C. Application aux systèmes réticulaires

DÉFINITION DU SOMHET OPPOSÉ A UNE BiBB£. — Dans un système réticulaire {fig- 64, PL A^III), chaque barre principale ou de pourtour fait partie d'un seul triangle et nous appellerons naturellement sommet ou nœud opposé à cette barre le sommet de ce triangle opposé à la barre considérée. Ainsi, rfest le nœud opposé à la barre principale gh ; A, le nœud opposé à la barre principale de.

Chaque étrésillon fait partie de deux triangles. Ainsi yc fait partie des deux triangles jcb^jch; prolongeons les barres principales cb et hj partant des deux extrémités c et y de l'étrésillon considéré et appartenant respectivement aux deux triangles dont il fait partie. Nous appellerons leur point de rencontre s (qui peut être à l'infini, si les deux barres principales qui le déterminent sont parallèles) le sommet opposé à cet étrésillon.

Le sommet opposé à l'étrésillon bj est formé par la rencontre des deux barres principales cb et j'a ; le sommet opposé à /id est

MOMENTS DE FLEXION. Soj

formé par le point d'intersection des deux barres principales cd

et hg.

THÉOBËME DE EITTEB. — Pour avoir la force élastique {pression ou tension) dUine barre appartenant à un système réticulairej faites une section plane coupant cette barre et les deux barres passant par le sommet qui lui est opposé ; déterminez soit graphiquement, soit par le calcul, la somme des moments relativement à ce sommet de toutes les forces {y compris les réactions des appuis) agissant d^un côté de la section, par exemple à sa gauche; divisez cette somme par la distance du sommet à la barre.

Toutefois, pour que le théorème soit général, il convient de faire, sur le sens des grandeurs qui y entrent, les conventions qui seront spécifiées au paragraphe suivant.

Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver la tension ou pression de la barre principale cd.

Coupons par une section xy qui rencontre cette barre et deux quelconques des barres passant par le sommet opposé A, par exemple celles hg et hd.

Nous savons que les forces extérieures agissant à gauche de la section sont équivalentes aux forces élastiques exercées par cette partie de gauche sur celle de droite. Donc, ces deux systèmes de forces ont même somme de projections sur un axe et même somme de moments relativement à un point quelconque du plan.

Or ici les forces élastiques sont au nombre de trois seulement, à savoir : les tensions ou pressions des barres coupées. Soit t la tension ou pression inconnue de la barre crf, cette force étant considérée comme positive si c'est une tension et comme négative si c'est une pression; désignons par h sa distance à son sommet opposé.

Égalons les sommes des moments des deux systèmes de forces dont nous venons de parler, par rapport au sommet h opposé à la barre crf; les deux barres coupées dh et gh^ passant Tune et l'autre par le point /i, les moments par rapport à ce point de leurs tensions sont nuls; le moment delà tension / que nous cherchons

3u8 3* SECTION. — CHAP, XVII.

est

car, si t est uae tension appliquée au point où la barre est coupée, elle se dirigera vers le point c et tendra à tourner son bras de levier de droite à gauche ; son moment sera donc négatif et^ comme t est positif dans ce cas, il faut faire précéder le produit du signe -T.

Le même signe convient si t est une pression ; car alors le moment est positif et, comme t est négatif, le moment sera encore

— tx h.

Désignons par M la somme des moments relativement au sommet h de toutes les forces extérieures agissant à gauche de xj-, on

aura

M = — f X A, d'où

S'il s'agissait de la barre principale inférieure hg,, en prenant les moments relativement au sommet opposé rf, on trouverait, en désignant toujours par t la tension inconnue, par h la distance de la barre considérée au sommet qui lui est opposé et par M la somme des moments des forces placées à gauche de la section relativement

à ce sommet,

Enfin, si l'on prend les moments relativement au sommet opposé à l'étrésillon Arf, c'est-à-dire au point d'intersection (non figuré) des lignes de et hg^ en désignant toujours par h la distance de ce point à la barre hd et par M la somme des moments des forces extérieures relativement à ce point, on trouvera

le signe -f- convenant si le point de concours des barres de et gh se trouve à gauche de hd et le signe — s'il se trouve à droite.

BEMAEftUES SIIB LES SlftHES. — Pour éviter les ambiguïtés de signes, convenons, le sens positif des moments étant celui du mouvement des aiguilles d'une montre :

1° De regarder les tensions comme positives.

2^ De donner aussi un signe à la distance h de chaque sommet à la barre opposée, à savoir le signe + ou le signe — suivant que le sommet opposé à une barre est placé au-dessus ou au-dessous de cette barre.

Moyennant cette convention , on vérifie sans difficulté qu'on trouve toujours

Si le sens positif des moments était changé, on devrait changer aussi la convention sur les signes des hauteurs h et la formule subsisterait.

U8 DE BABBES PBINGIPALE8 PABALLÊLE8. — Si les barres cd et kg étaient parallèles, le sommet opposé passant à l'infini, h deviendrait infini lorsqu'il s'agit de l'étrésillon hd^ ainsi que M.

On pourrait facilement trouver la vraie valeur du quotient r-i

mais il est plus simple de résoudre directement la question. Supposons que la section xy soit, dans ce cas, dirigée perpendiculairement à la direction commune des deux barres parallèles et soit T l'effort tranchant suivant cette section. Projetons les forces sur la section. Les tensions des barres parallèles donnent des projections nulles : l'effort tranchant T dans la section :r^ n'est alors autre que la tension suivant l'étrésillon hd estimée suivant a:j^, ce qui permet de déterminer, graphiquement ou par le calcul, cette tension dès que l'effort tranchant est connu.

CAS DS8 PliCES DE HIAUTEUB GONSTAHTE. — Dans une pièce de hauteur constante, toutes les barres principales sont parallèles; on n'aura à

3lO 3* SECTION. — CHAP. XVII.

considérer que des sections transversales ou normales aux barres principales, et alors il résulte des considérations qui précèdent cette proposition .'

Théorème. — Dans une pièce réticulaive droite ou courbe de hauteur constante:

1° La tension ou pression d*une barre principale est égale au quotient du moment fléchissant relatif au sommet opposé à cette barre par la hauteur constante de la pièce.

2^ La tension ou pression d'un étrésillon estimée suivant une section transversale coupant cet étrésillon est égale à Veffort tranchant dans cette section.

CAS DES PIÈCES PLEOIES OU ÉYIDÉES (SOLUTIOH APPROCHÉE). -- Ce qui

fait que, dans un système réticulaire simple, la connaissance des moments de flexion et efforts tranchants suffit à déterminer rigoureusement et directement la tension d'une barre quelconque, c'est qu'un tel système n'est jamais coupé en plus de trois points par des sections convenablement choisies. Si l'on a des systèmes articulés à lignes surabondantes où les sections coupent plus de trois barres, la connaissance des moments de flexion, des efforts tranchants et de la compression de la fibre moyenne ne fournit plus, entre les tensions des barres coupées, le nombre de relations voulu pour les déterminer; la Statique les laisse partiellement indéterminées.

A plus forte raison en est-il ainsi dans les pièces pleines où une section rencontre une infinité de points de la pièce.

Nous verrons, dans la seconde Partie de cet Ouvrage, que, dans le premier cas, le problème peut toujours être résolu rigoureusement selon les principes de la théorie mathématique de l'élasticité ; mais le second ne peut l'être en général qu'à l'aide d'une hypothèse de la Résistance des matériaux que nous avons déjà mentionnée au § 6 sous la désignation de loi du trapèze. Et cette hypothèse peut aussi être utilement appliquée aux systèmes articulés à lignes surabondantes, comme fournissant une solution approchée plus simple que la solution rigoureuse.

MOMENTS DE FLEXION. 3ll

Nous désignerons toujours par les lettres M, T, N le moment de flexion y Teffort tranchant et la compression de la fibre moyenne.

Soit {Jig* 44» P- 3i3 ) GoG| la fibre moyenne d'une pièce quelconque soumise à des forces situées dans le plan de cette ligne qui est le plan de symétrie de la pièce.

Faisons une section transversale en .un point G; soit AB sa trace sur le plan de symétrie.

Représentons la forme de la section rabattue sur le plan de la figure en A'B', la ligne A'B'= AB étant axe de symétrie et contenant, par suite, le centre de gravité G' de la section, lequel est en réalité, au point G.

Si, en chaque point de la section AB, on élève une ordonnée normale à son plan et égale à la tension ou pression normale qu'elle supporte rapportée à l'unité de surface, le lieu des extrémités de ces lignes sera une surface que la théorie de l'élasticité peut seule faire connaître.

Mais, si les dimensions de la section, c'est-à-dire les dimensions transversales de la pièce, sont petites par rapport à sa longueur, on pourra, et c'est ce que l'on fait en Résistance des matériaux, confondre sensiblement cette portion de surface avec un plan.

Ce plan est symétrique par rapport au plan de la fibre moyenne. Soit pq sa trace sur le plan de la fibre moyenne. Soit ah un élément de la ligne AB; ah est la projection sur le plan de la figure d'une bande superficielle cdd d! = rfS de la section. Tous les points de cette bande supportent une même tension (ou une même pression) normale n représentée par l'ordonnée ie. La pression totale que supporte cette aire dS est donc égale k it x dS.

Soit u la distance du point i au centre de gravité G de la surface, distance comptée positivement dans le sens de la normale positive, c'est-à-dire ici (§ 189) celui qui est tel que le sens positif d'une normale verticale soit descendant.

La tension normale n = ie, rapportée à l'unité de surface, étant l'ordonnée d'une droite répondant à l'abscisse i/, est une fonction linéaire de i/, en sorte qu'on peut écrire

n = 16 = Aa-f- B, A et B étant deux constantes inconnues.

3ll 3* SECTION. — CHAP. XVH.

Ces deux coastaatcs sont faciles à déterminer en fonction du moment de flexion M relatif au point Gel de la compression N' de la fibre moyenne en ce point.

It suffit, pour cela, de se rappeler que M, qui est la somme des moments relativement au point G des forces extérieures agissantà gauche de la section AB, est aussi (§ 190) la somme des moments relativement à ce point des forces élastiques qui agissent dans la section, et que de même N, qui est la somme des projections sur la normale à la section des forces extérieures dont il vient d'être parlé, est aussi la somme des projections, sur cette ligne, des forces élastiques. La résultante des actions normales n sur la bande superficielle rfS étant

ndS = (Att + B)rfS,

la compresssion N de la fibre moyenne ou résultante des forces rtrfS est

l'intégrale étant étendue à tous les éléments dS de la section AB, ou

N = A/urfS-i-B/dS.

Or fdS représente l'aire S de la section. D'ailleurs J'udS^o, puisque le point G est le centre de gravité de la section (§ lâi et 126). Donc

N N = ES, B= g.

Ce rapport ^ se nomme la compression moyenne de la sec-

De même le sens positif des moments étant de gauche à droite et les forces N et n étant comptées positivement quand ce sont des compressions, en sorte que la force ndS est comptée positivement de /vers e, on a

M = -/n<«x«=— /(Au-i-B)«dS ou

M == - kfu*dS - BfudS,

ou enfin, à cause de fudS ^ o,

M = — A/u>rfS.

Menons parle point G* une ligne Çf perpendiculaire à A'B',

c'est-à-dire, dans l'espace, une perpendiculaire au plan de la fibre moyenne, issue du centre de gravité G.

L'intégrale qui entre dans le Second nombre représente la somme des produits des aires hkh'k' de tous les éléments infiniment petits qui composent la section par les carrés de leurs distances u à l'axe $$'. Cette somme, qui est indépendante des forces agissantes et dépend uniquement de la forme géométrique delà section, se nomme le moment d'inertie de cette section par rapport à l'axe Ç$' dont la trace, sur le plan de symétrie, est le centre de gravité G de la

Fig. 42.

section. Cette quantité très importante dans les problèmes de Résistance sera étudiée au Chapitre XXI. Désignons-la par I, en sorte que