POLYÈDRES RÉCIPROQUES. 44 I

pyramides se réduisent à des tétraèdres, on aura la figure formée par les six lignes qui joignent quatre points d'un plan et sa réciproque {fig. 13 et i3, PL III).

Considérons une pyramide ayant son sommet en O et pour base un polygone fermé gauche. Sa projection sera un polygone fermé et des rayons issus d'un point O {^fig' aa, PL VI). Cherchons la réciproque de cette pyramide.

La réciproque des arêtes émanées dn point O sera un polygone plan fermé P situé dans le plan focal de O. Les réciproques des côtés du polygone gauche formeront (§ 271 ) un autre polygone gauche dont les côtés passeront par les sommets du polygone P; car, si A et A' sont deux arêtes consécutives issues de O, le côlé du polygone gauche situé dans le plan de ces deux arêtes aura pour conjuguée une droite passant par l'intersection des conjuguées de A et de A' : donc la réciproque sera formée d'un polygone plan et de lignes passant par les sommets de ce polygone. Si nous la projetons, le polygone plan fermé P se projettera suivant un polygone fermé P' et les côtés du polygone gauche se projetteront suivant des lignes partant des sommets de P'. Les côtés de P seront d'ailleurs parallèles aux rayons issus de O, et les autres lignes seront parallèles au polygone fermé de la figure. On voit donc que la réciproque se projettera suivant un système de forces et le polygone funiculaire de ces forces relativement au pôle O (Jiff» 22, PL VI).

Considérons maintenant un polygone gauche fermé dont les sommets soient unis à deux points O et O' de l'espace. Les figures réciproques des arêtes émanées de O et O' sont deux polygones plans P et P' situés dans les plans focaux des points O et O' et les réciproques des côtés du pol^-gone gauche sont les droites qui joignent les sommets correspondants de P et P'idonc, en projetant les deux polyèdres, on aura, d'une part, un polygone fermé et les rayons issus de deux points O et O', et d'autre part un système de lignes et leurs polygones funiculaires relatifs aux pôles O et O'. On

44a 4'' SECTION. — cil A p. XXIII.

voit d'ailleurs de suite que les points d'intersection des côtés correspondants de deux'polygones funiculaires doivent être tous placés sur une droite parallèle à 00'; car, dans l'espace, les côtés correspondants des polygones P et P' se coupent tous sur la ligne d'intersection des plans de ces polygones, laquelle ligne est conjuguée de celle 00' (^fig^ 16 et i6, PL IV). Nous retrouvons ainsi une des propriétés des polygones funiculaires.

Considérons enfin une portion quelconque de surface polyédrique, une sorte de calotte polyédrique dont le bord soit un polygone gauche fermé P. Joignons les sommets de ce polygone à un point O de l'espace. Cherchons la réciproque de la figure ainsi formée.

La réciproque du polygone gauche P est un autre polygone gauche fermé ^J^ (§ 271); les réciproques des lignes issues de O et aboutissant aux divers sommets de P forment un polygone plan II dont les sommets sont sur les côtés de $, en sorte que la réciproque de cette première partie de la figure se compose du polygone plan n des divers sommets duquel partent les lignes formant les côtés d'un polygone gauche $.

Maintenant toute arête L de la surface polyédrique aboutissant en un sommet du bord P admettra pour réciproque une ligne JÇ^^ partant d'un des sommets de ^. On aura donc une série de lignes 4^, partant des sommets de ^; de ces lignes ^partiront de nouvelles lignes, réciproques de celles qui, dans la figure proposée, rencontrent les lignes L, et ainsi de suite. Si l'on projette la figure donnée et sa réciproque, la première se projettera suivant une figure comme celle 64 {PL JCIII)^ où O est la projection du point O de l'espace et où la projection P' du bord P de la surface polyédrique donnée est indiquée par des lignes doubles.

La figure réciproque se projettera suivant une figure comme celle 64 {PL XIII), La projection II' du polygone plan II est indiquée en pointillé : ce sont les lignes réciproques de celles issues de O, dans la^ig, 64. Les lignes partant de H' sont les projections des côtés du polygone $; elles sont réciproques de celles indiquées en doubles lignes sur la /ig. 64 : les autres lignes de la figure peu-