I. II

l62 V SECTION. — CHAP. VI.

Portons leurs grandeurs bout à bout, de manière à former fig. 64) le polygone des forces dont les côtés

5ont représentés sur la figure par de doubles lignes.

Les forces étant supposées en équilibre, ce polygone se ferme.

Traçons ensuite le polygone. funiculaire relatif à un pôle O qu'on choisira à volonté. Ce polygone

alVc'e'fKa!

est représenté en lignes pointillées sur la figure.

Les côtés successifs a'è', V c\ de\ dfifK^ h!ci^ compris respectivement entre les lignes d'action

6 et 1, 1 et 2, 2 et 3, etc.

et par conséquent parallèles aux rayons issus de O {Jig* 64) et aboutissant aux sommets 6.1, 1.2, 2.3, etc. du polygone des forces, se ferme aussi, par hypothèse.

Remarque, — Dans la pratique, si l'on sait d'avance que les forces données sont en équilibre, il ne sera pas nécessaire de tracer ce polygone funiculaire; le plus souvent la charpente reposera sur un ou deux appuis ; alors les réactions de ces appuis devront être déterminées suivant les indications données au Chapitre Y, de manière à faire équilibre aux forces directement appliquées et la détermination de ces réactions exigera d'ordinaire le tracé d'un polygone funiculaire obtenu soit en suivant l'ordre de succession que nous avons adopté pour les forces, soit en suivant tout autre ordre de succession.

Le polygone, tel que nous l'avons tracé, en prenant les forces dans l'ordre où elles se présentent lorsqu'on suit tout le pourtour de la charpente, est essentiel pour la clarté des explications qui vont suivre, mais, comme nous le verrons, ne joue aucun rôle dans le tracé final de l'épure. Si donc, par le tracé d'un «autre polygone funiculaire ou par toute autre considération, on est assuré que les forces agissantes se font équilibre, il sera inutile, dans la pratique, de tracer celui porté sur la figure.

a** Recherche des tensions. — La figure formée par la charpente donnée n'admet pas de figure réciproque (§ 92), puisque, des points a ety ne partent que deux barres. Mais complétons-la par l'adjonction : 1° des côtés du polygone funiculaire; a** des lignes d^action des forces, ou du moins des portions de ces lignes comprises entre le polygone funiculaire et la charpente.

Ceci fait, nous nous proposons de trouver une figure réciproque de la figure ainsi complétée, en nous imposant la condition que les lignes réciproques des lignes d'action des forces données soient' les côtés du polygone de ces forces. Nous démontrerons que ce problème est possible d'une seule manière et que, de plus, les lignes réciproques de celles qui, sur la figure donnée, coïncident avec les barres de la charpente représentent les tensions ou pressions de ces barres à l'échelle où les côtés du polygone des forces représentent les forces données.

D'autre part, nous avons vu que, si une figure admet une réciproque, à chaque nœud delà réciproque répond, dans la proposée, un polygone fermé et le système des polygones fermés ainsi définis est tel que chaque côté de la figure donnée fait partie de deux de ces polygones et de deux seulement. Nous démontrerons que. dans tous les systèmes réticulaires, ces polygones peuvent -être définis d'avance et toujours d'après la règle unique que nous allons indiquer; à cet effet, nous diviserons les lignes de la figure en quatre catégories :

1** Les barres principales, c'est-à-dire celles qui forment le pourtour de la charpente ;

a® Les étrésillons et contre-étrésillons ;

3° Les lignes d'action des forces extérieures ;

4** Les côtés du polygone funiculaire.

i** Chaque barre principale fait partie de deux polygones fermés, à savoir : i** un triangle de la charpente ; a° un polygone formé par les lignes d'action des deux forces limitrophes de ce côté, par la portion du polygone funiculaire et celle du pourtour de la charpente comprises entre ces mêmes forces.

Ainsi, la barre 6c, comprise entre les forces 1 et 2, fait partie du triangle hcj et du quadrilatère bU cd\ toute barre principale aux deux extrémités de laquelle agissent des forces fera ainsi partie

iG4 a' SECTION. — CHAP. VI.

d'un triangle et d*un quadrilatère; mais les barres qui ne sont pas dans ce cas font partie d'un triangle et d'un polygone d'un plus grand nombre de côtés.

Ainsi, la barre hg^ comprise entre les forces 4 et 5, fait partie du triangle hgd et du pentagone hgjf h' h\ la barre gf fait partie de ce même pentagone. Toutes les barres comprises entre deux forces consécutives ont ainsi en commun un des deux polygones fermés auxquels elles appartiennent, en sorte que, si la force 5 n'existait pas, les barres aj, jh^ hg^ gf feraient toutes partie d'un même polygone fermé ayant, pour deux de ses côtés, les forces 4 et 6 entre lesquelles toutes ces barres seraient comprises.

2? Chaque étrésillon fait partie de deux triangles qui se présentent d'eux-mêmes sur la figure de la charpente; la barre 6/ fait partie des deux triangles 6/a, bjc ; la barre yc, des deux triangles jcb.jch.

3** La ligne d'action de chaque force fait partie de deux polygones fermés pour lesquels il ne saurait non plus y avoirde doute ; ils sont formés par la ligne considérée elle-même, par l'une des deux forces voisines et limités, d'autre part, par les portions correspondantes du polygone funiculaire et du pourtour de la charpente.

Ainsi ff fait partie du quadrilatère ffe'e et du pentagone

ff'l^hgf. ....

4° Chaque côté du polygone funiculaire fait partie de ce polygone même qui est fermé et de Pun des polygones fermés dont il vient d'être parlé.

Ainsi b'd fait partie du polygone funiculaire et du quadrilatère Vdbc; de* fait partie du polygone funiculaire et du pentagone ddedcd.

Pour démontrer les propositions qui viennent d'être énoncées, il suffit de construire la figure réciproque cherchée. Nous pourrions, pour cela, partir de la définition même de ces figures, consistant en ce qu'à chaque nœud de la proposée répond un polygone fermé de la réciproque, et vice versa.

Mais, pour nous conformer à ce qu'on est réellement amené à faire dans les applications, nous procéderons autrement : nous essayerons de construire une figure telle : i** qu'à chaque nœud de la proposée réponde, dans la nouvelle figure, un polygone fermée

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l65

1** qu'à chacundes polygones Jermés de la proposée qui viennent d^être définis réponde un nœud de la figure cherchée.

11 est clair que s'il est possible de construire une telle figure, non seulement elle sera réciproque de la proposée, selon la définition du § 92, puisqu'à ses nœuds répondront des polygones fermés de la proposée, mais de plus ces polygones fermés seront bien ceux annoncés.

Pour construire la figure cherchée, après avoir numéroté les lignes d'action des forces, en suivant, comme il a été dit plus haut, le pourtour des barres principales, donnons les numéros suivants aux barres elles-mêmes, dans un ordre quelconque {fig» 64-). Toutes ces lignes étant désignées par des chiffres gras, leurs lignes réciproques {fig* 64) seront désignées par les chiffres ordinaires correspondants.

Il n'y a que les côtés a' 6', V c\ ... du polygone funiculaire que nous n'avons pas numérotés, parce que, dans la pratique, on n'a pas à s'en occuper.

Cela posé, les lignes réciproques des lignes d'action des forces i, 2, 3, ... ou bb'y cc\ ee'j . . . {fig- 64) sont tracées {fig» 64)- Ce sont les côtés i, a, 3, ... du polygone des forces. D'autre part, la position (non la grandeur) de toutes les barres principales est déterminée d*avance. Ainsi, la barre bc appartient au quadrilarère bcb'c' comprenant les lignes d'action 1 et 2 ; dans la figure réciproque, à ce polygone fermé doit répondre un nœud, c'està-dire des lignes concourantes; donc la réciproque de bc passe par le point de rencontre des réciproques de 1 et 2, c'est-à-dire par le sommet i .a du polygone des forces et, comme la réciproque d'une ligne est, par définition, parallèle à cette ligne, sa position est déterminée ; de même les barres cd^ de font partie l'une et l'autre d'un polygone fermé auquel appartiennent les lignes d*action 2 et 3 entre lesquelles ces barres sont comprises; donc les lignes réciproques de ces lignes passent Vune et Vautre par le point a. 3 du polygone des forces. Nous avons donc cette règle : La réciproque d'une barre principale passe par celui des sommets du polygone des forces qui est formé par les deux forces limitrophes à cette barre.

Et c'est cette règle qui, en définissant a priori la position des lignes réciproques des barres principales^ nous dispensera de tra-

l66 2* SECTION. — CHAP. VI.

cer le polygone funiculaire lorsque d'autres raisons n^auront pas conduit à le faire.

Ceci posé, partons de l'un des deux nœuds a ou/ ne comprenant que trois lignes, par exemple du nœud a.

Aux trois lignes

de ce nœud doivent répondre les trois côtés d'un polygone fermé, c'est-à-dire un triangle. Nous connaissons un côté de ce triangle, le côté 6 {^fig* 64) du polygone des forces qui correspond, par hypothèse, à la ligne d'action 6, et les directions des deux autres. Le triangle est donc déterminé ; pour l'obtenir, il suffit, par Pune des extrémités de 6, de mener une parallèle à 7 et, par l'autre extrémité, une parallèle à 8. Or, d'après la règle qui vient d'être établie, la barre principale 7 comprise entre les lignes d'action 6 et 1 part du sommet 6. i du polygone des forces et la barre principale 8 comprise entre les lignes d'action 6 et 5 part du sommet 6.5 de ce même polygone.

Nous avons donc, comme répondant au nœud a sur la figure, le triangle parfaitement déterminé ayant pour côtés

D'ailleurs les côtés 7 et 8 représentent évidemment les tcnsionsoii pressions des barres de même nom ; car (§ 95, théor. II) le point a doit être en équilibre sous l'action de ces tensions ou pressions et de la force 6. Donc, ces trois lignes doivent former uq polygone fermé (triangle) et, comme on connaît le côté 6 de ce triangle en grandeur, direction et sens et les deux autres en direction, ce ne peut être que le triangle qui vient d'être construit.

Il est d'ailleurs facile de voir si les côtés 7 et 8 représentent des pressions ou des tensions. En effet, le sens de la force 6 est donné par celui du polygone des forces ou par la flèche de 6; ce sens détermine celui du triangle qui doit être parcouru dans l'ordre

Par suite, la force 7, mise en place, c'est-à-dire appliquée à l'extrémité a de la barre aô, tombe sur le prolongement de cette ligne et non sur la ligne elle-même ; donc (§ 95, théor. II) la barre ab est comprimée ; de même la force 8, appliquée au point a de la

barre 8, tombe sur le prolongement de cette ligne : c'est donc aussi

une pression : c*est pourquoi, sur les deux figures, les lignes portant

les n**' 7 et 8 sont indiquées en gros traits.

Du nœud a, on passe à celui des deux nœuds voisins, 6 ou/, qui

contient le moins de barres : ici c'est le nœud 6 ; il se compose de

quatre lignes, à savoir

Dans la figure réciproque, il devra lui correspondre un quadrilatère.

Nous avons déjà deux côtés de ce quadrilatère, à savoir

1 et 7;

les deux autres répondent aux côtés

iO et 9.

Le premier étant une barre principale comprise entre les lignes d'action 1 et 2 part du sommet i . 2 du polygone des forces ; le second faisant partie du triangle formé par les côtés 9, 7, 8 (dont les réciproques doivent former un nœud) passe par le point 7.8 (nous désignerons toujours un point de la figure réciproque par deux des lignes qui y concourent).

Ainsi : du point 1.2 on mènera une parallèle à 10; du point 7.8, une parallèle à 9. On aura ainsi le quadrilatère cherché formé par les lignes

ia) 7, I, 10, 9.

Il est d'ailleurs évident que 7 étant, comme nous l'avons montré, la pression de la barre 7 et i étant la grandeur de la force i , il faut que 10 et 9 représentent les tensions ou pressions des barres 10 et 9; car, le point b devant être en équilibre, ces tensions ou pressions doivent, avec les forces 7^et 1 , former un quadrilatère fermé. Ce quadrilatère est déterminé, puisqu'on en connaît les côtés 7 et I et les deux autres en direction. Ce ne peut donc être que celui formé par les lignes (a).

Le sens de ce quadrilatère est fourni par celui de la force donnée I ; si cette force n'existait pas, ce sens serait néanmoins connu ; car nous savons que 7 représente une pression, c'est-à-dire que les forces à appliquer en a et 6 (§ 95, théor. II) sont répulsives; donc, la force 7 à appliquer en b tombe sur le prolongement de

l68 a* SECTION. — CHAP. VL

ab. Donc le sens de la force 7 parallèle kab est le sens aô, ce qui montre que le quadrilatère doit être parcouru dans Tordre {a) de ses côtés. Par suite, la force 10 mise en place, c'est-à-dire appliquée en 6, tombe sur le prolongement de la barre c6, ou est répulsive : c'est donc une pression ; la force 9 mise en place en b tombe suivant la barre bj à laquelle elle est appliquée ; donc elle est attractive (§ 95) et cette barre 9 est tendue; c'est pourquoi nous l'avons représentée par un trait plus fin.

Du nœud è, on passera au nœud y comprenant les quatre lignes

Les réciproques des deux premiers sont placées. Pour placer la réciproque de Tétrésillon 11, on observe qu'il fait partie du triangle jbc\ donc, 1 1 fournira un nœud avec 9 et 10; la barre principale 12 comprise entre les forces 6 et 5 passe par le sommet 6.5 du polygone des forces. Ainsi, de ce sommet on mènera une parallèle à 12 et du sommet 9. 10 une parallèle à 11 ; on formera ainsi le quadrilatère dont les côtés sont