APPLICATION AUX ARCS APPUYÉS

Il est à peine besoin de faire ressortir à quels calculs inextricables on serait amené si l'on voulait résoudre, parla Statique ordinaire, le problème qui faitVobjet de ce paragraphe.

Remarque, — Le pont d'Arcole, sur la Seine, à Paris, est fait suivant le type que représente la^î^. 73, sauf quelques barres additionnelles qui évidemment, dans la pensée des auteurs de ce bel Ouvrage, sont moins destinées à contribuer à la résistance générale qu'à empêcher les barres principales de fléchir.

7ALEUR8 DE PBEMIÊBE APPROXDIATIOH DE LA POUSSÉE D'UK ABC — L(^ tracé qui précède suppose connues les réactions des appuis. La recherche des réactions des appuis d'un arc réticulaire ou non fera l'objet d'un des problèmes les plus importants de la seconde Partie de cet Ouvrage. Nous allons donner ici à cet égard quelques règles plutôt empiriques et sur la valeur desquelles il ne faudrait pas se faire illusion.

a Arc simplement appnyé. — Dans ce cas, on peut déterminer de premières valeurs approchées pour la poussée, par l'un des procédés suivants :

1° En supposant une charnière au sommet de l'arc, par exemple, en supprimant la barre 5i (Jig- 74, PL XVI), qui est surabondante, ce qui équivaut à supposer une charnière en a.

On peut alors trouver graphiquement les réactions des appuis (§ 75) et, par suite, les tensions de toutes les barres autres que celle supprimée, puis leurs sections d'après les principes établis au § 106. On constituerait de la sorte un arc d'égale résistance dans lequel les variations de température ne produiraient pas de tensions elle résultat serait rigoureux si, en exécution, on supprimait effectivement la barre 51, ce qui serait réalisable ; car le système ainsi formé ne serait pas déformable, mais strictement indéformable.

Mais admettons qu'on veuille maintenir la barre 51 ; on pourra lui donner une section arbitraire, puisqu'elle est superflue. On lui donnera naturellement une section égale ou sensiblement égale à

aSo 3* SECTION. — CHAP. XIII.

celles qu'on aura trouvées pour les deux barres qui lui sont adjacentes.

La construction étant disposée de façon à résister même sans cette barre additionnelle, on pourrait dire qu'elle résistera à plus forte raison avec son appoint. Cela est vraisemblable ; mais la présence de cette nouvelle barre modifiera plus ou moins profondément la répartition des tensions et la grandeur des poussées, suivant la section qu'on lui aura donnée (à ce point de vue, la section la plus faible serait la meilleure; c'est celle qui troublerait le moins les résultats exacts obtenus dans l'hvpothèse où cette barre n'existerait pas). On peut rigoureusement étudier son influence et conclure de cette élude les modifications à apporter, s'il y a lieu, aux sections obtenues pour les diverses barres. Mais cette étude exige la connaissance des déformations élastiques de l'arc ; elle sera faite dans la seconde Partie de cet Ouvrage.

a® On peut encore supposer la charnière idéale au milieu de la hauteur à. la clef «6, et déterminer les poussées (§7o), puis les tensions et les sections de toutes les barres (y compris celle ol) par la méthode qui vient d'être exposée.

Mais ici les résultats ne peuvent, en aucun cas, être regardés comme rigoureux, puisqu'ils supposent la présence d'une charnière qui n'existe pas dans la réalité. On pourrait encore, comme dans le cas précédent, dire que l'arc, étant calculé de façon à tenir même avec une charnière, résistera à plus forte raison si la charnière n'existe pas. Mais il arrivera que les tensions véritables se répartiront dans la réalité autrement que ne l'indique le calcul basé sur une fiction, et si la suppression de la charnière allège certaines pièces, d'autres pourront s'en trouver plus chargées, ce qui donnerait lieu à des mécomptes, de sorte qu'il est toujours convenable de ne pas s'en tenir à cette première approximation déduite de considérations purement statiques et de les vérifier par une étude exacte du problème d'élasticité, comme il sera indiqué plus loin.

3° Si la charge verticale que porte l'arc est uniformément répartie suivant sa corde, on pourra, dans un calcul de première approximation de la poussée, assimiler celui-ci à un arc parabolique de même flèche et de même portée^ puis calculer la poussée parla formule très simple du §86 et en déduire des valeurs approchées pour les tensions et sections de toutes les barres.

APPLICATION AUX ARCS APPUYÉS. '25l

i^ Si la charge était normale à l'arc et uniforme, on pourrait de même l'assimiler à un arc circulaire et calculer la poussée à titre de première approximation par la formule du § 81 .

5® Quelle que soit la charge supposée donnée, on peut construire le polygone ou la courbe funiculaire répondant à cette charge, passant par les deux points d'appui de l'arc et ayant sensiblement la flèche de cet arc (§ 4S) et prendre approximativement la poussée de ce polygone ou de cette courbe funiculaire pour celle de l'arc lui-même. (Cette marche ne difl^ère pas au fond de celle 2**. )

6** Mais la charge que l'on a à considérer se compose d'une partie connue, à savoir : le poids de la chaussée, des véhicules, etc., que l'arc aura à porter et d'une partie inconnue, à savoir le poids propre de l'arc lui-même, dont les dimensions sont précisément les * inconnues que l'on cherche à déterminer. •'

Le plus souvent, on attribue ajce poids inconnu une valeur, par aperçu, d'après les ouvrages de même nature déjà établis.

Si l'on ne veut pas procéder de la sorte, on peut trouver la courbe funiculaire répondant à la réunion de la charge donnée (toutes les fois qu'elle est uniforme, verticale ou normale) et du poids propre inconnu de l'arc et déterminera la fois la poussée de cette courbe et le poids de l'arc, par la condition qu'il soit d'égale résistance, d'après la méthode analytique exposée dans la Note II ci-après.

CAS D'UH ARC EHGASTBÉ -fiflSBBr. — Supposons un arc (Jig- 74, PI. A^Vl) posé sur tourillon fixe en B et encastré suivant AC, c'est-à-dire que non seulement le point A est fixe, mais la direction AC est elle-même invariable, le point C étant assujetti à demeurer sur cette direction.

Alors il y a, en A, une réaction inconnue en grandeuretdirection, et, en C, une réaction normale à la ligne AC que le point C est assujetti à suivre. La résultante de ces deux forces sera donc inconnue en grandeur et direction et son point d'application lui-même, sur AC, sera inconnu.

Il n'y a guère qu'un moyen d'en obtenir une valeur pouvant servir

25a 3* SECTION. — CHAP. XIII.

de point de départ pour une première approximation : c'est de supprimer deux barres ou de supposer deux charnières dans le corps de l'arc ou plus généralement de se donner deux points, dans le corps de l'arc, où l'on désire que passe la courbe des pressions. Celle-ci devant passer par le point B est alors déterminée. L'ayant tracée suivant les principes précédemment exposés, on aura la résultante /• des réactions qui s'exercent en A et C. On décomposera cette force en deux : l'une suivant la normale à x\C menée par le point C, l'autre passant par le point A; on aura ainsi les réactions inconnues en A et C et, par suite, on pourra, à l'aide d'une figure réciproque (§ 96 bis)y trouver les tensions des barres.

De même, si l'arc était encastré aux deux bouts, il faudrait se donner trois points de la courbe des pressions ou supprimer trois barres pour pouvoir trouver le polygone des pressions (§ -io) et, par suite, trouver les tensions des barres à titre de première approximation.

EXPRESSION DES TENSIONS D'UN ABG SIMPLEMENT APPUT£ EN FONCTION DE LA POUSSÉE. — Les composantes verticales des réactions des appuis d'un arc reposant sur deux charnières fixes peuvent être déterminées graphiquement (§ 60); les deux composantes horizontales, en général, ne peuvent être trouvées qu'en ayant égard à la forme et à l'élasticité de l'arc. La Statique apprend seulement qu'elles sont égales et de sens opposes et leur valeur commune se nomme, comme nous le savons, la poussée de l'arc. Il est très utile, comme nous le verrons par la suite, de pouvoir étudier comment varie la tension de chaque barre avec la poussce.

Ce résultat peut être obtenu graphiquement. A cet effet, supposons d'abord la poussée nulle, ce qui équivaut à traiter Tare comme s'il posait sur deux appuis horizontaux ne pouvant donner naissance qu'à des réactions verticales. On déterminera ces réactions et les tensions que supporteraient les barres dans ces conditions. C'est un problème pareil à tous ceux relatifs à des poutres droites posées sur deux appuis qui ont été résolus dans ce qui précède. Désignons par ^° la tension ou pression mesurée sur l'épure ainsi obtenue, pour la barre n** i, les tensions étant comptées positivement et les pressions négativement.