MOMENTS DE FORCES DANS UN PLAN. IQI

moment (§ Hl) est nul par rapport à trois points non en ligne droite.

Or, le moment d'une force par rapport à un point n'est nul que si elle est nulle ou si elle passe par ce point; la force dont il s'agit devrait donc, si elle n'était pas nulle, passer par trois points non en ligne droite, ce qui est impossible.

Corollaire. — Si les sommes des moments d'un système de /orces par rapport à trois points non en ligne droite sont nulles, il en est de même de la somme de leurs moments relativement à tout point du plan et de la somme de leurs projections sur un axe quelconque.

iOtUITALERGE. — Théorème. — Pour que deux systèmes de forces situées dans un plan et appliquées à un système inva^ riahle soient équivalents, il faut et il suffit quHls aient mêmes sommes de projections sur deux axes du plan et même somme de moments relativement à un point du plan.

Remarque. — Si ces conditions sont remplies pour deux axes et un point particulier, elles le sont pour un axe quelconque et un point quelconque.

En effet, pour que deux systèmes de forces F et F' appliquées à un système invariable soient équivalents, il faut et il suffit (§ 21) que les forces F et celles F' changées de sens, que nous appellerons — F', se fassent équilibre.

11 faut donc et il suffit (§ 112) que la somme des projections sur deux axes et la somme des moments, relativement à un point, des forces F et — F', soient nulles, ou, ce qui revient au même, que les sommes des projections sur deux axes et la somme des moments relativement à un point des forces F et + F' soient respectivement égales entre elles.

Corollaire I. — Pour que deux couples soient équivalents, il faut et il suffit que leurs moments soient égaux.

En effet, deux couples sont deux systèmes particuliers de forces.

19^ a* SECTION. — CHAP. VIII.

Comme les sommes de leurs projections sur deux axes quelconques sont nulles et^ par suite, égales entre elles, il suffit, pour que ces deux systèmes de forces soient équivalents, qu'ils aient mêmes sommes de moments relativement à un point du plan. Et, comme la somme des moments de deux forces formant un couple est (§ 110) égale au moment même du couple, la proposition est établie.

Corollaire II. — On peut déplacer un couple d^une manière quelconque dans son plan, changer en même temps d'une façon arbitraire la longueur de son bras de levier , pourvu qui! on modifie en même temps la grandeur commune des deux forces qui le composent, de façon que le produit de cette grandeur par le bras de levier ne change pas, sans que le couple cesse d'être équivalent à lui-même.

En effet, toutes ces opérations ne modifient ni en grandeur ni en signe le moment du couple.

§Ho.

GOHPOSITIOH DES COUPLES. — Théorème. — Un système de couples distribués d'une manière quelconque dans un plan est réductible à un couple unique dont le moment est égal à la somme algébrique des moments des couples composants.

En effet, un système de couples est un système de forces dont le polygone des forces se ferme ou dont la somme géométrique est nulle. Donc (§ 39) elle est réductible à un couple unique. D'ailleurs (§ 111) la somme des moments des deux forces du couple résultant par rapport à un point est égale à la somme des moments relativement à ce point des forces composantes et, comme la somme des moments des deux forces du couple résultant par rapport à n'importe quel point est constante et égale au moment de ce couple^ qu'il en est de même de la somme des moments des deux forces formant chaque couple composant, la proposition est établie.