GG
DH
GGi
CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS. sSy
Donc, si Ton prend, sur une ligne quelconque issue de G4, GtUi égal au rayon de la sphère, et sur une parallèle à cette ligne, issue de G2, G2W2 = DH, la ligne UiU2 ira couper OC au centre de gravité cherché G.
Segment de sphère à deux bases. — Soit {^g. 63, PL A'il) une zone sphérique engendrée par la demi-révolution du segment circulaire A| A2B1B3, compris entre les cordes parallèles A|B|,A2B2, autour de l'axe OM . On aura
vol.AjAiBiB,
= secl.OAiMBi— sect. OAjMBj-4- côneOAjBi— côneOAiBi.
Nous savons trouver les centres de gravité des quatre corps dans lesquels le volume de la zone se trouve ainsi décomposé. Soient G«, G2 les centres de gravité et Q^, Q2 les volumes des secteurs OAjMBi et OA2MB2; soient de même gi eig^ les centres de gravité, et q^^ ^2 les volumes des cônes, en sorte que
vol. AiAsBiBs = Qi — Qï-h^ï — S'i.
Le centre de gravité cherché G est (§ 127) le centre de quatre forces parallèles et proportionnelles à
Qi, — Q2, f7î et —qi
appliquées respectivement aux points
Gi, Gî, ^, et ffi,
les signes moins, dans la désignation des forces appliquées en G2 et gi , indiquant que ces forces sont de sens contraire à celles appliquées G| et g2'
On a, en appelant r le rayon de la sphère et posant
338 a' SBCTIO». — CUAP. XI.
Donc les forces parallèles à appliquer en G„ G„ g^, g, sont respectivement proportionnelles à
^vur'A,, ^,rr»A„ jup3(r-A,;, ^,tpï(, A,)
aA„ — ïAi, (r — A,)^. (/■ — A,)^' ■
'enoQs sur OM une longueur O^^ =; DaB^ ^ p,, et décrivons de cercle ^j p', jusqu'à sa rencontre en ^', avec OA, ; menons ignés M^'j et A, ^3. Par D] conduisons une parallèle D,^', à ,, et par k\ une parallèle k\kt à Ai^^. Ou aura
OD, OM /■ o*; ~ Op'j ~p,' OK OA^ r OX-, ~ 0?, ~ p,'
, en multipliant membre à membre,
a trouvera de même, en portant sur OM et sur OA les lonrs Op, =Op', = D,B, = p,, joignant M^', et A, p,, et uie- D, k et k\k,^ parallèles à ces deux lignes,
0A,=(r-A,)3inc les forces à appliquer aux points G„ G„ f, ei s proportionnelles aux lignes
aOD„ -aOD,, OX-, et —0*,.
) pelons-les
ortons-les sur une ligne 0\.(Jig. 63), parallèle à A|B| à
CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS. 'l3g
partir de O ; puis, appelanl
leurs lignes d^action issues de G|. G2, g2 ^t^i, construisons le polygone funiculaire relatif au pôle G; nous déterminerons ainsi la résultante de ces forces , résultante dont Tintersection avec OM est le centre de gravité cherché G.
Segment de paraboloîde. — Soit {Jig' 57, PL JCI) un segment de paraboloïde ABl. Soit IX le diamètre conjugué à la section BÂ. Gomme IX est le lieu des centres de figure, et par suite des centres de gravité des sections faites, dans le paraboloïde parallèlement à BA, le centre de gravité G se trouvera sur cette ligne (§ 147). Soient X eiy les coordonnées d'un point de la parabole BIA, relativement aux axes IX et lY. Les sections parallèles à BA étant toutes semblables entre elles, leurs aires sont comme les carrés des ordonnées de la parabole. Donc le théorème des moments relatifs au plan tangent en I donne
IG Sy^ dx = /ar^* dx^
et, comme ^^ = ipx^
IG / xdx = / a?* dx^
les intégrales étant à prendre de a: = o à a; = CL Donc
IG-i^ = |lG.
ici ^
CXRBE DE ftBAVITÉ D'UH GOBPS (tUELGOUfllUE. — On inscrira, dans la surface limitant le corps, un polyèdre d'un assez grand nombre de faces pour que ce polyèdre puisse être sensiblement confondu avec le corps, et l'on en cherchera le centre de gravité par la méthode du§15S.
