FORCES PARALLÈLES DANS L*ESPAGE

a un même signe sont telles que les moments de leurs projections relativement au point O ont aussi un même signe. Donc on peut faire les conventions sur les signes, de façon que ces deux moments soient, pour chaque force, égaux à la fois en grandeur et en signe. Le moment relatif au point O de la résultante des forces projetées est égal à la somme des moments de ces forces (§ 111). Cette dernière somme est, d'après ce qui précède, égale à la somme des moments des forces données relativement au plan (P); de plus, la résultante des forces projetées étant, d'après le lemme du paragraphe précédent, la projection de la résultante des forces de l'espace, son moment relatif au point O est égal au moment relatif au plan (P) de cette dernière résultante. Donc :

Théorème. — Le moment de la résultante d^un système de forces parallèles par rapport à un plan quelconque est égal à la somme dejs moments de ces forces par rapport à ce plan.

DtTEBMIHAnOH AHALTTiaUE DU COITBE DBS FOEGES PABALLÈLES. — D'après cela, soient

un système de forces parallèles.

Considérons trois axes de coordonnées rectangulaires Ojt, Oy^ Oz.

Soient

^1» ^îi ^Sî •••? ^n>

yu ri» 73. ..., yn,

^\i -^îj -^8» • • • > ^n

les coordonnées des points d'application des forces données relatives à ces axes et soient i, ir;, Ç les coordonnées du centre des forces parallèles. Si R est la résultante des forces données, le théorème qui vient d'être établi, appliqué successivement aux trois plans, donnera les équations

/ RJ = Ptari-+-P,a7, H-Paa:,-!- ... -h P;,^» = SPar,

(I) < Rt) = V,y, -f- P,7, ^ P,^, H- . . . -+- ^nyn = 2P^,

I RÇ = Pii5|-+-P,-5, -hPj^s-H ... '+-P|.'«/I = 2P^,

Pétaut, en grandeur et signe, l'une quelconque des forces données;

2o8 2* SECTION. — CHAP. X.

;r, y, z étant les coordonnées de son point d'application et S désignant les sommes algébriques qui forment les seconds membres des équations (i). Ces sommes sont connues^ la résultante R Test également, puisque

(2) R = Pi -+- P, -+-...+ P« = 2P.

Ainsi les équations (i) font connaître les coordonnées Ç, tj, Ç du centre des forces parallèles.

Si toutes les forces sont situées dans un même plan, par exemple dans le plan xOy^ alors ^1=0,^2 = 0, . . . , z„ = o. La dernière équation (i) donne alors Ç = o, c'est-à-dire que le centre des forces parallèles est aussi situé dans ce plan, ce que nous savions (§ 121), et sa position est définie par ses deux coordonnées $ et tj relatives aux deux axes 0:r et Oy, de même que les points d'application des forces données sont définis par leurs coordonnées Xi elyi. Il résulte de là que les plans zOy et zOx, perpendiculaires au plan xOy qui contient les forces données, ne jouent plus aucun rôle, mais seulement leurs traces 0.r et O >' sur ce plan. Voilà pourquoi le produit Pj?, moment de la force P relativement au plan ^O^K, peut, dans ce cas, prendre le nom de moment de la force P relativement à la droite Oy intersection du plan zO^avec le plan qui contient toutes les forces. De même le produit Pj^, moment de la force P relativement au plan zOx^ prendra le nom de moment de cette force, relativement à la droite Ox.

En général, quand des forces parallèles sont toutes situées dans un plan, on appellera moment de l'une de ces forces par rapport à une droite du plan son moment par rapport à un plan mené par cette droite perpendiculairement à celui qui contient les forces. On peut donc énoncer le théorème suivant comme cas particulier de celui qui fait l'objet du paragraphe précédent : Ze moment de la résultante d'un système de forces parallèles, contenues dans un plan, par rapport à une droite du plan, est égal à la somme des moments de ces forces par rapport à cette droite.

Remarque, — La somme des moments d'un système de forces parallèles par rapport à tout plan passant par le centre de ces forces est nulle et réciproquement.

FORGES PARALLÈLES DANS l'ESPACE. 209

ÉaUIVALEHGE EHTBE LE EOLE UALTTiaUE DES PROJECnOHS ET DES HOMEHTS ET LE EOLE SBAPHiaUE DU POLTGOHE DES FOEGES ET. DU POLTGOHE rUHICULAIBIL — On voit que le théorème des moments permet de déterminer analytiquement la position du centre des forces parallèles, comme le polygone funiculaire permet de le déterminer graphiquement.

De même le théorème des projections tient analytiquement lieu du polygone des forces, lequel se réduit toujours à une ligne droite dans le cas des forces parallèles.

Pomp qu'un système de forces parallèles soit en équilibre, il faut analytiquement : i° que les sommes de ses projections, sur deux plans parallèles à ces forces et se coupant, soient nulles ; 2° que les sommes de leurs moments relativement à ces plans soient nulles; et graphiquement : i® que le polygone de ces forces soit fermé ; a° qu'un des polygones funiculaires de ces forces ramenées dans un plan (§ 122) soit également fermé.

aïO 2* SECTION. — CHAP. XI.