MOMENTS DE FORCES DANS UN PLAN. IQS

Lemme. — Étant donnée une force F appliquée en un point d'un corps, on peut toujours la transporter parallèlement à elle-même en un point quelconque A du corps, pourvu qu^à la nouvelle force on adjoigne un couple ayant pour moment le moment de la force donnée par rapport au point A.

En effet {fig- 28), soit F une force appliquée en un point O

Fig. a8.

d'un corps. En un autre point A, appliquons deux forces, l'une F' égale, parallèle et de même sens que la force donnée, l'autre — F égale et opposée à la précédente. Nous n'aurons rien changé à l'état du corps.

La force F se trouve donc remplacée par la force F' qui lui est égale et le couple F, — F dont le moment est, par définition même, égal au moment de la force F par rapport au point A.

BÉSULTAITE DE TBUSUTIOH ; COUPLE BÉ8ULTANT. — Théorème. — Tout système de forces situées dans un plan et appliquées à un système invariable est réductible .• i ** à une force unique égale à la somme géométrique des forces données et appliquée en un point A choisi arbitrairement dans le plan; 2° à un couple dont le moment est égal en grandeur et signe à la somme des moments des forces données relativement au point A.

La force se nomme larésultante de translationdeshrces données au point A; le couple se nomme le couple résultant de cette translation,

" 194 'i* SECTION. — CHAP. VIII.

Soient (i) F, F,, Fj, ...

des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan. Transportons-les parallèlement à elles-mêmes en un point A et soient respectivement

les forces transportées, en adjoignant à ces dernières forces les couples correspondants F, — F, . . . , comme il est dit au paragraphe précédent.

Nous aurons ainsi deux systèmes de forces :

I** Les forces ( i') toutes appliquées au même point A et que nous pouvons composer en une force unique R égale à leur somme géométrique et, par suite, à la somme géométrique des forces données;

2? Les couples

F- Fi F« • F. —F.*

qu'on peut réduire (§H5)àun couple unique ayant pour moment la somme des moments de ces couples. Mais le moment du couple F, — F n'est autre que le moment de la force F par rapport au point A; celui du couple F|, — F| est de même égal au moment de la force F^ par rapport à ce même point et ainsi de suite, de sorte que le couple résultant a bien pour moment la somme des moments des forces données relativement au point A.

Remarque /. — Si l'on transporte des forces en un point A le moment du couple résultant de cette translation ou la somme des moments des forces données par rapport au point A, c'est une seule et même chose.

Remarque IL — Pour que deux systèmes de forces soient équivalents, il faut et il suffit : i® qu'ils aient même résultante de translation en un point arbitrairement choisi A du plan; 2^ que les couples résultant de cette translation aient même moment (ou soient équivalents).

Car, pour que deux systèmes de forces soient équivalents, il faut qu'ils aient (§ 114) mêmes sommes de projections sur^deux axes,

MOMENTS DE FORCES DANS UN PLAN. IqS

par suite même somme géométrique ou même résultante de translation.

Il faut de plus qu^ils aient même somme de moments relativement à un point A du plan, par suite que les couples résultant de la translation des deux systèmes de forces en ce point aient même moment ou (§ 114) soient équivalents.

C0H8TRUGTI0H GBAPHiailE DU MOHSn D'UHE FORGE. — Soit {fig. 29) une force dont la ligne d'action est 1 et la grandeur (yî^^. 29) f = ab -^\.

Fig. 29. Fig. 29.

at

Construisons le polygone funiculaire de cette force relativement à un pôle quelconque O. Il ne comprendra que les deux côtés Al et 1 B, respectivement parallèles aux rayons O a et 06.

Ceci posé, je dis que le moment de la force relativement à un point quelconque C est égal au produit de la distance polaire d du polygone funiculaire, par la longueur mn qu'intercepte entre ses côtés une parallèle à la force, menée par le point C.

En effet, les deux triangles 1 mn et Oaôsont semblables comme ayant leurs côtés parallèles.

Donc, leurs bases sont entre elles comme leurs hauteurs

mn ab

CP d

ou / X CP = rf X mn.

Le premier membre est le moment de la force donnée par rapport au point C, ce qui établit la proposition.

Remarque L — Observons que, moyennant des conventions convenables, le second membre peut fournir non seulement la grandeur du moment, mais aussi son signe. A cet effet, attribuons un signe à chacun des facteurs du second membre: i** nous attribuerons à la distance polaire d un signe contraire à celui du moment de la force fictive ab par rapport au pôle O ; 2° nous attribuerons à mn un sens, en comptant cette ligne de m vers /i, c'est-à-dire du point où elle coupe le côté du polygone funiculaire parallèle au rayon origine Oa vers celui où elle coupe le côté parallèle au rayon extrême Ob, et nous la regarderons comme positive ou négative suivant qu'elle aura ou non même sens que la force donnée ou que ab.

Moyennant ces conventions, le second membre de la dernière équation représente le moment de la force/* en grandeur et signe.

Les moments étant comptés positivement de gauche à droite, les deux facteurs d et mn sont ici positifs.

Remarque II. — Pour que le produit mn X d soit homogène à un moment, il faut que l'un des facteurs soit compté à l'échelle des forces et l'autre à l'échelle des longueurs.

Si la distance polaire d est égale à V unité de longueur, le segment mn compté à V échelle des forces représente la valeur numérique du moment.

Si d avait, au contraire une longueur égale à celle qui représente l'unité de force, alors la longueur mn estimée à Véchelle des longueurs représenterait la valeur numérique du moment.

S'il est incommode de prendre pour d la longueur représentant l'unité de longueur ou l'unité de force, on prendra, pour ce facteur qui entre dans tous les moments, une valeur qui soit dans un rapport simple avec l'une de ces deux unités.

GOHSTBUGTIOH DU MOMERT DE LA BÉSULTAHTE D'UH SYSTÈME DE FOBGES. — Théorème I. — Le moment de la résultante d^un système de forces distribuées d' une manière quelconque dans un plan par rapport à un point quelconque C du plan {ou la somme des mo-