CHAPITRE X

PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES DANS l'eSPACE.

Lemme. — La projection sur un plan de la résultante d^un système de forces parallèles coïncide a\^ec la résultante des pro~ jections de ces forces sur le même plan.

Soit un système de forces parallèles distribuées d'une manière quelconque dans l'espace

(i) Pj, Pj, Ps, • . •» P/i-

Concevons que les forces données soient représentées par des longueurs portées dans les sens voulus sur leurs lignes d'action respectives. Projetons ces longueurs sur un plan et soient

leurs projections; nous pourrons considérer ces lignes comme de nouvelles forces. Soient R la résultante des forces données et R'ia résultante de leurs projections. Il s'agit de montrer que R' est la projection de R. Pour cela, prolongeons les forces données jusqu'à leurs rencontres avec le plan de projection et regardons-les comme appliquées en ces points; leurs projections formeront un nouveau système de forces parallèles appliquées aux mêmes points ; les intensités des forces projetées sont proportionnelles à celles des forces données, le rapport des premières aux dernières étant le cosinus de l'angle aigu a que la direction de celles-ci fait avec le plan de projection ; on peut donc faire coïncider les forces données avec leurs projections en faisant tourner les premières d'un même angle a autour de leurs points d'application et réduisant chacune d'elles dans le rapport cos a ; i . Dans ce mouvement, la résultante des forces données tournera (§121) du même angle autour de sa trace sur le plan de projection et sa grandeur sera

réduite dans le rapport cos a : i, c'est-à-dire qu'elle viendra coïncider avec sa projection. Cette projection est donc la résultante des forces projetées.

HOMERT D'UNE FORGE BELATIYEHENT A UN PLAH. — Dans Tétude des forces parallèles, on appelle moment d'une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance de son point d'application au plan. Dans ce produit, on convient : i° de compter positivement les forces dirigées dans un sens convenu et négativement celles dirigées en sens contraire; 2** de compter positivement les distances au plan des points situés d'un côté convenu de ce plan et négativement celles des points situés de l'autre côté.

On remarquera que le moment d'une force, relativement à un plan, a un tout autre caractère que le moment d'une force relativement à un point, que nous avons considéré dans l'étude des forces situées dans un plan. Celui-ci dépend essentiellement de la position de la ligne d'action de la force et nullement de celle de son point d'application; celui-là, au contraire, ne dépend que de la position du point d'application et non de la direction de la ligne d'action de la force.

D'après cela, étant donné un système de forces parallèles, faisons-les tourner d'un même angle autour de leurs points d'application, de façon à les rendre parallèles à une droite Oy arbitrairement tracée dans le plan (P) par rapport auquel on prend les moments; puis projetons-les sur un plan perpendiculaire à (P), mené par la droite Oy\ enfin prenons les moments des forces projetées et de leur résultante par rapport à un point quelconque O de Oy.

Le moment de l'une quelconque des forces données par rapport au plan (P) est évidemment, en valeur absolue, égal au moment de sa projection par rapport au point O; car les forces se projettent en vraie grandeur et leurs distances au plan (P) sont égales aux distances de leurs projections au point O. De plus, en vertu des conventions qui viennent d'être faites sur les signes des deux facteurs dont le produit serait le moment d'une force par rapport à un plan, on voit que, toutes les forces pour lesquelles ce moment