des forces agissant aux deux extrémités e et / d'une barre sont en équilibre, leurs résultantes sont dirigées l'une et l'autre suivant e/, égales et de sens opposés. Or les forces agissant à l'extrémité e de la barre e/sont la force 3 et les tensions des barres 18 et 19; leur résultante, c'est-à-dire la droite ai qui ferme le polygone de ces trois forces, est donc parallèle à 21 et le nœud e admet un polygone fermé. Cette ligne 21 représente ainsi la pression (ici c'est une pression) de la barre 21 .

De même les deux forces qui agissent à l'extrémité /de la barre ç/'sonl 4 et 205 comme la barre est en équilibre, leur résultante est forcément égale et opposée à celle des forces agissant en e ; en d'autres termes, les lignes

forment d'elles-mêmes un triangle. C'est en effet ce qu'on voit sur la figure.

170 a* SECTION. — CHAP. ,VI.

ViRIFIGATION DES ÉPURES. — Les détails qui précèdent ne peuvent laisser aucun doute sur la manière de tracer les épures de ce genre.

On voit que le tracé du polygone funiculaire n'est pas nécessaire dans la pratique. Il suffit de se rappeler la règle donnée plus haut pour placer les barres principales. Le polygone funiculaire ne nous a servi que pour bien établir cette règle.

Le fait qu'arrivée à l'avant-dernier nœud, la ligne de fermeture du polygone réciproque de ce nœud est entièrement déterminée et que cette ligne doit être parallèle à la dernière barre, fournit une vérification précieuse de l'épure. Si cette vérification n'a pas lieu très exactement, on doit conclure qu'on a commis quelque erreur et la recommencer. Pour éviter de retomber dans la même erreur, on peut recommencer par le nœiid/, si l'on avait d'abord cheminé en partant du nœud a et vice versa.

Remarque. — A mesure qu'on avance, il est essentiel de tracer en gros traits les pressions et, en traits fins, les tensions. Cela évite l'emploi des flèches pour désigner le sens des forces, emploi qui ne pourrait que tromper puisqu'à chaque force inconnue, que ce soit une tension ou une pression agissant à l'une des extrémités d'une barre, répond une force égale et de sens opposé agissant à l'autre extrémité.

Ces deux forces étant représentées par une seule et même ligne de la figure réciproque, si l'on employait des flèches, chaque ligne devrait porter deux flèches de sens opposés. Il faut donc s'abstenir des flèches.

CAS DES FIGURES DÉFOBHABLES. — Supposons que, de la figure que nous venons de considérer, on enlève un certain nombre de barres, de façon à la rendre déformable.

Pour l'équilibre, il sera toujours nécessaire (§ 46) que le polygone des forces agissantes, ainsi qu'un quelconque de leurs polygones funiculaires, se ferme. Supposons ces conditions remplies et admettons, pour fixer les idées, qu'on enlève la barre 13.

On pourra, en opérant comme il vient d'être dit, construire les polygones fermés réciproques des nœuds a, 6, j\

Mais, arrivé au nœud c, on se trouvera avoir déjà tracé, sur la ligure, le polygone des trois forces

Comme la barre 13 n'existe pas, il faudra, pour que le pointe soit en équilibre^ que la droite qui ferme ce polygone soit parallèle à 14.

Si cette condition n'était pas remplie, les forces agissantes ne pourraient pas, quoiqu'elles satisfassent aux conditions d'équilibre relatives à des systèmes invariables, maintenir, en équilibre la charpente déformable dont il s'agit.

Supposons donc que les forces aient été choisies de façon que cette condition se trouve satisfaite. Alors la ligne de fermeture parallèle à 14 qu'on aura tracée représentera la tension'de cette barre.

On pourra ensuite passer aux nœuds suivants h, rf, g, e, et opérer comme précédemment.

Ainsi, si une charpente contient une barre de moins que le nombre nécessaire pour qu'elle soit strictement triangulée, il faut, pour qu'elle puisse être en équilibre, que les forces qui la sollicitent satisfassent à une condition en sus de celles relatives aux systèmes invariables. La Statique graphique permet de vérifier si cette condition est remplie et de trouver, si elle l'est, les tensions des barres.

On montrerait de même que, si une figure renferme k barres de moins que le nombre nécessaire pour qu'elle soit triangulée, il faut, pour son équilibre, que les forces qui la sollicitent satisfassent à A' conditions en sus de celles relatives aux systèmes invariables: la Statique graphique permet de vérifier si elles sont remplies et donne, si elles le sont, les tensions de toutes les barres.

CAS DES FIfiUBES A UftHES SURABONDANTES. — Supposons que, au lieu d'enlever des barres de la figure, on vienne, au contraire, à en ajouter. La figure sera, a fortiori, indéformable et l'équilibre sera assuré si les forces agissantes ont leur polygone des forces et un de leurs polygones funiculaires fermés.

172 a* SECTION. — CHAP. VI.

Concevons qu'on ajoute une barre joignant les deux sommets j et d. On pourra toujours construire comme précédemment les polygones réciproques des nœuds a et 6 et connaître ainsi les tensions des barres 7, 8, 9, 10 aboutissant à ces deux sommets. Mais, au nœud y, au Heu d'avoir seulement deux tensions inconnues, on en aura trois, à savoir celles des deux barres 11, 12 et de la nouvelle barre yrf. Le polygone réciproque du nœud j sera un pentagone qui devra avoir deux côtés donnés en grandeur, direction et sens, à savoir les côtés 8 et 9, et les trois autres côtés donnés en direction seulement. Or on peut construire une infinité de polygones fermés satisfaisant à ces conditions ;onpeutse donner arbitrairement la grandeur et le sens d'un des trois côtés inconnus, par exemple de celui qui correspondra à la barre additionnelle y'âf, et alors les deux autres seront déterminés.

Pour tous les nœuds suivants les polygones réciproques se trouveront déterminés. Ainsi l'on peut, sans cesser de satisfaire à toutes les conditions d'équilibre fournies par la Statique, se donner arbitrairement la tension de la barre additionnelle, et alors les tensions des autres barres sont déterminées.

On verrait de même qu'en ajoutant k barres on peut se donner arbitrairement leurs tensions, sans cesser de satisfaire aux conditions d'équilibre fournies par la Statique, et ces conditions permettent alors de déterminer, par le tracé d'une figure réciproque, les tensions des autres barres.

La Statique laisse donc, dans ce cas, le problème de la recherche des tensions indéterminé. Nous montrons dans le second Volume de cet Ouvrage comment les premiers principes de la théorie de l'élasticité permettent de le résoudre.

MÉTHODE DE CULHAirN. — Concevons une charpente réticulaire ou non, mais disposée de façon qu'on puisse y faire une section plane ou courbe, rencontrant au plus trois barres, en d'autres termes, de façon qu'en coupant effectivement trois barres ou puisse séparer la charpente en deux. Si cette propriété existe à l'égard de trois barres, on peut immédiatement en trouver les tensions.

En effet, considérons la fi g. 64 (P/. JCIII)^ qu'elle soit réticu-

laîre ou plus complexe ; admettons qu'une section (plane ou non) xy ne rencontfe que trois barres 14, IS, 16- On peut concevoir qu'on enlève toute la partie de la charpente placée d'un côté de la section, par exemple à sa droite, sans troubler Téquilibre de la partie de gauche, pourvu qu'aux trois points rencontrés par la section on applique des forces égales aux actions que les parties enlevées des trois barres exercent sur les parties conservées, c'est-à-dire des forces égales aux tensions de ces lignes. Il faut donc qu'il y ait équilibre entre : i® ces trois tensions; 2" la résultante R des forces 6, 1, 2, 5 agissant à gauche de xy.

Les premières sont donc trois forces agissant suivant des lignes d'action données 14, 15, 16 et maintenant en équilibre une force connue R. La recherche graphique de ces forces fait l'objet du problème résolu au § 57.

S'il s'agit d'un système réticulaire, on peut de la sorte trouver les tensions de toutes les barres.

Pour appliquer cette méthode, on devra numéroter les forces données, non pas, comme nous l'avons fait, en suivant le pourtour de la charpente, mais en partant de l'un des deux nœuds ne comprenant que deux barres, par exemple du nœud a, et suivant ensuite les nœuds en zigzag, c'est-à-dire dans l'ordre a, 6, y , c, A, rf, g^ e,/, de sorte qu'ici l'ordre de succession des forces qu'il faudrait prendre pour construire le polygone des forces serait celui-ci :

On construirait un polygone funiculaire correspondant.

Alors on voit que les forces dont on cherche la résultante seraient les quatre premières et se trouveraient consécutwes sur le polygone des forces ; par suite (§ 57), on aurait immédiatement, parle polygone funiculaire, la résultante cherchée R, et la décomposition de cette force suivant les trois lignes d'action données se ferait facilement.

Pour toute autre section, le même polygone funiculaire, en prolongeant simplement deux de ses côtés, donnerait la position de la nouvelle résultante à décomposer et le polygone des forces en donnerait la grandeur.

II peut arriver que les résultantes partielles ainsi obtenues ou

certaines d'entre elles soient trop éloignées pour être employées ; alors on aura recours au second procédé du§ 57.

Culmann, qui, mettant à profit des travaux épars de VarignoD, Coulomb, Poncelet, Méry, Chastes, etc., a, le premier, fait, de la Statique graphique, un corps de doctrine, a imaginé cette méthode. Celle des figures réciproques, due à Maxwell, doit son importance aux beaux travaux de Cremona.

La méthode de Culmann, pour être moins élégante, n'en eslpas moins précieuse. Nous allons indiquer un cas très étendu où il est indispensable de l'employer soit seule, soit concurremment avec lamétKode des figures réciproques.

Même en dehors de ce cas, elle offre le grand avantage de donner directement la tension d'une barre quelconque, sans passer par les tensions d'autres barres, ce qui évite toute accumulation d'erreurs.

GOHDinOHS POUR aU£ LA STATiaUE FOURNISSE LES TEHSIOHS D'UH SYS- TÈME DE RARRES. — Nous montrerons dans des Notes spéciales (t. II) que, sans aucune exception, pour que la Statique puisse fournir les tensions d'un système articulé libre, il faut et il suffît que ce système soit (§ 91) librement dilatable. Sans entrer ici dans l'examen des cas d'exception pour lesquels nous renvoyons aux notes dont il s'agit, il est facile d'établir la proposition suivante, qui permet presque toujours, dans la pratique, à l'inspection d'un système articulé, de reconnaître s'il peut être traité par la Statique seule ou s'il est nécessaire de recourir à la théorie de l'élasticité.

Théorème. — Pour que la Statique puisse fournir les tensions d^ un système articulé libre, il faut et il suffit, en général, ya'iV ne contienne pa^ de lignes surabondantes, cest-à-dire que, sin est le nombre de ses sommets, il renferme au plus an — 3 côtés.

En effet, pour que le système soit en équilibre, il faut et il suilGt que chaque sommet regardé comme libre soit en équilibre sous l'influence des forces qui lui sont directement appliquées et des tensions des barres qui y aboutissent. Cela exige que la somme des

projections des forces sur deux axes soit nulle pour chaque sommet. Si donc il y a /i sommets, la Statique fournit ainsi 2/i équations entre les tensions inconnues et les forces données.

Mais il est facile de voir que ces in équations se réduisent à a /i — 3, parce que les forces données doivent toujours (§ 46), que le système soit déformable ou non, satisfaire aux conditions d'équilibre des systèmes invariables. Ces conditions sont suffisantes si le système est indéformable; dans le cas contraire, elles ne sont pas suffisantes, mais restent nécessaires.

Supposons d'abord quelesystème soit strictement indéformable, c'est-à-dire renferme an — 3 barres. Alors. les conditions sont à la fois nécessaires et suffisantes.

Cela posé, laissant de côté deux sommets A et B formant les extrémités d'une barre choisie arbitrairement AB, considérons les n — 2 autres sommets. Ils fournissent a/i — 4 conditions d'équilibre dans lesquelles entrent les tensions des barres autres que celles AB, c'est-à-dire a /i — 4 tensions inconnues .

Donc, ces a/i — 4 équations fourniront, sauf si elles sont incompatibles ou indéterminées ( cas d'exception pour lesquels on renvoie aux Notes précitées), les tensions de toutes les barres autres que celle AB. Ces équations étant satisfaites, c'est-à-dire les forces agissant sur chacun des sommets autres que A et B étant séparément en équilibre, il faut que la barre AB soit elle-même en équilibre sous l'influence des forces directement appliquées en ses deux extrémités A et B et des tensions des barres autres que celle AB issues de ces mêmes extrémités.

Toutes ces forces sont connues par la résolution des m — 4 équations considérées. Puisqu'elles sont en équilibre, il faut et il suHit que la résultante R de celles appliquées en A soit égale et opposée à la résultante R' de celles appliquées en B.

Cela aura lieu nécessairement, puisque, par hypothèse, les forces appliquées à tout le système sont telles qu'elles le maintiennent en équilibre. Mais alors la valeur commune des deux résultantes R et R' égales et opposées, dirigées l'une et l'autre suivant AB, représentent la tension de la barre AB, de sorte que les tensions de toutes les barres sont déterminées.

Considérons à présent un système à n sommets ne contenant que 2/1 — 3 — k barres, k étant un nombre positif.

Si nous ajoutons, pour un instant, k barres au système donnée

nous aurons un nouveau système à a/i — 3 barres et nous pourrons,

en général, diaprés ce qui précède, déterminer les tensions de toutes

les barres qui le composent en fonction des forces données qui lui

sont appliquées.

Soient

^i> hi hi • ••> 'àt»

les tensions trouvées pour les k barres que Ton a ajoutées. Pour que le système véritable, c'est-à-dire privé de ces barres fictives, soit en équilibre, il faut et il suffit que lesforces données soient telles que les tensions de ces barres soient nulles. Il faut donc et il sufBt que les forces données soient telles que Ton ait identiquement

Ces équations, où les premiers membres sont connus en fonction des forces directement appliquées, indiquent que, pour que le système puisse être en équilibre, il faut et il suffit que les forces données satisfassent à k conditions en outre de celles relatives à tous les corps libres. Si ces conditions sont remplies, la Statique fournit les tensions de toutes les barres, sauf toujours les cas d'exception réservés.

Supposons, au contraire, une figure à k lignes surabondantes,

c'est-à-dire renfermant

barres. Supprimons k barres en les remplaçant par leurs tensions inconnues

c'est-à-dire en appliquant aux deux extrémités de chacune d'elles deux forces égales et opposées, de grandeur inconnue, représentant leurs tensions.

L'équilibre ne sera pas troublé, et nous aurons un système à

in — 3

barres. Nous pourrons exprimer les tensions de ces 2/1 — 3 barres en fonction : 1^ des forces données; 2^ des tensions des k barres supprimées. Quelles que soient ces dernières tensions, l'équilibre se trouve assuré, puisqu'on a exprimé que chaque sommet est se-

parement en équilibre; elles restent donc indéterminées et nous montrons dans les Notes susmentionnées comment la théorie de Téiasticité les fournit.

SYSTÈMES BÉTICULÂIBES CÇHPOSÉS. — Dans les systèmes réticulaires précédemment étudiés, chaque ligne de la figure peut représenter ou une simple barre ou plus généralement un corps de forme quelconque supportant lui-même des forces quelconques (§93). Soit, par exemple (Jîg . 22, p. 177) le système à six sommets 1, 2, 3, 4y 5, 6, aux divers nœuds duquel agissent des forces données.

On peut lui appliquer soit la méthode des figures réciproques,

Pig. 2a.

soit celle de Culmann. Mais concevons qu'on remplace chacun des côtés 1 .2, 1 .&, ... par un système triangulé ( on peut concevoir de pareils systèmes aussi sur les côtés 3.i, 4.5, 5.6, quoiqu'ils ne soient pas représentés sur la figure). Aux divers nœuds de ces systèaies agissent des forces données. Il n'y aura plus, en général, aucun nœud ne contenant que deux lignes, qu'on puisse prendre comme point de départ pour l'application de la méthode des figures réciproques, ni aucune section ne rencontrant que trois barres, permettant d'appliquer la méthode de Culmann. Mais il nous suffit, suivant la remarque de la fin du § 95, de décomposer les forces agissant sur les corps 1.2, 2.3, ..., de façon à les reporter sur les nœuds 1, 2, 3, .... Alors, n'ayant que des forces appliquées aux six nœuds 1, 2, 3, 4, 5, 6, nous pouvons remplacer les corps qui les relient par de simples lignes et appliquer à ce système la méthode de Maxwell-Cremona ou celle de Culmann.

178 a* SECTION. — CHAP. VII.

Puis, on considérera le système 1.2 comme libre sous ractioii des forces qui lui sont directement appliquées et des réactions, à présent connues, qu'il subit aux deux sommets 1 et 2; de même pour le système 1.6 et les autres s'il y en avait.

Le système 1.2, par exemple, peut être regardé comme libre sous l'influence : i® des forces qui lui sont directement appliquées^ 2** des deux réactions parallèles à la résultante de ces forces et les équilibrant, dont la détermination est facile et a d'ailleurs été faîte lorsque, suivant la règle du § 95, on a reporté toutes les forces sur les points d'articulation 1 et 2; 3** des deux tensions trouvées.

On peut donc trouver les tensions de toutes les barres qui le composent, et de même pour les autres systèmes.

Fig. 23.

Pi

hzjig. 28 représente une charpente quelquefois usitée en Angleterre et en Allemagne. Le nombre des sommets est n =: 22. Celui des côtés, m = 4i* Donc m = 2/1 — 3. Par suite, (§ 101) la Statique doit pouvoir fournir les tensions des côtés. Pour les trouver, observons que la section xy coupe seulement trois barres. Donc, la méthode de Culmann fournit leurs tensions. Ces tensions connues, la méthode des âgures réciproques ou celle de Culmann s'applique à chacune des parties à droite ou à gauche de la section xy.

On pourrait, bien entendu, faire une section analogue à gauche du poinçon du milieu.

La {fig- 24> F- ^79) représente une charpente pour toiture où les arbalétriers AB et BC peuvent être remplacés chacun par une simple ligne en reportant les forces qui les sollicitent sur les points A, B, C. Alors on a cinq nœuds A, B, C, D, E, soit /i = 5, et /n = 7 pour le nombre des côtés. Donc m = 2n — 3. On voit d'ailleurs que c'est un système réticulaire. Ayant obtenu les tensions suivant

AB et BC, les arbalétriers dirigés suivant ces lignes peuvent être regardés comme libres sous l'action de ces tensions, des forces qui leur sont directement appliquées et des réactions parallèles à la résultante de ces forces, réactions qu'on sait trouver. Et, comme chacun d'eux forme un système réticulaire, on peut trouver, par les figures réciproques, les tensions de chacune des barres qui les composent.

B. — Des systèmes à liaisons.

■OIDBE DES C0HDITI0N8 GÉOKÉTBiaUES DES UAISONS.— Jusqu'ici nous avons considéré des systèmes articulés- libres, définis par les dis-

Fic. A-

tances mutuelles de leurs sommets, c'est-à dire définis uniquement déforme et non de position.

Admettons maintenant que certains points du système soient assujettis à rester fixes ou à demeurer sur des courbes données. Ces nouvelles sujétions pourront influer à la fois sur la forme et la position du système.

Une figure à n sommets est entièrement définie de forme et de position si l'on connaît la position de tous ses sommets, puisqu'alors on peut déterminer non seulement la grandeur, mais la position de tous ses côtés. Chaque sommet étant défini par deux grandeurs, par exemple, par ses deux coordonnées, la figure tout entière est définie par 2/1 grandeurs.

Toute équation entre ces 2/1 grandeurs ou quelques-unes d'entre elles se nomme une équation de liaison ou une condition à laquelle e système est soumis.

l8o 2* SECTION. — CHAP. VII.

La sujétion, pour un point, de rester sur une courbe donnée, se traduit par une équation entre les deux coordonnées de ce point. C'est donc une condition.

La sujétion, pour un point, de demeurer fixe, vaut deux conditions, puisqu'elle détermine les deux coordonnées du point.

Se donner la longueur d'un côté d'une figure vaut une condition, puisque cette donnée se traduit par une équation, à savoir

entre les coordonnées x^ y^ x^^ y^ des deux extrémités du côté donné de longueur /.

Nous avons vu que la forme d'une figure est définie par in — 3 côtés, c'est-à-dire par 2/1 — 3 conditions.

La position d'une figure de forme donnée est définie par trois conditions, puisqu'il suffit de fixer un point de la figure et d'assujettir un autre point à demeurer sur une courbe pour qu'elle soit entièrement fixe.

Ainsi, 2/1 conditions définissent bien, comme nous l'avons dit, la forme et la position d'une figure en la rendant fixe.

Si on la soumet à plus de 2/1 conditions, elle est a fortiori fixe; mais les conditions excédant le nombre 2/1 sont surabondantes. Si elle est soumise à moins de 2/1 conditions, elle est mobile.

Si une figure à n sommets renferme a/i — 3 côtés ou davantage, elle est déterminée de position par trois conditions. Toute autre condition est surabondante.

Si une figure à n sommets ne contient que

in — k— 3

lignes de longueurs données, ce qui lui impose 2n — k — 3 conditions, on peut encore l'assujettir à Ar-j- 3 nouvelles conditions pour la définir strictement déforme et de position.

Si elle est soumise à moins de A: + 3 conditions, elle reste mobile; si elle est soumise à plus de A: + 3 conditions, les conditions excédant ce chifire sont surabondantes ; les côtés de la figure ne pourront plus se dilater librement et, en cas de dilatation par la chaleur, les barres qui la composent feront naître des pressions sur les appuis et des tensions dans les barres elles-mêmes.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l8l

HOMBBE DES BËAGTIONS nrCOUHUES. — Lorsqu'un système articulé soumis à des forces données agissant sur ses sommets n'est pas libre, on le rend libre en adjoignant à ces forces les réactions des appuis, et le problème à résoudre consiste : i® à trouver les conditions d'équilibre entre les forces données; 2® ces conditions étant supposées remplies, à déterminer les tensions des barres et les réactions des appuis.

Observons que le nombre des inconnues introduites par les réactions des appuis est toujours égal à celui des conditions géométriques imposées au système. En effet, un point fixe vaut deux conditions. Or, pour le rendre libre, il faut lui appliquer une force inconnue à la fois en grandeur et en direction, ce qui introduit deux inconnues, à savoir la grandeur de la force et l'angle qu'elle fait avec un axe fixe ou, si l'on veut, les deux composantes de la force parallèlement à deux axes tixes.

Si un point est assujetti à demeurer sur une courbe sans frottement, pour le rendre libre, il faut lui appliquer une force de direction normale à la courbe, dont la grandeur est seule inconnue. Or une telle sujétion équivaut à une seule condition.

Ainsi, si un système appoints fixes et s points assujettis à demeurer sur des courbes, c'est-à-dire s'il est soumis k 2/ -h s conditions, pour le rendre libre, on aura ainsi à introduire if-\-s réactions inconnues.

corarrioNS pour ans la STATiauc foubsisse les réactions et les

nVSIONS. — Théorème. — Quel que soit le nombre des liaisons d^un système articulé j pour que la Statique fournisse les réactions des appuis et les tensions de tous les côtés d^ une figure à n sommets, il faut et il suffit, en général : i** qu!elle contienne au plus 2/1 — 3 côtés; 2° que, si elle en contient 2/1 — 3 — A', les sommets soient au plus assujettis à k -{-Z conditions de liai" son.

On peut encore dire qu'il faut et il suffit que la figure soit libre-

l82 2* SECTION. — CHAP. VII.

ment dilatable malgré les liaisons auxquelles elle est soumise ( * ). Rendons le système libre par Tadj onction des réactions des appuis. Pour que la Statique puisse fournir les tensions des barres, la figure supposée à n sommets doit évidemment contenir au plus an — 3 lignes; car, si elle en contenait davantage, la Statique serait impuissante à déterminer ces tensions, même si les réactions des appuis étaient connues, à plus forte raison si, comme cela a lieu ici, elles ne le sont pas. Supposons donc que le nombre des

côtés soit

in — 3 — k,

k étant positif ou nul.

Pour qu'une figure d'un pareil nombre de côtés regardée comme libre soit en équilibre, il faut et il suffit (§ 101) que les forces extérieures qui la sollicitent (comprenant ici les réactions des appuis) satisfassent à k conditions en sus des trois conditions relatives aux systèmes invariables, soit en tout à A: + 3 conditions. Ces conditions satisfaites, la Statique fournit les tensions des barres.

Donc, pour qu'elle fournisse aussi les réactions des appuis, il faut et il suffit que ces réactions soient en nombre moindre ou au plus égal à A: -h 3 ; pour cela, il faut et il suffit (§ 104) que la figure soit soumise au plus à A" 4- 3 conditions de liaison, c'est-à-dire qu'elle soit mobile ou strictement définie.

CALCUL DES DIMEHSI0N8 DES BABBES D'UN STSTÊHE ABTICULÉ. STSTiMBS D'ifiALE BÉSISTAHCEi — Toute la théorie exposée dans ce Chapitre est vraie quelle que soit la forme des corps formant le système articulé que l'on considère, pourvu que chaque corps ne porte que deux articulations. Supposons, en particulier, comme cela a lieu en général, que ces corps se réduisent à de simples barres cylindriques de dimensions transversales assez grandes pour que celles qui sont comprimées n'aient aucune tendance à fléchir.

Soit ti la tension (ou pression) subie par une barre de section si^ de sorte que la tension (ou pression) qu'elle subit par unité de surface

(*) Oa établit dans les Notes susmentionnées (t. II) que ce dernier énoncé ne soufTre aucune exception.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l83

est ~ • On sait expérimentalement, d'après la nature de la matière

employée, que ce rapport ne doit pas dépasser une valeur donnée que nous appellerons R, et qui, pour chaque matière, est déterminée (votr Note I).

Cette constante fixée, on devra avoir

R pouvant, pour une même matière, avoir une valeur différente, suivan que ti est une tension ou une compression. On tire de là

La valeur la plus petite possible de si est donc

C'est celle qui conduit à la plus faible dépense possible de matière. On en déduit

Si

Si toutes les barres ont été ainsi calculées sans excès dans leurs dimensions transversales, toutes celles qui sont tendues supportent même tension et toutes celles qui sont comprimées supportent même compression par unité de surface.

Un système ainsi constitué se nomme un solide d^égale résistance.

Dans tout système articulé dépourvu de lignes surabondantes, on peut trouver les tensions de toutes les barres par la Statique. Ayant ces tensions, l'équation (6) fournit les sections correspondantes, de sorte qu'un tel système peut toujours être constitué rigoureusement en solide d'égale résistance.

On montrera (t. II) que ce sont, en général, les seuls jouissant de cette importante propriété.

l84 a* SECTION. — CHAP. VIII.