SECTION

Entre l'exlrémilé de droite de la charge et l'appui de droite, SOil de x:=n^-\ — a x = l.

Les efforts traDchants correspondants seraient (.4) |,=-,x£^+,(^.,^-i),

6° Charge d'eau an de terre. — Supposons une charge régnant sur une longueur X (égale ou inférieure à celle de la poutre) à partir de l'appui gauche.

Au droit de cet appui, elle a la valeur jD, ; à son autre extrémité, soit pour a =: X, elle a la valeur /?, . Entre ces deux points, elle varie linéairement, de sorte que son expression, pour toute abscisse a inférieure à X, est

P=P->-^{Pi-P(.)l-

Pour toute valeur de a supérieure à X, on a /> = o.

Celle charge peut être considérée comme la superposition :

1° D'une charge uniforme />„ régnant de a= o à a= /.;

2" D'une charge dont la ligne de charge (§ 2o) serait une droite partant de l'appui gauche et ayant une ordonnée égale à/>i — p„ au point a := X.

Le moment de flexion en un point d'abscisse x, dû à la première, est, d'après les formules (i3, ) et (iSj) où l'on doit faire «„ = - :

1° Pour a; <). :

2° Pour X > X ;

MOMENTS DE FLEXION. 2g3

La seconde a, pour résultante, l'aire du triangle qui lui sert de surface de charge, soit

et passe par le centre de gravité de ce triangle, soit à une distance -r- de l'appui de gauche. Donc, les réactions qu'elle fait naître sur les appuis de gauche et de droite sont respectivement

Ceci posé :

1° Le moment de flexion qu'elle détermine en un point G d'abscisse X <^\ se compose des moments relativement à ce point, de la réaction R et de la résultante des charges agissant à sa gauche, soit sur une longueur x. Ces charges sont représentées par un triangle ayant pour base l'abscisse x et pour hauteur l'ordonnée de la ligne de charge répondant à cette abscisse, soit

Leur résultante est l'aire de ce triangle, soit

elle passe en son centre de gravité, dont l'abscisse est ^x ; sa distance au point G est donc ^x et son moment, relativement à ce point,

- <P<-P'^ ^x-^ =-(/»-/>•) 6X- Par suite,

2® Pour x>).,

,jL=R'(/-j') = (/>,-/>o)3-^(^-^).

En ajoutant les valeurs de [jl dues à la charge />o et à celle dont on vient de s'occuper, on aura définitivement : 1° Pour X <^'kj

(M) |x=/>„x(,-1)t-'P^* +(/>,-/,.) [^(■^|^^)x-^]; 2** Pour a:> X,

Si la charge règne sur toute la longueur de la poutre, on a X :=rr / et, en un point quelconque d'abscisse ;r, il faut appliquer l'équation (i4) qui devient

7° Aiguilles d'un barrage. — Si l'appui inférieur de l'aiguille esi pris pour origine, si h est la hauteur de l'eau au-dessus du seuil de l'aiguille, on a, en kilogrammes,

/>o = îoooAe, /?, -r o, e étant la largeur de l'aiguille, et

Le moment maximum a lieu pour t = o soit pour

d'où

x=lii--^\ =0,^-^1,

8** Cas général. — Si l'on a à la fois des charges isolées et des charges continues quelconques, on prendra pour (jl la somme des seconds membres des équations (7) et (7') ou (8) et (8') et pour t la somme des expressions (9) et (9').

liaHB:«TS DB FLEXION. sgi

Si l'on a des charges isolées quelconques et une cliarge uniforme, OD ajoutera pour }Ji les expressions (^) et (lo) et pour t celles (y) el(,i).

Remarque. — Les formules qui priïcèdenl, en particulier, celles (7), (8), (9) subsistent si la poutre se prolonge au delà de ses appuis, pourvu que les abscisses 3 des charges placées ik gaucbe de A (Jig- 4oi p- 289) soient comptées négativement.

BEPBÉSENTATIOll fiHlPHiaDE DES KOVEaiTS DE FLEnOR ET EFFORTS TRU- CU1IT8 DIRS LES POUTRES DROITES. — TuËotikME Vil. — Le moment dejlexion dans une section <l' une poutre horizontale posée sur deux appuis simples et soumise à des charges verticales quelconques est égal au produit de la distance polaire d'un polygone funiculaire quelconque relatif à ces charges, par l'ordonnée que cette section détermine entre le polygone dont les eûtes extrêmes sont prolongés jusqu'aux verticales des appuis et la corde correspondante.

Soient {Jig. 93, PI. XXI) les forces verticales 1, 2, 3, 4, 5, 6 i-eprésenlws [fig.^'i) par

I, î, 3. 4, 5, 6 et agissant sur la poutre horisonlale AB posée sur les appuis A et B sans encastrement.

Construisons le polygone funiculaire 8'1'2 3' t'S'6'7' relatif au pôle quelconque O el limité aux verticales des appuis en 7' et 8'.

Si nous menons la corde T 8' et le ravon polaire correspondant Ow, les longueurs fr(i> ^^ - et dia :-: 8 sont les grandeurs des réactions 7 et 8 qu'exercent les appuis B cl A.

Considérons la section quelconque a^^ qui détermine entre le polygone et la corde l'ordonnée ab; je disque le moment de flexion en g est le produit ab x i^. d étant la dislance polaire, l'un des facteurs, celui que l'on veut, étant mesuré à l'échelle de.s forces et l'autre à l'échelle des longueurs.

En eflet, prolongeons le côté 2' 1' coupé par la verticale de g jusqu'à sa rencontre en I avec la corde.

2y6 3* SECTION. — CHAP. XVII.

Le point I appartient à la résultante R des forces, y compris les lëactions des appuis, qui agissent à gauche de g. Cette force est d'ailleurs R = (oC ou la somme des forces 8 et i .

Le moment de flexion cherché est

1 i étant la distance du point I à ab, ou

Or, les triangles lab et o(oG étant semblables, leurs bases sont entre elles comme leurs. hauteurs; on a

ab It

<i) G X I « = ab X <f ,

ce qu'il fallait démontrer.

Dans le premier membre, l'un des facteurs étant mesuré à Téchelle des forces, l'autre à l'échelle des longueurs, il doit en être de même des deux facteurs du second membre.

Corollaire L — U effort tranchant en g est, par définition, représenté, sur le polygone des forces, par la longueur wC co/wprise entre le rayon polaire 1.2 qui répond au côté l'.2', du polygone funiculaire coupé par la verticale du point g et V origine (o déterminée par le rayon parallèle à la corde, de sorte que, si Von représente les efforts tranchants par les ordonnées comptées depuis V horizontale low', on obtient la ligne en escalier de lafig. 93.

Remarque. — Les constructions qui précèdent s^appliquent encore si la poutre se prolonge au delà de ses appuis et porte de» charges sur ses prolongements.

Théorème VIIL — Etant donnée une poutre à appuis en nombre quelconque, avec ou sans encastrement, portant des charges verticales quelconques, si Von trace :

1® Un polygone funiculaire quelconque relatif aux charges données qui agissent dans une travée ;

2" Une droite convenablement choisie dans le plan.

MOMENTS DB FLBSION- 3g7

Le moment de flexion, dans une section quelconque de la iravée, est égal au produit de l'ordonnée correspondante à celte section, comprise entre la droite et le polygone, par la distance polaire de celui-ci.

Celle droite se nomme la droile de fermeture du polygone

Supposons que la poutre AB, considérée au paragraphe précède {Jîg- 93, PI. XAl), soit une travée d'une poutre quelconque.

Soient M le moment de flexion en ^ et [ji ce que serait ce morne si ia travée AB était isolée et posée sur les appuis simples A et On a [§192)

A efB étant deux constantes ei ^ l'abscisse du point "-compt sur la droite AB; mais la forme linéaire hx -j- B subsiste évidei ment si l'on compte les abscisses sur une autre droite.

Comptons-les sur la corde 1' 8' du polygone funiculaire.

En vertu du théort'ïmc VII, si l'on appelle 3 l'ordonnée comptée depuis cette corde, on a

f:^ étant la dislance polaire du poUgone funiculaire. Donc

Construisons la droite

l'ordonnée^ étant toujours comptée depuis la corde?' 8'. Soit 7" cette droile. Alors

M = d(s-y) =rfx ca.

Remarque 1. — Les ordonnées ca comptées depuis la ligne fermeture doivent être portées de haut en bas si les moments so positifs et de bas en haut dans le cas contraire. C'est, en effet, convention que nous avons faite implicitement pour les ordonna ba de la poulre à appuis simples, puisque pour celle-ci tous I moments de flexion sont positifs (car, pri>s de l'appui gauche, moment de la réaction prédomine, et il tend à tourner son bras levier de gauclie à droite ; donc il est positif et, comme te morne de flexion ne s'annule pas jusqu'à l'appui opposé, il reste loujoi

positif). Or les ordonnées ba comptées depuis la corde ont été portées de haut en bas, ainsi que les ordonnées bc de la droite de fermeture ; il faut donc qu'il en soit de même de celles ca.

On voit qu'ici le moment de flexion s'annule aux points v et y où la ligne de fermeture coupe le polygone. Entre ces points il est positif et, entre chacun d'eux et l'appui voisin, il est négatif.

Remarque II, — Les moments de flexion sur les appuis sont représentés par les produits des ordonnées 8" 8', 1" T par la distance polaire et sont négatifs. Donc, réciproquement, ayant tracé un polygone funiculaire 8' yy' 7' avec une distance polaire <f , pour avoir la ligne de fermeture, il suffit, de ses points d'intersection 8' et T avec les verticales des appuis, de mener des ordonnéqs 8' 8^^^, T 7^' égales aux quotients changés de signe des moments de flexion sur ces appuis parla distance polaire et de joindre les extrémités de ces deux ordonnées.

Théouème IX.. — Etant donnée une poutre à appuis quelconques, soumise à des charges verticales^ sur chaque appui on porte une ordonnée égale au quotient du moment de flexion sur cet appui par une longueur quelconque rf, cette ordonnée mesurée à l'échelle des forces et la longueur d mesurée à V échelle des longueurs, les ordonnées positives portées dans un sens {par exemple de haut en bas) et les ordonnées négatives de bas en haut.

Si^ par les extrémités des ordonnées relatives aux deux appuis consécutifs de chaque travée on fait passer un polygone funiculaire de distance polaire d des charges données qui agissent sur cette travée, en chaque point le produit de la distance polaire par V ordonnéedupoly gone représente le moment de flexion en ce point.

En efl'et, si Ton reporte les ordonnées ac à partir de la ligne AB considérée comme axe des abscisses, ces ordonnées multipliées parrf fournissent toujours les moments de flexion. Mais on obtient ainsi (§ 43 bis) un polygone funiculaire de même distance polaire ûfque le premier. Or ce polygone est déterminé par deux de ses points, par les extrémités des ordonnées sur les appuis.

B. Application aux arcs.

Théorème X. — Etant donné un arc posé sur appuis de niveau ou non, simples ou encastrés et soumis à des charges verticales quelconques, si l'on construit le polygone des pressions (§ 69), en chaque point le produit de la distance polaire de ce polygone par la portion d'ordonnée correspondante comprise entre lui et l'arc donné (les ordonnées étant comptées depuis rare positivement dans le sens ascendant si Varc est siipportr, négativement s'il est suspendu) représente le moment de flexion en ce point, [Dans ce produit l'un des facteurs est mesuré à r échelle des longueurs, l'autre à l'échelle des forces,)

En effet, soit (/ig- 100, PL AXIF) CoC, la fibre moyenne d'un arc posé sur deux appuis AqBo et A| B, avec ou sans encastrement et soumis à des charj^es verticales

1, 2, 3, i, .1, 6 représentées sur le polygone des forces {fig- t*»()) par les côlés

Soit CoTo la réaction deTappui de gauche, Gq étant le centre de pression de 1^ section extrême de gauche. (Si l'arc est posé sur un simple tourillon Gq, les points Gq e Go coïncideront.)

Menons par l'origine a du polygone des forces la ligne aO égale, parallèle et de sens opposé à la réaction GoTo et construisons le polygone funiculaire des charges données ayant le point O pour pôle. Soit Go. 1 .2.3.4.o.6.G| ce polygone, qui est, comme nous le savons (§ 69), le polygone des pressions de l'arc.

SoitGG une section verticale quelconque; le côté 3. 4 qui coupe celle section est la ligne d'action de la résultante r de toutes les forces, y compris la réaction r^ de l'appui gauche, agissant entre cet appui et le point G, et la grandeur de cette résultante est représentée sur le polygone des forces par le rayon polaire correspondant 3.4 ou Oc.

Donc, le moment de flexion en G n'est autre que le moment

3oO 3* SECTION. — CHAP. XVII.

par rapport à ce point de la force r (puisque le moment de cette résultante r est égal à la somme des moments de ses composantes, c'est-à-dire des forces agissant entre le point G et l'appui gauche).

Décomposons la force /• en deux autres, l'une Cy© horizontale, l'autre G A verticale. Ges composantes sont représentées sur le polygone des forces par les longueurs Oi et ic dont la première est la distance polaire du polygone et représente la poussée horizontale de l'arc, poussée que nous appellerons qQ. Elle est la même pour toutes les sections GG; la composante verticale G A varie seule.

Le moment de r par rapport au point G se réduit au moment de cette force constante yo? puisque le moment de G A est nul, cette force passant par le point G.

Ainsi, si M est le moment de flexion au point G, on a

M — qa X GC,

le facteur q^ mesuré à l'échelle des forces et celui GG à l'échelle des longueurs ou inversement.

D'ailleurs, le moment de q^ est positif si le point G est audessus de G, c'est-à-dire que les ordonnées comptées depuis l'arc sont positives au-dessus de l'arc et négatives au-dessous.

Si l'arc était suspendu, ce serait l'inverse.

LE POLTfiOHE DES PBESSIOHS DÉFIRI GOMME POLTaONE DES MOMEITS DE FLEXION. — On peut, d'après cela, donner une nouvelle définition du polygone des pressions. Soient Go^o et G|^i les ordonnées verticales menées par les extrémités de la fibre moyenne jusqu'à leurs rencontres en ^o ^^ g\ ^ivec le polygone des pressions. Si Mo et M, sont les moments de flexion aux points Gq etG|, on aura

Mo — qa ■: Go^o, M, — ^0 -< G 1^1.

Donc, pour avoir le polygone des pressions, il suffit : i** par les extrémités Gq et G| de la fibre moyenne, de mener des ordonnées verticales égales aux quotients des moments de flexion en ces points par la poussée de l'arc, ces ordonnées mesurées à l'échelle des lonueurs et, si l'arc est supporté, dirigées de bas en haut ou de haut

MOMENTS DE FLEXION. 3oi

en bas, suivant que les moments Mq et M| sont positifs ou négatifs; 2** de construire le polygone funiculaire des forces données de distance polaire gr© (5^0 niesuré à Téchelle des forces) et passant par les points ga et g^ (Probl. IV, § 45).

Cette considération permet de généraliser utilement, au point de vue pratique, le théorème X. En effet, les ordonnées comprises entre l'arc et le polygone des pressions sont, en général, très petites, et il peut être utile de les avoir, sur l'épure, amplifiées dans une certaine mesure. Concevons qu'on mène la corde GoG| de l'arc, puis qu'on amplifie dans le rapport n \ i les ordonnées de l'arc et celles du polygone funiculaire comptées depuis cette corde.

Les ordonnées comprises entre l'arc et le polygone seront amplifiées dans le même rapport.

Mais le nouveau polygone ainsi obtenu est encore (§ 4-3 bis) un polygone funiculaire des forces données, ayant une distance polaire n fois plus petite que celle du polygone des pressions. Cette dernière étant ^0 7 1^ nouvelle sera

n De là, le théorème suivant :

Théorème XI. — Siy par les extrémités Qo et Q^ de la fibre moyenne d'un arc, on élève des verticales égales aux quotients

■-TJ -4- des moments de flexion y en ces points, par une longueur

arbitraire d^ ces ordonnées étant mesurées à C échelle des forces, ascendantes ou descendantes suivant que M© et M, sont positifs ou négatifs (si l'arc est supporté, c'est l'inverse s'il est suspendu), et quCj par les extrémités de ces ordonnées on fasse passer le polygone funiculaire de distance polaire d des charges données, tournant sa concavité dans le même sens que l'arc donné (Probl. IV du § 45), puis qu'on amplifie les ordonnées verticales de cet arc comptées depuis sa corde, dans le rapport qo : d de sa poussée horizontale à la distance polaire rf, les portions d'ordonnées comprises entre le nouvel arc obtenu et le

302 3* SKCTION. — CHAH. XVII.

poly gone funiculaire représentent les quotients ^ des moments

de flexion aux divers points de l* arc par la distance polaire d^ en sorte que, si z est Cune de ces ordonnées, on a

Dans ce produit, l'un des facteurs est à mesurer à l'échelle des forces, l'autre à l'échelle des longueurs.

Corollaire. — Pour que le moment de flexion d*une pièce soit nul partout, il est nécessaire que sa fibre moyenne coïncide avec Cun des polygones funiculaires des charges données qui la sollicitent.

Remarque L — Si l'arc GoG< se réduit à une poutre droite, c'est-à-dire à sa corde, alors les ordonnées de l'arc comptées depuis sa corde sont nulles ; si on les amplifie dans le rapport q^ \ rf, elles restent toujours nulles, d'où résulte le théorème VI comme cas particulier de celui-ci. Ainsi le théorème qui fait l'objet du précédent paragraphe, et qui se démontre bien simplement, résume, à lui seul, toute cette théorie, qu'il s'agisse des arcs ou des poutres droites.

Dans le cas des arcs, les ordonnées positives sont comptées dan^ un sens déterminé suivant que l'arc présente sa concavité vers le haut ou vers le bas. Si l'arc se réduit à une droite, ce sens est arbitraire et nous avons adopté les ordonnées descendantes pour représenter les moments de flexion positifs. ,

11 est à peine besoin de dire que, si l'arc était à un nombre quelconque de travées solidaires, la proposition subsisterait, rien dans la démonstration ne particularisant les réactions des appuis.

On aurait pu déduire le théorème XI du suivant :

Théorème XII. — Le moment de flexion en un point d'un arc quelconque soumis à des charges verticales est, à une fonction linéaire près des coordonnées de ce point, égal au moment de flexion ijl au point situé sur la même verticale que G, d'une

poutre droite de même portée, soumises aux mêmes charges et simplement appuyée à ses extrémités.

Si Taxe des y est vertical ascendant, le coefficient de y dans cette fonction linc^aire est la poussée q^ de Tare changé de signe.

En effet, soit {fig* 4*) '^î la somme des moments, relativement à G, des charges données agissant entre ce point et l'extrémité gauche de l'arc. Soient Iiq et yo les composantes horizontale et verticale de la réaction de l'appui Go, et M© le moment de flexion en ce point; si Go^ et G^y sont les axes, le dernier étant vertical ascendant et les moments positifs étant comptés de gauche il droite suivant la flèche, le moment de flexion en Q[x^y) sera (§190, Th. II 6/5)

M — m -I- Mo — q^y -+- h^x.

Fig. \\,

Mais, pour une poutre dirigée suivant Gq^, le moment de flexion |jL en g serait de la forme

jjL = m -I- Ao -4- Bo^?,

Ao et Bo étant deux constantes.

De ces deux équations on conclut

M — (jL-r-A-i-B2? — q^y^

A et B étant deux nouvelles constantes.

Ceci étant, concevons qu'on construise un polygone funiculaire des charges données de distance polaire rf, limité aux verticales des appuis, nous aurons

:; étant l'ordonnée comprise entre ce polygone et sa corde. Donc

3o4 3" SECTION. — CHAP. XVII.

Construisons la droite de fermeture

amplifions les ordonnées^ de Tare dans le rapport ^ et soit

Tordonnée de l'arc amplifié. On aura

z — z' sont les ordonnées du polygone funiculaire comptées depuis la droite de fermeture.

Portons ces ordonnées z — z' k partir de GqX, nous aurons (§ 43 bis) un nouveau polygone qui sera encore un polygone funiculaire de distance polaire d.

Soit z" = z — z' l'ordonnée de l'un de ses points. On aura

M = d(z'' -y), qui n'est autre que l'expression du théorème XI.

GOmTRïïCnON D£8 EFFOETS TRAHGHAHTS DAMS LES FltGES G0UBBE8. —

Nous savons que l'effort tranchant est la dérivée prise en signe contraire du moment de flexion par rapport à l'arc de la fibre moyenne.

Soit ijig' 100 bis, PL XXII) GqGi la fibre moyenne d'un arc soumis à des forces données

Soit 01. 2. 3. 4 le polygone des pressions.

Considérons un point G de la fibre moyenne et proposons-nous de construire l'effort tranchant en ce point.

Menons la verticale G g entre la fibre moyenne et le polygone

des pressions, ainsi que celle G' g^ relative au point infiniment

voisin G'. Soit

GG' = ds.

Prolongeons le côté 3-4 jusqu'à sa rencontre en S avec la lan-

MOMENTS DB FLEXION. 3o5

geale à la fibre moyenne menée par le point G et menons g^ parallèle à GG' jusqu'à sa rencontre en y avec Tordonnée G/ g'.

On aura

^Y = û?M et ^Y = GG' = ds.

Les triangles semblables gg'^ et ^GS donnent

^ï GS • Mais (§ 195)

M = ^0 X G^, M -+- dM = qoX ^' g' ; d'où

dM = qoXg^ et =yoX— ou -^ = ^^ X gg ou, au signe près^

Ainsi il suffit, /?oi/r avoir l'effort tranchant, de construire une quatrième proportionnelle aux trois longueurs Ço, gG et GS. Cette ligne représentant un effort tranchant ou une force devra naturellement être mesurée à C échelle des forces.

On voit d'ailleurs sur la figure si ^— *- est positif ou négatif, c'est-

à-dire si le point S tombe à gauche ou à droite de G^; l'efTort tranchant est de signe contraire à ce rapport.

Rem.arque. — Supposons que la ligne GoG|, au lieu d'être la libre moyenne elle-même, soit une ligne déduite de la fibre moyenne

par amplification dans un rapport quelconque — des ordonnées

verticales comptées depuis la corde GqGi, et que le polygone 0.1.2.3.4. . ., au lieu d'être le polygone des pressions, c'est-à-dire un polygone funiculaire dont la distance polaire est la poussée horizontale q^y soit le polygone funiculaire de distance polaire d dont il est parlé au théorème XI. Alors, l'efibrt tranchant sera une quatrième proportionnelle aux trois longueurs rf, g^G, GS.

EXTEH8I0N DE LA GONSIDÉBATION DES MOMENTS DE FLEXION. — Supposons (^fig' 100, PI, XXII) qu'on fasse dans la pièce AoBqAiB,,

3o6 3* SECTION. — CHAP. XVII.

quelle qu'elle soit, une section xy verticale ou non ; soient 3 et 4 les forces dont les points d'application sont limitrophes de cette section, en sorte (§ 69) que le côté 3.4 du polygone des pressions représente la ligne d'action de la résultante r de toutes les forces agissante gauche de cette section. Si l'on veut construire la somme des moments de toutes ces forces (ou, ce qui revient au même, le moment de leur résultante r) non plus par rapport à un point G de la fibre moyenne, mais par rapport à un point quelconque H du plan, il suffit de mener une verticale HH' jusqu'à sa rencontre en H' avec le côté 3.4 prolongé du polygone des pressions, et le moment cherché est le produit HH' x q^.

Pour le démontrer, il suffit de transporter le point d'application de r en H' et de remplacer ensuite la force r' ainsi obtenue par se^ composantes verticale et horizontale. Le moment de la première est nul ; la seconde est q^ et son moment est bien le produit ^0 X HH'. Cette extension de la notion des moments fléchissants va nous être utile dans leur application aux systèmes réticulalres.